图形计算器--高中数学有效教学的利器

收稿日期：2012-06-18

作者简介：邓军民（1977-），男，湖南邵阳人，中学高级教师，广州市十佳青年教师，主要从事数学教育与中学教学研究。

图形计算器——高中数学有效教学的利器

邓军民（广东省广州市第二中学）

摘要：图形计算器简单易学、功能强大。利用图形计算器进行辅助教学，能有效地渗透数形结合的数学思想，能有效地呈现线性规划问题的求解过程，能有效地解决数理统计的线性回归分析问题，能有效地落实“算法初步”的教学过程，能有效地对含参问题进行分类讨论；利用图形计算器让学生在真实、具体的操作情境中丰富感知，在身临其境中得到启发，激活思维，体验学习的成功，提高学习数学的兴趣，从而也提高了高中数学课堂教学的有效性。

关键词：图形计算器；有效教学；数形结合；分类讨论 “数学课堂教学的有效性”之所以成为当前数学教育中一个新的热点问题，主要是针对近年来在教学方法改革中出现的形式主义倾向以及“数学课堂效率不高”而提出的．有效教学的“有效”，主要是指教师在一种先进教学理念指导下经过一段时间的教学之后，使学生获得具体的进步或发展；有效教学的“教学”，是指教师引起、维持和促进学生学习的所有行为和策略。笔者认为，图形计算器是最能有效教学的利器，下面以Casio fx-CG 20图形计算器的具体操作实例谈谈图形计算器对高中数学有效教学的促进作用。

一、有效地渗透数形结合的数学思想

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求解复数和三角函数的问题中，运用数形结合的思想，不仅直观明了，容易发现解题的途径，而且能够避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题的过程中更能凸显其优越性，所以要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图、见数想图，以开阔自己的思维视野，提高自己的解题能力。

2

例1 已知函数f (x ) =log 2[2x +(m +3) x +2m ]，若f (x ) 的值域为R ，求实数m 的

取值范围．

探究：S1：按p6进入动态函数窗口，按iwr ，

输入y 1=log 2[2x +(m +3) x +2m ]和y 2=2x +(m +3) x +2m 的解析式； S2：按rw ，把“动态设定”设置为[-12,12]，步长为1，再按eq ，把“动态速度”设置好，再按l 回到“动态变量”窗口，再按l 进入执行状态；

S3：不断地按l ，可见m 的变化对y 1值域的影响以及对y 2与x 轴交点个数的影响。显示结果如图1。

（1） （2） （3）

图1

2

2

由图1可以很直观地看到，当y 1的值域为R 时，y 2的图象（抛物线）与x 轴刚好有交点，所以有∆=(m +3) 2-4⨯2⨯2m ≥0，解得m ≤1或m ≥9，因此实数m 的取值范围为

(-∞,1] [9,+∞]．

【评注】此题要深刻理解对数函数的定义，审题思路要清晰、严谨．若f (x ) 的值域为R ，说明其真数y 2要取遍(0,+∞) 的任何数，所以(0,+∞) 一定要是y 2的值域的子集，所以只需

y 2的图象与x 轴有交点即可．同时由此题我们还可以得到如下结论：若f (x ) 的定义域为R ，

则∆

二、有效地呈现线性规划问题的求解过程

线性规划是运筹学的重要分支，可以说它是一门实用性很强的应用数学学科。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具。而高中数学研究的是只有两个变量的简单的线性规划问题，一般采用图解法求解这种方法的特点是直观且易于理解。

例2 （2011年广东高考数学理科卷第5题）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由

⎧0≤x ≤⎪

不等式组⎨y ≤2, 给定，若M (x , y )为D 上的动点，点A

的坐标为

⎪

⎩x ≤

。 z =OM ⋅OA 的最大值为（ ）

（A ）3

（B ）4

（C

）

，则

)

（D

）

探究：

S1：按5，开启图形函数窗口；

S2：按LpNNqd ，完成“相交”设置； S3：输入题中给定的不等式组，按u 作图；

S4：按iqqq1l ，把图片保存为图片1； S5：按Lp ，把背景设为图片1，再退出设置； S6：按p6

进入动态函数窗口，输入y =+z ；

S7：按rw ，把“动态设定”设置好，再按eq ， 把“动态速度”设置好，再按l 回到“动态变量”窗口， 再按l 进入执行状态；

S8：不断按l ，可见z 的最小值是0，最大值是4。显示结果如图2。所以此题答案 为B ．

（1） （2）

（3）

（4）

图2

【评注】了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从

实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．这是高考对线性规划的要求．这种问题同时也体现了数形结合思想的重要性．近几年广东高考在这个知识点考查的力度比较大，但是题目难度都不大。

三、有效地解决数理统计的线性回归分析问题

线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛。分析按照自变量和因变量之间的关系类型，如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

例3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与玩篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1~5日每天打时间x （单位：时）与当于投篮命中率y 之间的关系： 小李这天的平均投篮命中率为，用线性回归分析的方法，预测小李该月

