解析几何中的面积问题1

解析几何中的面积问题

x 2

+y 2=1 1、如图，直线y =kx +b 与椭圆4

交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ． （I ）求在k =0，0

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，

考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分． （Ⅰ）解：设点A 的坐标为(x 1，b ) ，点B 的坐标为(x 2，b ) ，

x 2+b 2=

1，解得x 1，由2=± 4

所以S =

1

b x 1-

x 2=2b b 2+1-b 2=1．

2

当且仅当b =

时，S 取到最大值1． 2

⎧y =kx +b ，⎪

（Ⅱ）解：由⎨x 2 2

⎪+y =1，⎩4

得 k +

⎛⎝

2

1⎫2222

⎪x +2kbx +b -1=0，∆=4k -b +1，

4⎭

|AB |=|x 1-

x 1|==2． ②

+k 24

设O 到AB 的距离为d ，则d =

2S

=1，

|AB |

2

又因为d =

，所以b =k +1，代入②式并整理，得

2

113

=0，解得k 2=，b 2=，代入①式检验，∆>0， 422

故直线AB 的方程是

k 4-k 2+

y =

x

x +

x

x 或y =或y =-，或y =-

2222

2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ．

（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ =λOA ，

直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得∆PQA 和

∆PAM 的面积满足S ∆PQA =2S ∆PAM ？若存在，求出点P 的坐标；

若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）设点P (x , y ) 为所求轨迹上的任意一点，则由k OP +k OA =k PA 得，

y 1y -1

， +=

x -1x +1

整理得轨迹C 的方程为y =x 2（x ≠0且x ≠-1）.

2

（Ⅱ）设P (x 1, x 12) , Q (x 2, x 2) ,

由PQ =λOA 可知直线PQ //OA ，则k PQ =k OA ，

故

2x 2-x 121-0

=

x 2-x 1-1-0

，即

x 2=-x 1-1， ………6分

∴

直

线

OP

方

程

为

：

y =x 1x

①； …………8分

(-x 1-1) 2-1

=-x 1-2， 直线QA 的斜率为：

-x 1-1+1

∴直线QA 方程为：y -1=(-x 1-2)(x +1) ，即y =-(x 1+2) x -x 1-1， ② …10分 联立①②，得x =-，∴点M 的横坐标为定值-． ……………12分 由S ∆PQA =2S ∆PAM ，得到QA =2AM ，因为PQ //OA ，所以OP =2OM ，

1212

由PO =2

OM ，得x 1=1，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分

3、已知中心在原点O ，焦点在x

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为

2

2

) ．

x 2a

2

+

y 2b

2

=1 (a ＞b ＞0) ，

⎧c =⎪⎪a 2则⎨ 故 ⎪2+1=1, ⎪⎩a 22b 2

⎧a =2, x 2

+y 2=1． ，所以，椭圆方程为 ⎨

4⎩b =1

（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，

故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0) ，P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)

由⎨

消去y 得(1＋4k 2) x 2＋8kmx ＋4(m 2－1) ＝0 ⎧y =kx +m ,

22

⎩x +4y -4=0,

则△＝64 k 2b 2－16(1＋4k 2b 2)(b 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1) ＞0， 且x 1+x 2=

-8km 1+4k

2

，x 1x 2=

4(m 2-1) 1+4k

2

．

故 y 1 y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2) ＋m 2． 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以，

y 1y 2x 1x 2

⋅

＝

k 2x 1x 2+km (x 1+x 2) +m 2

x 1x 2

＝k 2，

即，

-8k 2m 21+4k 2

＋m 2＝0，又m ≠0，所以 k 2＝

11，即 k ＝±． 42

由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1． 11设d 为点O 到直线l 的距离，则 S △OPQ ＝d | PQ |＝| x 1－x 2 | | m |

22

所以 S △OPQ 的取值范围为 (0，1) ．

4、过点M （4，2）作x 轴的平行线被抛物线C :x 2=2py (p >

0) 截得的弦长为 （I ）求p 的值；

（II ）过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1, l 2. （i ）若l 1, l 2交于点M ，求直线AB 的方程；

（ii ）若直线AB 经过点M ，记l 1, l 2的交点为N

，当S ∆ABN =N 的坐标。

解：（I

）由已知得点在抛物线x 2=2py 上， 代入得8=4p，故p=2.

2

x 12x 2

（II ）设A (x 1, ), B (x 2, ), 直线AB 方程为y =kx +b .

44

⎧y =kx +b ,

由⎨2得x 2-4kx -4b =0, 则x 1+x 2=4k , x 1⋅x 2=-4b . ⎩x =4y ,

又y =

x x 12x

x 求导得y '=, 故抛物线在A ，B 两点处的切线斜率分别为1, 2, 4222

2

x 1x 12x 2x 2

和l 2:y =x -, 故在A ，B 点处的切线方程分别为l 1:y =x -

2424

于是l 1与l 2的交点坐标为(

x 1+x 2x 1⋅x 2

, ), 即为(2k , -b ). …………8分 24

（i ）由题意得M （4，2）是l 1与l 2的交点，

故⎨

⎧2k =4, ⎧k =2,

即⎨故直线AB 的方程为2x -y -2=0. …………9分

⎩-b =2, ⎩b =-2,

（ii ）由题意得M (4,2)在直线AB 上, 故4k+b=2，

且x 1+x 2=4k , x 1⋅x 2=16k -8, 故l 1与l 2的交点N 坐标为(2k ,4k -2).

又|AB |=x 1-x 2|=点N 到直线AB 的距离

d =

故

S ∆NAB =

2

1

|AB |⋅d =3. 故3= 2

=

得k =-1或5，

故点N 的坐标为（—2，—6）或（10，18）. …………15分