高阶系统性能分析

题 目: 高阶系统性能分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为

G p (s ) =

K (τ1s +1)

2

s (s +2s +4)(τ2s +1)

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写

等具体要求）

1、 当τ1=τ2=0时，绘制根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响

应，并求取动态和稳态性能指标

2、 当τ1=0.2, τ2=0和τ1=5, τ2=0时，分别绘制闭环系统根轨迹并用

Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 3、 当τ1=0, τ2=0.2和τ1=0, τ2=5时，分别绘制闭环系统根轨迹并用Matlab 求取单位阶跃响应、单位斜坡响应，并求取动态和稳态性能指标 4、 比较上述三种情况的仿真结果，分析原因，说明增加零极点对系统性能的

影响。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

高阶系统性能分析

1. 课设分析

1.1课设目的

1. 了解高阶系统的稳态性能，动态性能与系统开环传递函数零极点的关系。 2. 学习并熟悉根据系统开环传递函数作系统根轨迹曲线。

3. 学会运用matlab 求系统的阶跃响应，斜坡响应，观察系统动态性能。运用matlab 绘根轨迹曲线。

1.2分析过程

1. 在控制过程中，几乎所有的系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统，其动态性能指标的确定是比较复杂的，工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析，或直接应用MATLAB 软件进行高阶系统分析。

2. 在此次高阶系统分析之中，将待求的三个状态进行比较，可以将第一参数状态为原型系统的传递函数，第二类为添加不同零点的开环传递函数，第三类为添加不同极点的开环传递函数。

3. 在运用matlab 对系统进行创建和时域分析时，进行时域分析的传递函数是闭环传递函数，在绘制根轨迹曲线时参照的传递函数是开环传递函数。

4. 系统的稳态性能在本次课设中为稳态位置误差，稳态速度误差，动态性能有五个指标：延迟时间t d , 上升时间t s , 峰值时间t p , 调节时间t s , 超调量σ%。

2

2 绘制根轨迹

已知原系统的开环传递函数为：

G p (s ) =

当τ1=τ2=0

s (s 2+2s +4)(2s +1)

K (1s +2s )

G P (S ) =

K

S (S 2+2S +4)

（1）由开环传递函数可得，n=3,m=0。极点有三个，分别为（0,0），（-1，j ），（-1，-j ）。 （2）渐近线：

σ=

-1+3j -1-3j

3-0-2

3

∑p -∑z

i

i

i

n m

i

n -m

（2K +1）ππ5π Ф==或

n -m 33

（3）分离点和分离角：

在实轴上不存在有限零点，故不存在分离点和分离角。

（4）与虚轴交点：

1+G p (jw ) =0 得

-w 3j -2w 2+4wj +1=0 令实部和虚部等于0得 w=2 另一点为-2,k=8.

3

（5） 起始角 计算为（2k+1）π加上所有零点到此极点的向量角之和，减去其他极点到此极点的向量角之和。零点为减去其他点到此零点向量角之和与所有极点到此零点向量角之和的差值。

Ф0

p1=180-90-120=-30 由对称性知 Ф0p2=30

由matlab 作出的根轨迹曲线： 程序：

>> num=8;

>> den=[1 2 4 0]; >> G=tf(num,den) Transfer function: 1

----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s

>> rlocus(G)

τ1=τ2=0 时根轨迹图

当τ1=0.2, τ2=0和τ1=5, τ2=0时可有同样步骤求解： τ1=0.2，τ2=0

（1） 渐近线 σ=1.5 Ф=

π3π

或 22

（2）分离点，实轴上只有一个极点，故没有分离点。 402（3）与虚轴交点w=,K= , 由对称性可知另一交点为

.