6日玩6小时篮球的投篮命中率为

探究：

S1：按p2，开启统计窗口，录入数据；

S2：按qu 把图的类型设置为散点图Scatter ，确认横纵坐标，再按l ； S3：按q 绘出散点图，按qww 显示回归结果； S4：按u ，绘出拟合函数的图象；

S5：按Lyq ，输入x =6，再按l ，则输出y =0.53。显示结果如图3。所以用线性回归分析的方法，预测小李该月6日玩6小时篮球的投篮命中率为0.53．

（1） （2） （3）

图3

【评注】会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．这个知识点从2007年开始，一直是广东高考数学的重点和热点．

四、有效地落实“算法初步”的教学过程

算法是高中数学课程中的新增内容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就体现着算法。在这一章节中，学生将学习算法的初步知识，并通过对具体算法案例的分析，体验算法在解决问题中的重要作用，培养算法基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达的能力。

例4 编程：写出用二分法求方程x 3-x -1=0到0.001）．

探究：按如下步骤操作：

S1：按age 新建一个程序，命名为lingdian ，再按l ，进入程序编辑状态；S2：输入下框（图4

在区间⎢1, ⎥内的一个近似解（精确

2

⎡3⎤⎣⎦

图4 S3：按dq ，显示结果如图5：

图

5

【评注】算法是实践性很强的内容，只有通过学生自己的亲身实践，让学生亲自去解决几个算法设计的问题，才能使学生体会算法的基本思想，学会基本的逻辑结构和对应的算法语句．因此，在“算法初步”的教学过程当中，提倡通过实例让学生体会和理解算法的涵义，通过模仿、操作、探索，经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证”的全过程，并由此落实算法教学内容．

五、有效地对含参问题进行分类讨论

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．凡涉及要分类讨论的问题，一般都具有较强的逻辑性、综合性、条理性、探索性，对解题能力的要求极高．

222

例5 （2006年湖北高考数学理科卷第10题）关于x 的方程(x -1) -x -1+k =0，

给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中假命题的个数是（ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

探究：

2

S1 按p5进入图形窗口，画出t =x -1的函数图象，如图6；

图6

2

S2：按y 对图形进行分析可知：对于方程t =x -1，

当t >1时，方程有2个实根； 当t =1时，方程有3个实根； 当0

当t =0时，方程有2个实根； 当t

而对于函数y =x 2-x +k 来说，注意到其函数图象的对称轴为x =

1

，所以有： 2

222

当判别式∆

t 1=t 2=当判别式∆=0时，有两个实根：

就有4个实根；

1222

，这时对应的方程(x -1) -x -1+k =02

当判别式∆=0时，若两实根满足0

(x 2-1) 2-x 2-1+k =0就有8个实根；

当判别式∆=0时，若两实根满足0=t 1

2

(x 2-1) x 21+k

=0就有5个实根；

当判别式∆=0时，若两实根满足t 1

(x 2-1) 2-x 2-1+k =0就有2个实根；

综上所述，答案为A 。

S3：下面以实际图形来论证上述推理的正确性。按p6进入动态函数窗口，输入

f (x ) =(x 2-1) 2-x 2-1+k 解析式；按rw ，把“动态设定”设置为[-5,5]，步长为1，

再按eq ，把“动态速度”设置好，再按l 回到“动态变量”窗口，再按l 进入执行状态；不断地按l ，可见随着k 的变化，函数f (x ) 图象与x 轴的交点个数也随之变化，显示结果如图6。

（1） （2）

（3） （4）

（5） 图6

【评注】此题是研究一个含参数的复合函数的图象与x 轴交点个数的问题，前两步的逻辑推理是建立在巧妙换元的基础之上的，然后在图形计算器的帮助下，对判别式也就是对参数的取值范围进行分类讨论，使解题思路显得非常的清晰合理，最后再以实际图形进行验证，确保了问题解决的正确性．

图形计算器作为一个立足于数学、立足于教学、立足于学生的教学产品，为数学的教、学、用量身定制，形象直观地实现了数学多元关联的有效呈现，即对同一数学对象能够给出几种不同的表示，对问题涉及到的相关知识进行有机整合，集“数、形、表”于一体，代数表示法、数值表示法、统计表示法、图形和几何、静态与动态的表达形式得到全方位的展示，为数学理解、数学猜想、数学实验提供了丰富的背景。同时，以“键盘”操作为手段的图形计算器可以让学生在“玩”中学，在“玩”中思，在“玩”中做，让学生在真实、具体的操作情境中丰富感知，在身临其境中得到启发，激活思维，体验学习的成功，提高学习数学的兴趣，图形计算器是名副其实的高中数学有效教学的利器。

参考文献：

[1]肖凌戆．高中数学“优效教学”的研究与思考[J]．中国数学教育（高中版） 2009(3):12-14。

[2]邓军民．浅谈TI 图形计算器对高中数学有效教学的促进作用[J] ．中学数学研究，2012(3):10-12。