全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD
D
解:延长AD 到E, 使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4
即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2.
已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:
CD
1
2
AB
延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3.
已知:BC=DE,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。 4.
已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD
EF =CG ∠CGD =∠EFD 又,EF ∥AB ∴,∠EFD =∠1 ∠1=∠
2
∴∠CGD =∠2
∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG 又 EF =CG ∴EF =AC 5.
已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E+∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∴∠ABC =2∠C
6.
已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB
∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE , ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE
∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC ∵AC =AC
∴△ADC ≌△AFC (SAS )
∴AD =AF
∴AE =AF +FE =AD +BE 7.
已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD
B
D
解:延长AD 到E, 使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4
即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2
8. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:CD
1
AB 9.
已知:BC=DE,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF 和EF 。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) 。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 。 连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF。
∴ ∠EBF=∠BEF 。 又∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE。
在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。
10. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD =∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2
∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG
又 EF =CG ∴EF =AC
11. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD,求证:∠B=2
∠C B
证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E+∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∴∠ABC =2∠C
12. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,
求证:
AE=AD+BE
在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB
∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE , ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE
∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC 又∵AC =AC
∴△ADC ≌△AFC (SAS ) ∴AD =AF
∴AE =AF +FE =AD +BE
12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分
∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC。
在BC 上截取BF=AB,连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE
∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS ) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180º ∵∠BFE+∠CFE=180º ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS ) ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13. 已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE ,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C
AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE , ∴∠AED=∠ABD ,
∴四边形ABDE 是平行四边形。 ∴得:AE=BD, ∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF 全等于三角形DBC , ∴∠F=∠C 。
14. 已知:AB=CD,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C
证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当ADBC时,E 点是射线AB,DC 的交点)。则: △AED 是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量) ∴△BEC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C.
15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB,求证:
PC-PB
A
D
在AC 上取点E , 使AE =AB 。 ∵AE =AB AP =AP
∠EAP =∠BAE , ∴△EAP ≌△BAP ∴PE =PB 。 PC <EC +PE
∴PC <(AC -AE )+PB ∴PC -PB <AC -AB 。
16. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:
AC-AB=2BE
证明:
在AC 上取一点D ,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD 中,AE 是角BAD 的角平分线,
∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE
∴点E 一定在直线BD 上,
在等腰三角形ABD 中,AB=AD,AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
C
∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF ∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2
18.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .
解:延长
AD 至BC 于点E,
∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC
在△ABD 和△ACD 中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC
∴△ABD 和△ACD 是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE ⊥BC ∴AD ⊥BC
19.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP , MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .
求证:∠OAB =∠OBA 证明:
∵OM 平分∠POQ ∴∠POM =∠QOM ∵MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ∴∠MAO =∠MBO =90 ∵OM =OM
∴△AOM ≌△BOM (AAS ) ∴OA =OB ∵ON =ON
∴△AON ≌△BON (SAS ) ∴∠OAB=∠OBA ,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB =180 ∴∠ONA =∠ONB =90
∴OM ⊥AB
20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB . P
E
D
A
B
做BE 的延长线,与AP 相交于F 点, ∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形
在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中,
∠EBC=∠DFE, 且BE=EF,∠DEF=∠CEB ,
∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B A
C
D
B
延长AC 到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE 为等腰 ∠ACB=2∠B
22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M .
(1)求证:MB =MD ,ME =MF
(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不
变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)连接BE ,DF .
∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ), ∴DE=BF.
∴四边形BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE ,DF .
∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF ,
在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ), ∴DE=BF.
∴四边形BEDF 是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
23.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .
A
E
D
B
C
证明: ∵DC ∥AB ∴∠CDE =∠AED ∵DE =DE ,DC =AE
∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE =BE ∴BE =DC ∵DC ∥AB ∴∠DCE =∠BEC ∵CE =CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC
24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .
求证:BD =2CE . F
A
E
D
证明:
B C
∵∠CEB=∠
CAB=90°
∴ABCE 四点共元
∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC
取线段BD 的中点G ,连接AG ,则:AG=BG=DG
而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而:AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE
25、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。D
E F
C
A B
证明:∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED 和△BFC 中,
∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF
∴△AED ≌△BFC (SAS )
26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF。
求证:AM 是△ABC 的中线。
A
F
B
M
C
E
证明:
∵BE ‖CF
∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM
∴AM 是△ABC 的中线.
27、(10分)如图:在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点。求证:BD ⊥AC 。
A
D
B
C
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等
∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD ⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延长线上的一点。
求证:BF=CF
A
D
B C
F
在△ABD 与△ACD 中 AB=AC
BD=DC AD=AD
∴△ABD ≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC
29、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。A
B
F
E
C
D
∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE
30. 公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ,如图所示,其中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE =CF ,M 在BC 的中点,试说明三只石凳E ,F ,M 恰好在一条直线上
.