33,

00

（4）起始角Ф1=-10.89 由对称性可知 Ф2=10.89

τ1=5，, τ2=0

（1）渐近线 σ=-0.9 Ф1=900， Ф2=2700 （2）没有分离点。

（3）与虚轴交点 不存在与虚轴交点。（4）起始角Ф01=84.79， 由对称性可知 运用matlab 绘制的根轨迹曲线 程序：

>> num1=[2.67 13.3]; den1=[1 2 4 0]; G=tf(num1,den1) Transfer function: 2.67S+13.3 ----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s >> num2=[5 1]; >> den2=[1 2 4 0]; >> G2=tf(num2,den2) Transfer function: 5 s + 1 ----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s >> rlocus(G1,G2)

Ф2=-84.790

增加零点时根轨迹图（蓝线为τ1=0.2, τ2=0，绿线为τ1=5, τ2=0） τ1=0，, τ2=0.2

（1）渐近线 （2）分离点

公式：

1111

+++=0得 d +5d d +1+3d +1-σ=-1.75 Ф1=

π3π或 44

d=-1.5

（2k +1）π

分离角：Ф= 得

l

π3πФ1= Ф2=

22

（3）与虚轴交点 w=1.7 另一交点为-1.7,K=6.37. （4）起始角Ф1=-53.40 Ф2=53.40

τ1=0，τ2=5

π3π

（1）同理可得，渐近线参数 σ=-0.55，Ф1=或

44

π3π

（2）分离点d=-0.1，分离角Ф1= Ф2=

22

（3）与虚轴交点w=0.36 另一交点为-0.36 ,K=7.3. （4）起始角Ф1=-144.790 Ф2=144.790

用matlab 绘制跟轨迹曲线 程序：>> num1=6.42;

>> den1=[0.2 1.4 2.8 4 0]; >> G1=tf(num1,den1) Transfer function: 6.42

---------------------------------

0.2 s^4 + 1.4 s^3 + 2.8 s^2 + 4 s >> num2=9.5;

>> den2=[5 11 22 24 0]; >> G2=tf(num2,den2) Transfer function: 7.3

------------------------------ 5 s^4 + 11 s^3 + 22 s^2 + 24 s >> rlocus(G1,G2) ）

增加极点时根轨迹图（蓝线为τ1=0, τ2=0.2，绿线为τ1=0, τ2=5

3 matlab时域分析

原系统程序当τ1=0, τ2=0时

程序如下： >> num=8;

>> den=[1 2 4 0]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 8

----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s

>> sys=feedback(G,1)

Transfer function: 8

--------------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s + 8

>> t=0:0.1:25; >> figure(1)

>> step(sys,t);grid; 阶跃响应

>> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('step response'); >> u=t; >> figure(2)

>> lsim(sys,u,t,0);grid; 斜坡响应 >> xlabel('t');

>> ylabel('c(t)');>> title('ramp response');

响应曲线如下：

阶跃响应曲线

斜坡响应曲线

τ1=0.2, τ2=0

程序如下： >> num=[0.2 1]; >> den=[1 2 4 0]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 2.67S+13.3 ----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s

>> sys=feedback(G,1)

Transfer function: 2.67S+13.3

----------------------- s^3 + 2 s^2 + 6.67 s + 13.3

>> t=0:0.1:25; >> figure(1)

>> step(sys,t);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('step response'); >> u=t; >> figure(2)

>> lsim(sys,u,t,0);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('ramp response');

响应曲线：

阶跃响应曲线

斜坡响应曲线

τ1=5, τ2=0

程序如下： >> num=[5 1]; >> den=[1 2 4 0]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 5 s + 1

----------------- s^3 + 2 s^2 + 4 s

>> sys=feedback(G,1)

Transfer function: 5 s + 1

--------------------- s^3 + 2 s^2 + 9 s + 1

>> t=0:0.1:25; >> figure(1)

>> step(sys,t);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('step response'); >> u=t; >> figure(2)

>> lsim(sys,u,t,0);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('ramp response');

响应曲线：

阶跃响应曲线

斜坡响应曲线

τ1=0, τ2=0.2

程序如下：

>> num=6.37;

>> den=[0.2 1.4 2.8 4 0]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 6.37

----------------------------- 0.2 s^4 + 1.4 s^3 + 2.8 s^2 + 4s

>> sys=feedback(G,1)

