圆锥曲线练习题

第二章 圆锥曲线

一、选择题

x2y2

1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3， 1． 已知椭圆2516

则P到另一焦点距离为（ ）

A．2 B．3 C．5 D．7

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）

x2y2x2y2

1 B．1 A．9162516

x2y2x2y2

1或1 D．以上都不对 C．25161625

3．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线

4．设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且cd，

那么双曲线的离心率e等于（ ）

A．2 B．3 C．2 D．

5．抛物线y10x的焦点到准线的距离是（ ） 2

515 B．5 C． D．10 22

26．若抛物线y8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ）。 A．

A

．(7, B

．(14, C

．(7, D

．(7,

二、填空题

1．若椭圆xmy

122_______________. 2．双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

x2y2

1表示双曲线，则k的取值范围是 。 3．若曲线4k1k

4．抛物线y6x的准线方程为＿＿＿＿＿.

225．椭圆5xky5的一个焦点是(0,2)，那么k 2

三、解答题

1．k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个公共点？有一个公共点？

没有公共点？

2．在抛物线y4x2上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,5),F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

x2y2

21(b0)上变化，则x22y的最大值为多少？ 4．若动点P(x,y)在曲线4b

第二章 圆锥曲线

[综合训练B组]

一、选择题

1．如果x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

A．0, B．0,2 C．1, D．0,1

x2y2

1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） 2．以椭圆2516

x2y2x2y2

1 B．1 A．1648927

x2y2x2y2

1或1 D．以上都不对 C．1648927

3．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q

则双曲线的离心率e等于（ ）

A．21 B．2 C．21 D．22 2，

x2y2

01的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF4．F1,F2 是椭圆1F245，则 97

ΔAF1F2的面积为（ ）

A．7 B．7775 C． D． 422

5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2y22x6y90的圆心的抛物线的方程是（ ）

A．y3x2或y3x2 B．y3x2

C．y29x或y3x2 D．y3x2或y29x

6．设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则AB的最小值为（ ）

A．p B．p C．2p D．无法确定 2

二、填空题

1x2y2

1的离心率为，则k的值为______________。 1．椭圆2k89

2．双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，则k的值为______________。

3．若直线xy2与抛物线y24x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是______。

4．对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足PQa，则a的取值范围是____。

x2y231的渐近线方程为y5．若双曲线 x，则双曲线的焦点坐标是_________．4m2

x2y2

6．设AB是椭圆221的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点， ab

则kABkOM____________。

三、解答题

x2y2

1的右焦点，在椭圆上求一点M， 1

．已知定点A(，F是椭圆1612

使AM2MF取得最小值。

2．k代表实数，讨论方程kx22y280所表示的曲线

x

2y2

1有相同焦点，且经过点，求其方程。 3．双曲线与椭圆2736

4． 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为， 求抛物线的方程。

第二章 圆锥曲线

[提高训练C组]

一、选择题

1．若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）

A

．(,1

4111 B

．(, C

．(, D

．(, 4844484

x2y2

1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直， 2．椭圆4924

则△PF1F2的面积为（ ）

A．20 B．22 C．28 D．24

3．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在 抛物线上移动时，使MF取得最小值的M的坐标为（ ）

A．0,0 B．,1 C．1,2 D．2,2 1

2

x2

y21共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（ ） 4．与椭圆4

x2x2x2y2y2

222y1 B．y1 C．1 1 D．xA．24233

225．若直线ykx2与双曲线xy6的右支交于不同的两点，

那么k的取值范围是（ ）

A．（,） B．（0,） C．（（,0） D．,1） 33333

26．抛物线y2x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线yxm对称， 1，则m等于（ ） 2

35A． B．2 C． D．3 22且x1x2

二、填空题

x2y2

1的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时,点P横1．椭圆94

坐标的取值范围是 。

2．双曲线tx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则这双曲线的离心率为___。

3．若直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则AB______。

4．若直线ykx1与双曲线x2y24始终有公共点，则k取值范围是

5．已知A(0,4),B(3,2)，抛物线y28x上的点到直线AB的最段距离为__________。

三、解答题

180变化时，曲线x2y2cos1怎样变化？ 1．当从0到

00

x2y2

1的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2600， 2．设F1,F2是双曲线916

求△F1PF2的面积。

x2y2

3．已知椭圆221(ab0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直 ab

a2b2a2b2

x0. 平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：aa

x2y2

1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4．已知椭圆43

y4xm对称。

空间向量与立体几何解答题精选

1．已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，

1DAB90,PA底面ABCD，且PAADDC，2

AB1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

2．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形, 平面VAD底面ABCD．

（Ⅰ）证明：AB平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．

3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，

侧棱PA底面ABCD

，ABBC1，PA2，

E为PD的中点. （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，

并求出点N到AB和AP的距离.