证明:连接EF ∵AB ∥CD ∴∠B=∠C ∵M 是BC 中点 ∴BM=CM
在△BEM 和△CFM 中
∠B=∠C BM=CM
∴△BEM ≌△CFM (SAS ) ∴CF=BE
31.已知:点A 、F 、E 、C 在同一条直线上, AF =CE ,BE ∥DF ,BE =DF .求证:△ABE ≌△CDF .
∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD (两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:△ABE ≌△CDF (SAS )
32. 已知:如图所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF 。
连接BD ; ∵
AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD; 两角相加,∠ADC=∠ABC ; ∵BC=DC E\F是中点 ∴DE=BF; ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.
A
C
证明:
在△ADC ,△ABC 中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC ,∠BCA=∠DCA ∴△ADC ≌△ABC (两角加一边) ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中 ∠BCA=∠DCA ,CE=CE,BC=CD ∴△DEC ≌△BEC (两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,
C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF .
∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB //DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC //EF ∴∠F=∠BCA
∴△ABC ≌△DEF (ASA )
35.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD .
E
A
证明:
∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt △BDC ≌Rt △BEC (AAS) ∴BE=CD
36、 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,
DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。 求证:DE =DF.
证明:
∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD
∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED 与∠AFD=90° 在△AED 与△AFD 中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD
∴△AED ≌△AFD (AAS ) ∴AE=AF
在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF
∴△AEO ≌△AFO (SAS ) ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD ⊥EF
37. 已知:如图, AC
⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB
于A , BC =AE .若AB = 5 ,求AD 的长?
∵AD ⊥AB ∴∠BAC=∠ADE
又∵AC ⊥BC 于C ,DE ⊥AC 于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC ≌△DAE (ASA ) ∴AD=AB=5
38.如图:AB=AC,ME ⊥AB ,MF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,ME=MF。求证:MB=MC
C
证明: ∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵ME ⊥AB ,MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME ≌△CMF (AAS ) ∴MB=MC.
39. 如图,给出五个等量关系:①AD =BC
②
AC =BD ③CE =DE ④
∠D =∠C
⑤∠DAB =∠CBA .请你以其中两个为条件,另三
个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
求证:△DAB ≌△CBA
证明:∵AD=BC,∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB ≌△CBA
40.在△ABC 中,∠ACB
=90︒,AC =BC ,
直线MN 经过点C ,且AD
⊥MN
于D ,BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①∆ADC ≌∆CEB ;②
DE =AD +BE ;
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的
结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE . ∵AC=BC, ∴△ADC ≌△CEB . ②∵△ADC ≌△CEB , ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE . 又∵AC=BC, ∴△ACD ≌△CBE . ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC ⊥BF
E C
(1)∵AE ⊥AB ,AF ⊥AC , ∴∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC , 即∠EAC=∠BAF , 在△ABF 和△AEC 中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF ,AF=AC, ∴△ABF ≌△AEC (SAS ),
∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF ≌△AEC , ∴∠AEC=∠ABF , ∵AE ⊥AB , ∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM (对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM 中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC ⊥BF .
42.如图:BE ⊥AC ,CF ⊥AB ,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM ⊥AN 。
证明: (1)
∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN
(2)
∵△ABM ≌△NAC
∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN
43.如图, 已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
在△ABF 和△CDE 中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD
∴△ABF ≡△CDE (边角边) ∴FB=CE 在四边形BCEF 中 FB=CE BC=EF
∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴BC ‖EF
44.如图, 已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD相等吗?请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE 为公共, ∴△CAE ≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC 平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE 为公共边 ∴△EBN ≌△EBD ∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分) 如图, 已知: AD是BC 上的中线 , 且DF=DE.求
证:BE∥CF .
证明:
∵AD 是△ABC的中线 BD=CD
∵DF=DE(已知) ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分) 已知:如图,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF . 求证:
AB ∥CD .
D
C
B
证明:
∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º 又∵AB=CD,BF=DE ∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE (HL ) ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD
47、(10分) 如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD
A
D
4
B
C
∵, ∠3=∠4 ∴OB=OC
在△AOB 和△DOC 中 ∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC △AOB ≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB 和△DBC 中 AC=DB , ∠3=∠4 BC=CB △ACB ≌△DBC ∴AB=CD
48、 (10分) 如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证
明你的结论.
CE>DE。当∠AEB 越
A
E
B
小,则DE 越小。
证明:
过D 作AE 平行线与AC 交于F ,连接FB
由已知条件知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形。
RT △BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB
△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT △AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF 45° ∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE
49、 (10分) 如图,已知AB =DC ,AC =DB ,BE =CE ,求证:AE =DE.
C
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC ∴△ABC ≌△DCB , ∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC ∴△ABE ≌△DCE ∴AE=DE
50.如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE .
E
B
图9
作CG ⊥AB, 交AD 于H, 则∠ACH=45º, ∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA
∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB ∴△CFD ≌△BED ∴∠ADC=∠BDE