Transfer function: 6.37

-----------------------------

0.2 s^4 + 1.4 s^3 + 2.8 s^2 + 4s+6.37

>> t=0:0.1:25; >> figure(1)

>> step(sys,t);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('step response'); >> u=t; >> figure(2)

>> lsim(sys,u,t,0);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('ramp response');

阶跃响应曲线

斜坡响应曲线

τ1=0, τ2=5

程序如下： >> num=7.3;

>> den=[5 11 22 24 0];

>> G=tf(num,den)

Transfer function: 7.3

------------------------------ 5 s^4 + 11 s^3 + 22 s^2 + 24 s

>> sys=feedback(G,1)

Transfer function: 7.3

---------------------------------- 5 s^4 + 11 s^3 + 22 s^2 + 24 s + 7.3

>> t=0:0.1:50; >> figure(1)

>> step(sys,t);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('step response'); >> figure(2) >> u=t;

>> lsim(sys,u,t,0);grid; >> xlabel('t'); >> ylabel('c(t)'); >> title('ramp response');

响应曲线：

阶跃响应曲线

谐坡响应曲线

4 响应分析与结论

4.1 时域响应分析：

τ1=0，, τ2=0时：等幅振荡 tr =1.2,tp =2,ts =∞; 斜坡输入下的速度误差不存在。

τ1=0. 2，, τ2=0时： td =0.35,tr =0.7,tp =1,ts =6,σ%=45%; 斜坡输入下的速度误差：e ss (∞) =0.3

τ1=5, τ2=0时： td =0.7,tr =25,tp =1.07,ts =20,σ%=20%; 斜坡输入下的速度误差：e ss (∞) =3. 64

τ1=0, τ2=0. 2时：发散 tp =2.5; 斜坡输入下的速度误差: 无

τ1=0, τ2=5时： 欠阻尼 td =3,tr =11,tp =11,ts =10,σ%=0; 斜坡输入下的速度误差：e ss (∞) =2

由系统动态指标参数可知，在增加开环零点之后，系统的，延迟时间，上升时间，调节时间均减小，增加极点之后，时间指标均增大，即增加系统的零点能提高系统的快速性，稳定性。在增加开环零点，开环极点过程中，由于在求根轨迹与虚轴交点时求得K ，改变了K 值大小，改变了系统的稳态速度误差，。由于系统在改变前后一直是I型系统，其静态速度误差 ： e ss (∞) =R /K （K 为开环增益）

4.2根轨迹分析

增加零点，系统的根轨迹曲线向左S 半平面偏移，特别当τ1=5时，根迹轨曲线位于S 左半平面，此时系统的稳定性提高。由于添加的极点均在S 半平面，并未对系统的稳定性产生多大影响，添加极点使系统的稳定性降低。

5 心得体会

经过几天的课设，自己去面对未知的领域，终而有所领悟。

在知识层面，自然是对自动控制原理的根轨迹绘制，时域分析，稳态动态性能有了更深的理解。对于matlab 在线性时域分析，根轨迹绘制方面的应用有所了解，这会促使我对matlab 软件的学习进步深入。

个人独立完成课设同样对于学习习惯的培养功不可没。自己去分析问题，查资料，计算确实对于自身能力的培养至关重要。合作固然重要，但没能力时去寻求合作往往会演变成依赖，自己的能力反会被削弱。长期以来，对于学习甚是消极，而这次强迫自己尽早独立完成课设，花长时间去准备，在图书馆呆上几天，在稿纸上演算，快速学习新的软件，复习学过的内容，所以收获还是有的，人要自信地活着。

以后会有更多的课设，更多的学习，每一次机会都要珍惜。

6 参考文献

胡寿松. 自动控制原理，北京：科学出版社，2007.6 谢克明. 自动控制原理，北京：电子工业出版社，2004.7 曹戈.MATLAB 教程与实训，北京：机械工业出版社，2009.6

阮沈勇 王永利 桑群芳 .MATLAB程序设计，北京：电子工业出版社，2004.1