平面向量的综合运用
平面向量的综合运用
1. 设a ,b 是两个非零向量,如果(a +3b ) ⊥(7a -5b ) ,且(a -4b ) ⊥(7a -2b ) ,则a 与b 的夹角为________.
(7a -5b )=0,⎧(a +3b )·解析 由⎨ (a -4b )·(7a -2b )=0,⎩
2b -15b 2=0,⎧7a +16a ·得⎨2 b +8b 2=0,⎩7a -30a ·
a ·b a ·b 1π所以a 2=b 2=2a ·b ,所以cos θ=|a ||b ||a |=2,又θ∈[0,π],故θ=3.
π答案 3π2. 在平行四边形ABCD 中,∠A =3,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N
分别是边BC 、CD 上的点,且满足
→||CN →||BM →·→的取值范围是________.
AM AN →||CD →||BC
解析 建立平面直角坐标系,如图.
→→⎛5⎛13⎫3⎫BM CN 则B (2,0),C ,D . 令λ, →CD →⎝22⎭⎝22⎭BC
⎛λ⎛53⎫3⎫则M +2,λ⎪,N 2λ,⎪. 2⎭2⎭⎝2⎝2
λ⎫⎛5⎫3→·→=22⎪ 2-2λ⎪+λ ∴AM AN ⎝⎭⎝⎭4
=-λ2-2λ+5=-(λ+1) 2+6.
→·→∈[2,5]. ∵0≤λ≤1,∴AM AN
答案 [2,5]
→=a ,CA →=b ,AB →=c ,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则a ·3.在△ABC 中,BC b +b ·c
+c ·a =________.
→|2=|BC →|2+|AB →|2,∠B =90°解析 由|a |=1,|b |=2,|c |=3,可得|CA ,∠C =
60°,∠A =30°,所以a ·b +b ·c +c ·a =2cos 120°+23cos 150°+0=-4. 答案 -4
4. 如图,△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,
→·→=________. BC =7,则AO BC
→·→=AO →·→-AB →) 解析 AO BC (AC
→·→-AO →·→, =AO AC AB
→在AB →上的投影为1|AB →|,所以因为OA =OB ,所以AO 2
1→→→→AO ·AB =2|AB |·|AB |=2,
→·→=1|AC →|·→|=9, 同理AO AC |AC 22
→·→=9-2=5. 故AO BC 22
5答案 25. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB
AF =________. =3,AC =6,则AE ·AF =AB +BE ·AC +CF =解析:AE ·() () ⎛AB +1BC ⎫·⎛AC -1 BC ⎫ 33⎝⎭⎝⎭
11=AB ·(AC -AB ) AC -9BC |2+3BC ·
22=|BC |2=45=10. 99
答案:10
6. 已知
OP =O 是ΔABC 所在平面内一定点, 动点P 满足O B +
2O C +λ(A B +AB c o B s AC A C +∞(, 0, 则动点P ) 的轨迹一定通过 C c o s λ) ∈
,
ΔABC 的 心.
7. 已知单位向量a ,b 的夹角为120°,那么|2a -x b |(x∈R ) 的最小值是________.
8. (2012·安徽) 若平面向量a 、b 满足|2a -b |≤3,则a·b 的最小值是________.
9. 如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD ,垂足为P ,AP =3且AP AC
= . 10. 设a =(cosα,sin α), b =(cosβ,sin β) , 且ka +b =-kb ,(k >0) .
(1)用k 表示a ⋅b (2)是否存在实数k , 使得a ⊥b ?
(3) 当a ⋅b 取得最小值时, 求a , b 的夹角θ.
11. 已知向量a =(cos33x x πx ,sin x ), b =(cos, -sin ) , 且x ∈[0,],(1)求a ⋅b , a +b . 22222
3(2)若f (x ) =a ⋅b -2λa +b 的最小值为-, 求λ. 2
12.
3π如图,半径为1圆心角为的圆弧AB 上有一点C. 2
→→(1) 若C 为圆弧AB 的中点,D 在线段OA 上运动,求|OC+OD |的最小值.
→→(2) 若D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点,当C 在圆弧AB 上运动时,求CE ·DE 的取值
范围.