4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB4,BC2,CC13,BE1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC的距离. 1F

5．如图，在长方体ABCDA,AB2，点E在棱AD上移1BC11D1，中，ADAA11

动.（1）证明：D1EA1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

. 4

6．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EA

EB1，已知AB

BB12,BC1,BCC1



3

，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角AEB1A1的平面角的正切值.

7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上

一点，PFEC. 已知PD

2,CD2,AE

1, 2

求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

D （Ⅱ）二面角EPC的大小.

角EPCD的大小为

. 4

（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练A组]

一、选择题

1．D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10,1037 2．C 2a2b18,ab9,2c6,c3,c2a2b29,ab1

x2y2x2y2

1或1 得a5,b4，

25161625

3．D PMPN2,而MN2，P在线段MN的延长线上

2a2c2222

c,c2a,e22,e4．

C ca

5．B 2p10,p5，而焦点到准线的距离是p

6．C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线x

2的距离，得xP7,yp二、填空题

x2y2

1,a1； 1．1,或2 当m1时，

11

m

y2x2a2b231212

1,e1m,m,a4,a2 当0m1时，21a44mm

x2y2

1 设双曲线的方程为x24y2,(0)，焦距2c10,c225 2．

205

当0时，

x2





y2

4

1,



4

25,20；

x21,()25,20 当0时，

44

3．(,4)4．x

y2

(1,k) (4k)(10k,(k4)(1)k或0,k1, 

3p3

p3x, 2p6,

222

y2x251,c214,k1 5．1 焦点在y轴上，则51kk

三、解答题

ykx22222

1．解：由2，得，即2x3(kx2)6(23k)x12kx60 2

2x3y6

144k224(23k2)72k248

2

当72k48

0，即k

时，直线和曲线有两个公共点； 或k

33时，直线和曲线有一个公共点； 或k

33

k 当72

2

48

，即0k

k 当72

2

48

，即0 k

2．解：设点P(t,4t)，距离为d

，d 当t

2

2 

11

时，d取得最小值，此时P(,1)为所求的点。 22

y2x2

1； 3．解：由共同的焦点F1(0,5),F2(0,5)，可设椭圆方程为22

aa25169y2x2

1,a240 1P(3,4)双曲线方程为2，点在椭圆上，222

aa25b25b

双曲线的过点P

(3,4)的渐近线为y

x，即4

3,b216

y2x2y2x2

1；双曲线方程为1 所以椭圆方程为

4015169

4．解：设点P(2cos,bsin)，x2y4cos

2

2

2bsin4sin22bsin4

b

4

22

令Tx2y,sint,(1t1)，T4t2bt4,(b0)，对称轴t

当

bb

1,即b4时，TmaxT|t12b；当01,即0b4时， 44

Tmax

b2

b4b4,0

)ax4T|b4 (x22ym

t442b,b4



2

（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [综合训练B组]

