斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量与旋度

一、斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积与沿着∑的边界曲线Γ的曲线积分联系起来。

我们首先介绍有向曲面∑的边界曲线Γ的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。

【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面∑在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有

∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P(-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=Pdx+Qdy+Rdz⎰⎰∂y∂z∂z∂x∂x∂y∑Γ (1) 公式(1)叫做斯托克斯公式。

证：先假定∑与平行于z轴的直线相不多于一点，并设∑为曲面z=f(x,y)的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy。

我们设法把曲面积分

∂P∂Pdzdx-dxdy⎰⎰∂z∂y∑

化为闭区域Dxy上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。

根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有

∂P∂P∂P∂Pdzdx-dxdy=(cosβ-cosγ)dS⎰⎰⎰⎰∂z∂y∂z∂y∑∑ (2) 由第8.6节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为

-fy-fx1

cosβ=cosγ=cosα=

+fx2+fy2+fx2+fy2+fx2+fy2

，，

因此cosβ=-fycosγ，把它代入(2)式得

∂P∂Pdzdx-dxdy=⎰⎰∂z∂y∑

即

⎛∂P∂P⎫

-⋅f-⎰⎰ ∂zy∂y⎪⎪cosγdS

⎭∑⎝

⎛∂P∂P∂P∂P⎫

dzdx-dxdy=-f+⎰⎰⎰⎰ ∂zy∂y⎪⎪cosγdS∂z∂y⎭∑∑⎝ (3)

上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把P(x,y,z)中的z用f(x,y)来代替，因为由复合函数的微分法，有

∂∂P∂PP[x,y,f(x,y)]=+⋅fy∂y∂y∂z

所以，(3)式可写成

∂P∂P∂dzdx-dxdy=-P[x,y,f(x,y)]dxdy⎰⎰⎰⎰∂z∂y∂y∑Dxy

根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边界C的曲线积分

-⎰⎰于是

∂

P[x,y,f(x,y)]dxdy=P[x,y,f(x,y)]dx∂yDxyc

∂P∂Pdzdx-dxdy=P[x,y,f(x,y)]dx⎰⎰∂z∂y∑c

因为函数P[x,y,f(x,y)]在曲线C上点(x,y)处的值与函数P(x,y,z)在曲线Γ上对应点(x,y,z)处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分

⎰

Γ

P(x,y,z)dx

,因此，我们证得 ∂P∂Pdzdx-dxdy=p(x,y,z)dx⎰⎰∂z∂y∑Γ (4)

如果∑取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。

其次，如果曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲

线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式(4)也成立。

同样可证

∂Q∂Qdxdy-dydz=Q(x,y,z)dy⎰⎰∂x∂z∑Γ ∂R∂Rdydz-dzdx=R(x,y,z)dz⎰⎰∂y∂x∑Γ

把它们与公式(4)相加即得公式(1)。

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成 dydzdzdxdxdy∂∂∂

=Pdx+Qdy+Rdz⎰⎰∂x∂y∂z∑Γ

PQR

∂∂R∂

把其中的行列式按第一行展开，把∂y与R的“积”理解为∂y，∂z与Q的“积”理

∂Q

解为∂z等等，于是这个行列式就“等于”

∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P(-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy∂y∂z∂z∂x∂x∂y

这恰好是公式(1)左端的被积表达式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：

cosαcosβcosγ∂∂∂

=Pdx+Qdy+Rdz⎰⎰∂x∂y∂z∑Γ

PQR

其中n={cosα,cosβ,cosγ}为有向曲面∑的单位法向量。

如果∑是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。因此，

格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。

【例1】利用斯托克斯公式计算曲线积分

I=(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz

Γ

其中Γ是用平面

x+y+z=

3

2截立方体：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面所得截

痕，若从ox轴的正向看去，取逆时针方向。

解：取∑为平面 11n={1,1,1}cosα=cosβ=cosγ=

33，按斯托克斯公式，有 ，即

x+y+z=

3

2的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量

1

I=⎰⎰

∑

1∂∂yz2-x2

3

2，故

1

3∂4

dS=-(x+y+z)dS⎰⎰∂z3∑

x2-y2

∂∂xy2-z2

x+y+z=

因为在∑上，

I=-

其中

4

3

dS=-23⎰⎰3dxdy=-6σxy⎰⎰23∑Dxy ⋅

Dxy

为∑在xOy平面上的投影区域，

σxy为Dxy的面积，因此

σxy=1-2⨯=

故

18

34

I=-

*

9

2http://home.microsoft.com/intl/cn/

二、空间曲线积分与路径无关的条件

在第10.3节，利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全

关似地，利用斯托克斯公式，可推得空间曲线积分与路径无关的条件。 首先我们指出，空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零。关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题，有以下结论： 【定理】设空间开区域G是一维单连通域，函数P、Q、R在G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分⎰

Γ

Pdx+Qdy+Rdz

在G内与路径无关(或沿G任意闭

曲线的曲线积分为零)的充分条件是等式

∂P∂Q∂Q∂R∂R∂P===

∂y∂x，∂z∂y，∂x∂z (5)

在G内恒成立。

证：如果等式(5)在G内恒成立，则由斯托克斯公式(1)立即可看出，沿闭曲线的曲线积分为零，因此条件是充分的。反之，设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，

