2.6函数的连续性与间断点
第六节
函数的连续性与间断点
教学内容:函数的连续性和闭区间上连续函数的性质. 基本要求: 1.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续). 2.了解连续函数的性质,并会正确应用。 3.了解初等函数在其定义区间内连续的结论,并会用 此结论来求函数在其连续点处的极限。 4.了解间断点分类,并会判断函数间断点的类型。 5.了解闭区间上连续函数的性质及其简单应用。
一、 函数连续性的定义
1、函数在一点处的连续性 当变量 x 由初值 x0 变到终值 x1时,称终值与初值 的差 x1 − x0 为变量 x 的改变量(增量),记为 Δx 即
Δx = x1 − x0
设有函数 y = f ( x) ,在函数定义域内,当 x0 从变
到 x0 + Δx 时,函数 f (x) 相应地从 f ( x0 ) 变到 f ( x0 + Δx) 称 Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 为函数 y = f ( x)在 x0 处的改 变量(增量)。
定义: 设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义, 如果
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) ⎤ =0 lim Δy = lim ⎡ ⎣ ⎦ Δx → 0 Δx → 0
则称函数 f ( x ) 在 x0 连续。
y
y = f ( x)
Δy
Δx
0
x0
x 0 + Δx x
下述定义与上述定义等价. 定义: 设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) , 则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 点 x0 称
为函数 f (x) 的 连续点。 可见 , 函数 f ( x) 在点 x0 连续必须具备下列条件: (1) f ( x) 在点 x0 有定义 , 即 f ( x0 ) 存在 ; (2) 极限 lim f ( x) 存在 ; (3)
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0
注:1. 函数 f ( x)在 x0 点连续 ⇔ lim f ( x) = f ( x0 ) .
=0 lim Δy = lim ⎡ f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) ⎤ ⇔ Δ ⎣ ⎦ Δx →0 x →0
x → x0
2. 连续函数的图像是一条连续的不间断的曲线。
y
y = f1 ( x )
y
y = f2 ( x)
0
x0
x
0
x0
x
2.左、右连续: 设函数 f ( x)在点 x 0 的某个邻域内有定义, 若 lim− f ( x) = f ( x0 )
x → x0
则称函数 f ( x) 在点 x0 左连续; 若
x → x0
lim+ f ( x) = f ( x0 )
则称函数 f ( x) 在点 x0 右连续. 显然函数 f ( x) 在点 x0 连续的充分必要条件是
f ( x) 在点 x0 既左连续又右连续.
3.连续函数: 若 f ( x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 注: 若函数 f ( x)在 (a, b) 内连续,在左端点 x = a 右连续,且在右端点 x = b 左连续,则称 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续; 在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ].
⎧ x2 , x ≤ 2 例 讨论函数 f ( x) = ⎨ ⎩ x + 2, x > 2 在 x = 2 处的连续性,并作出函数的图象。
(1) xlim 解: →2
x →2
−
lim+
x →2
2 x lim =4 x →2 f ( x) = lim ( x + 2) = 4
−
f ( x) =
x →2 +
y 4 3 2 1
所以 lim f ( x) = 4
f ( x) = f (2) (2)lim x→2
因此 f ( x)在 x = 2 处连续。
-2 -1 0 1 2 3
x
例
⎧ ⎪ x sin 1 , x ≠ 0, 试证函数 f ( x ) = ⎨ 在x = 0 x ⎪ x = 0, ⎩ 0, 处连续 .
1 f ( x)= lim x sin = 0, 证: ∵ lim x →0 x →0 x
又 f (0) = 0, 由定义知
lim f ( x) = f (0),
x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续.
例
⎧ x + 2, x ≥ 0, 讨论函数 f ( x ) = ⎨ 在 x = 0处的 ⎩ x − 2, x
解
x →0
lim f ( x) = lim ( x + 2) = 2 = f (0), + +
x →0
lim f ( x) = lim ( x − 2) = −2 ≠ f (0), − − x →0 x →0
右连续但不左连续 , 故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续.
二、连续函数的运算 1、四则运算 定理2.1.3 设函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续 ,
f ( x) 则 f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) ⋅ g ( x ), ( g ( x0 ) ≠ 0) g ( x) 在点 x0处也连续.
例如, sin x , cos x 在 ( −∞ ,+∞ )内连续 , 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
2、复合函数与反函数的连续性 定理2.1.4 设函数y = f [ g ( x)]是由函数y = f (u )与函
数 u = g ( x)复合而成,U ( x0 ) ⊂ D f g .若 u = g ( x) 在点 x = x0连续, 且g ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f (u ) 在点 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [ g ( x)] 在点 x = x0也连续.
1 例如, u = 在 ( −∞ , 0) ∪ ( 0, + ∞ )内连续 , x y = sin u 在 ( −∞ , + ∞ )内连续 , 1 ∴ y = sin 在 ( −∞ , 0) ∪ ( 0, + ∞ )内连续 . x
推论:设函数 y = f [ g ( x )]由函数 y = f (u )与函数
u = g ( x )复合而成, U ( x0 ) ⊂ D f g .若 lim g ( x ) = u 0 ,
x → x0
0
函数 f (u )在 u 0点连续 , 则有
lim f [ g ( x )] = f [ lim g ( x )] = f ( u0 ).