一、选择题

y2x221,20k1 1．D 焦点在y轴上，则22kk

x2y2

1； )a4,c8,b2．C 当顶点为(

4,0时，

1648y2x2

1 ,3)a3,c6,b 当顶点为(0

时，

927

3．C ΔPF1F

2是等腰直角三角形，PF2F1F22c,PF1

PF1PF22a2c2a,e

c1 a4．

C F1F2AF1AF26,AF26AF1

2202

AF22AF1F1F22AF1F1F2cos45AF14AF18

7

(6AF1)2AF124AF18,AF1

,

2

177S

2222

5．D 圆心为(1,3)，设x2py,p,x 设y2px,p

22

1

6

2

1

y； 3

92

,y9x 2

p

6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当x,yp,ABmin2p

2

二、填空题

5c2k8912

,k4； 1．4,或 当k89时，e2

4ak84

c29k815

,k 当k89时，e2

a944

2

y2x2811,()9,k1 2．1 焦点在y轴上，则81kkkk

y24x2

3．(4,2) ,x8x40,x1x28,y1y2x1x244

yx2

中点坐标为(

x1x2y1y2

,)(4,2) 22

t2t222222

4．,2 设Q(,t)，由PQa得(a)ta,t(t168a)0,

440a, t2168a0,t28a16恒成立，则8a16

5．

(

,0)渐近线方程为y

2

x，得m3,c，且焦点在x轴上

x1x2y1y2b2y2y1M()6． 2 设A(x，则中点，得k, ,y),B(x,y)AB1122

22ax2x1

kOM

y2y1y22y12222222

，kABkOM2，bxayab, 112

x2x1x2x1

2

2

22

2

2

2

1

2

2

21

y22y12b2

2 bx2ay2ab,得b(x2x)a(y2y)0,即2

2

x2x1a

2

2

三、解答题

1x2y2

1的a4,c2,e，记点M到右准线的距离为MN 1．解：显然椭圆

21612

则

1

e,MN2MF，即AM2MFAMMN MN2

MF

当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM2MF取得最小值，

x2y2



1得Mx此时MyAy1612

而点M

在第一象限，M

y2x2

1为焦点在y轴的双曲线； 2．解：当k0时，曲线

84k

当k0时，曲线2y280为两条平行的垂直于y轴的直线；

x2y2

1为焦点在x轴的椭圆； 当0k2时，曲线84k

当k2时，曲线x2y24为一个圆；

y2x2

1为焦点在y轴的椭圆。 当k2时，曲线

84k

y2x2y2x2

1的焦点为(0,3),c3，设双曲线方程为21

3．解：椭圆23627a9a

过点，则

161522

1a9， ，得，而a4,或3622a9a

y2x2

a4，双曲线方程为1。

45

2

y22px

,消去y得 4．解：设抛物线的方程为y2px，则

y2x1

2

4x2(2p4)x10,x1x2

p21

,x1x2

24

AB1x2

，

p24p120,p2,或6 y24x，或y212x

（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [提高训练C组]

一、选择题

1．B 点P到准线的距离即点P到焦点的距离，得POPF，过点P所作的高也是中线

Px

112

，代入到yx得Py

P(,

8484

2．D PF14,(P1F1PF2

P22F)196,2P1F

P1FP2 42F

2

P2F

(22c)，相减得100

2PF1PF296,S

1

2

3．D MF可以看做是点M到准线的距离，当点M运动到和点A一样高时，MF取

得最小值，即My2，代入y22x得Mx2

x2y2

1过点Q(2,1) 4．

A c41且焦点在x轴上，可设双曲线方程为2，c2

a3a

2

41x22

1a2,y21 得22

a3a2

x2y262

5．D ,x(kx2)26,(1k2)x24kx100有两个不同的正根

ykx22

4024k0

4k2

则x1x2得k1 0,2

31k

10xx01221k

6．A kAB

xx1y2y1y2y11

) 1,而y2y12(x22x12),得x2x1，且(222x2x12

在直线yxm上，即

2

2

y2y1x2x1

m,y2y1x2x12m 22

2

(2x 2(x2x1)x2x12m,2[x1)

二、填空题 1

．(

2x]xxm2x1212m,2

3

, m2

22

) 可以证明PF1aex,PF2aex,且PF1PF255

5e,2

(aex)(ae2x)(22c),22a2

2

F1F2

而a3,b2,c2e2x22

20e, x

1

x2

111,x

,e即e2ee11

渐近线为yx，其中一条与与直线2xy1

0,t

242

x2

y21,a2c, 4

5e,

2

y28x4k8

3

．,k2x2(4k8)x40,x1x24 2

kykx2

2

得k1,或2，当k1时，x4x40有两个相等的实数根，不合题意

当k

2时，AB1x2

x2y2424

．1,,x(kx1)24,(1k2)x2kx50

2ykx1

当1k20,k1时，显然符合条件；

2

当1k

0时，则2016k0,k2

5

．

直线AB为2xy40，设抛物线y28x上的点P(t,t2)

5

d三、解答题

22 0

1．解：当0时，cos01，曲线x2y21为一个单位圆；

y2x2

1为焦点在y轴上的椭圆； 当090时，0cos1，曲线1cos

当90时，cos900，曲线x1为两条平行的垂直于x轴的直线；

002

x2y2

1为焦点在x轴上的双曲线； 当90180时，1cos0，曲线

11

cos

22

当180时，cos1801，曲线xy1为焦点在x轴上的等轴双曲线。

00

x2y2

1的a3,c5,不妨设PF1PF2，则PF1PF22a6 2．解：双曲线

916

F1F22PF12PF222PF1PF2cos600，而F1F22c10

得PF1PF2PF1PF2(PF1PF2)PF1PF2100

2

2

2

PF1PF264,S

1

PF1PF2sin6002

x1x2y1y2yy

,)，得kAB21, 22x2x1

3．证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则中点M(

b2x12a2y12a2b2,b2x22a2y22a2b2,得b2(x22x12)a2(y22y12)0,

x2x1y22y12b2

AB即2，的垂直平分线的斜率k, 22

y2y1x2x1aAB的垂直平分线方程为y

y1y2xxxx

21(x12), 2y2y12

y22y12x22x12b2x2x1

当y0时，x0 (12)

2(x2x1)a2

a2b2a2b2

x0. 而2ax2x12a，aa

4．解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，kAB

y2y11

,

x2x14

而3x124y1212,3x224y2212,相减得3(x22x12)4(y22y12)0, 即y1y23(x1x2),y03x0，3x04x0m,x0m,y03m

m29m2

1,即而M(x0,y0)在椭圆内部，则。 m43