∂P∂Q≠

MG∂x∂x。不妨假定 0若内有一点使(5)式中的三个等式不完全成立，例如

⎛∂Q∂P

∂x-∂y⎝

⎫⎪⎪=η>0⎭M0

过点M0(x0,y0,z0)作z=z0，并在这个平面上取一个以M0为圆心，半径足够小的圆形区域K，使得在K上恒有

∂Q∂Pη-≥∂x∂y2

因为在K上z=z0而dz=0，于是由(1)式有

⎛∂Q∂P⎫η ⎪Pdx+Qdy+Rdz=-dxdy≥⋅σ⎰⎰ ∂x∂y⎪2⎭γK⎝

设γ是K的正向边界曲线，σ是K的面积，因为η>0，σ>0，从而

Pdx+Qdy+Rdz>0γ

这结果与所设不合，从而(5)式在G内恒成立。

应用上述定理并仿照第10.3节定理3的证法，便可以得到

【定理】设区域G是空间一维单连通区域，函数P、Q、R在G内具有一阶连续偏导数，则表达式Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数u(x,y,z)的全微分的充分必要条件是等式(5)在G内恒成立；当条件(5)满足时，这函数(不计－常数之差)可用下式求出:

(x,y,z)

u(x,y,z)=⎰

(x0,y0,z0)

Pdx+Qdy+Rdz

(6)

或用定积分表示为(依下图所取积分路径

)

u(x,y,z)=⎰P(x,y0,z0)dx+

x0

x

⎰

y

y0

Q(x,y,z0)dy+

⎰

z

z0

R(x,y,z)dz

其中M0(x0,y0,z0)为G内某一定点，点M(x,y,z)∈G。

三、环流量与旋度

设斯托克斯公式中的有向曲面∑上点(x,y,z)处的单位法向量为

n=cosα⋅i+cosβ⋅j+cosγ⋅k

而∑的正向边界曲线Γ上点(x,y,z)处的单位切向量为

t=cosλi+cosμj+cosνk

则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为

∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P[(-)cosα+(-)cosβ+(-)cosγ]dS⎰⎰∂y∂z∂z∂x∂x∂y∑

=

(Pcosλ+Qcosμ+Rcosν)ds

Γ

(7)

设有向量场

A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

在坐标轴上的投影为

∂R∂Q∂Q∂P∂P∂R---

∂y∂z，∂z∂x，∂x∂y

的向量叫做向量场A的旋度，记作rotA，即

∂R∂Q ∂P∂R ∂Q∂P rotA=(-)⋅i+(-)⋅j+(-)⋅k

∂y∂z∂z∂x∂x∂y (8) 现在，斯托克斯公式可写成向量的形式 rotA⋅ndS=A⋅tds⎰⎰∑Γ

其中

∂R∂Q∂P∂P∂Q∂P(rotA)n=rotA⋅n=(-)cosα+(-)cosβ+(-)cosγ

∂y∂z∂z∂x∂x∂y

为rotA在∑的法向量上的投影，而

At=A⋅t=Pcosλ+Qcosμ+Rcosν

为向量A在Γ的切向量上的投影。

沿有向闭曲线Γ的曲线积分

Pdx+Qdy+Rdz=Pcosλ+Qcosμ+Rcosνds=Ads

t

Γ

Γ

Γ

叫做向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量。

斯托克斯公式(9)现在可叙述为：向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向

量场A的旋度场通过Γ所张的曲面∑的通量，这里Γ的正向与∑的侧应符合右手规则。

为了便于记忆，rotA的表达式(8)可利用行列式记号形式地表示为

ijk ∂∂∂rotA=

∂x∂y∂zPQR

最后，我们从力学角度来对rotA的含义作些解释。

设有刚体绕定轴L转动，角速度为ω，M为刚体内任意一点。在定轴L上任

取一点O为坐标原点，作空间直角坐标系，使z轴与定轴L重合，则ω=ωk，而

r=OM={x,y,z}νMM点可用向量来确定。由力学知道，点的线速度可表示

为

v=ω⨯r。

由此有

ijk

v=00ω={-ωy,ωx,0}

xyz

，

而

ijk ∂∂∂rotv=={0,0,2ω}=2ω

∂x∂y∂z-ωyωx0

。

从速度场v的旋度与旋转角速度的这个关系，可见“旋度”这一名词的由来。

*

四、向量微分算子

引进一些特有的微分算子运算，可以使复杂的高斯公式和斯托克斯公式被表示得更简明。

向量微分算子∇定义为

∂ ∂ ∂ ∇=i+j+k

∂x∂y∂z， 它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有

(1)、设u=u(x,y,z)，则

∂u ∂u ∂u ∇u=i+j+k=gradu

∂x∂y∂z

∂2u∂2u∂2u

∇=∇⋅∇u=∇⋅gradu=2+2+2=∆u

∂x∂y∂z

2

∂2∂2∂2

∆=2+2+2

∂x∂y∂z，称为拉普拉斯算子。 其中

(2)、设A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，则

∂ ∂ ∂ ∂P∂Q∂R

∇⋅A=(i+j+k)⋅(Pi+Qj+Rk)=++=divA

∂x∂y∂z∂x∂y∂z

ijk ∂∂∂∇⨯A==rotA

∂x∂y∂zPQR

现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成

∇⋅Adv=AndS⎰⎰⎰Ω∑

⎰⎰(∇⨯A)ndS=Atds

∑

Γ