x → x0 x → x0
注1:可类似讨论 x → ∞ 时的情形。
注2:推论说明 lim 与 f 的次序可交换。
x → x0
lim f [ g ( x) ] = f [lim g ( x) ]
x → x0
例 求
sin x lim 2 − x →0 x
sin x = 1, 及 2 − u 在 u = 1点连续, 解:因为 lim x →0 x
故由推论,
sin x = 2 −1 = 1 原式= 2 − lim x →0 x
x−3 例. 求 lim x →3 x2 − 9
x−3 x−3 解 y= 可看作有 y = u 与 u = 2 复合而成。 2 x −9 x −9 x − 3 1 而函数 y = u 在点u = 1 连续, ∵ lim 2 = , 6 x →3 x − 9 6 x−3 x−3 = 1 = 6 ∴ lim 2 = lim 2 x →3 x →3 x − 9 6 6 x −9
ax − 1 . 例. 求 lim x →0 x x a 解: 令 − 1 = y , 则 x ln a = ln( 1 + y ), 当x → 0时, y → 0. ln a y ln a = lim 原式 = lim 1 = ln a. y →0 ln( 1 + y ) y →0 ln(1 + y ) y
例 求 lim(1 + 2 x)
x →0
3 sin x
=e 3 x ln(1 + 2 x) ln(1 + 2 x) = lim 6 而 lim = 6 x →0 sin x x →0 sin x 2x
]
解: ∵ (1 + 2 x)
3 sin x
=e
3 ln[(1+ 2 x ) sin x
3 ln(1+ 2 x ) sin x
∴ lim(1 + 2 x)
x →0
3 sin x
= lim e
x →0
3 ln(1+ 2 x ) sin x
=e
3 ln(1+ 2 x ) x →0 sin x lim
=
3 lim ⋅2 x e x →0 x
= e6
定理2.1.5 如果函数 y = f ( x ) 在区间 I x上单调增加(或 单调减少)且连续,那么它的反函数 x = f −1 ( y )也在 对应区间 I y = { y | y = f ( x ), x ∈ I x }上单调增加(或单 调减少)且连续。 例如, y = sin x 在 [ −
π π
,
2 2 故 y = arcsin x 在 [ − 1 ,1 ]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在 [ − 1 ,1 ]上单调减少且连续; y = arctan x , y = arccot x 在 [ −∞ , +∞ ]上单调且连续.
反三角函数在其定义域内皆连续.
]上单调增加且连续,
三、初等函数的连续性 由初等函数的定义、基本初等函数的连续性 及连续函数的性质可得下面重要结论: 所有初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 不同
注1:初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义 域内不一定连续; 例如, 定义区间为 ∅
y = cos x − 1, 定义域 D =
因此它无连续点。
y = x 2 ( x − 1)3 ,
定义区间为 [1, +∞)
k =−∞
∪ {2kπ },
+∞
定义域 D = {0} ∪ [1, +∞),
函数在区间 [1,+∞ )上连续 .
y =
的连续区间为[−1,0) , (0,+∞) x
π⎧
2+sin x , x ≥⎪⎪2
f (x ) =⎨
⎪3+cos x , x
⎩2
(2)当x =
x →
π
lim −f (x ) =lim −(3+cos x ) =3
π
2
f () =2+sin 时,
2
π
2x →
ππ
2
=3并且
lim +f (x ) =lim +(2+sin x ) =3
x →
2
π
2
x →
π
2
f (x ) =lim f (x ) =f () 即lim π−π+2x →x →
2
π
从而f (x ) 在x =
π
2
2
综合以上讨论,f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续。
点连续。
四、函数的间断点
1、函数的间断点2、间断点的分类
1、函数的间断点
⎧1. f (x ) 在x 0处及附近有定义⎪
⎪2. lim f (x ) 存在
f (x ) 在x 0处连续的三要素⎨x →x
⎪
⎪3. lim f (x ) =f (x 0) ⎩x →x 0
设f (x ) 在点x 0的某去心邻域内有定义, 则下列情形之一函数f (x ) 在点x 0不连续:
(1) 函数f (x ) 在x 0无定义;
(2) 函数f (x ) 在x 0虽有定义, 但lim f (x ) 不存在;
x →x 0
(3) 函数f (x ) 在x 0虽有定义, 且lim f (x ) 存在, 但
x →x 0
lim f (x ) ≠f (x 0)
x →x 0
这样的点x 0称为间断点.
几种常见的间断点类型:
1
【例1】设f (x ) =2,当x →0, f (x ) →∞, 即极限不
x
存在,所以x =0为f (x ) 的间断点。
1
因为lim 2=∞,所以x =0为无穷间断点。
x →0x
1
【例2】y =sin 在x =0点无定义,且当x →0时,
x
函数值在-1与1之间无限次地振荡,而不超于某一定数,这种间断点称为振荡间断点。
sin x
【例3】y =在x =0点无定义,所以x =0为
x
sin x
=1, (极限存在) 其间断点,又lim x →0x
所以若补充定义f (0)=1, 那么函数在x =0点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。
⎧x , x ≠1
例如y =f (x ) =⎨⎩2, x =1
显然lim f (x ) =1≠f (1)
x →1
x =1为其可去间断点.
⎧x +2
【例4】函数y =⎨
⎩x −2
x →0−0
x →0−0
x ≥0x
, 因为
lim y =lim (x −2) =0−2=−2≠f (0)
x →0+0
x →0+0
lim y =lim (x +2) =0+2=2
所以f (x ) 在x =0点不连续,但左、右极限均存在,
且有不等于f (0)的,这种间断点称为跳跃间断点。例如y =sgn x 在x =0处即为跳跃间断点。