二次函数的表达式与最值(学生版)
二次函数的表达式与最值 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的表达式与最值是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的表达式求法:
1.一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) ;
2.顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ,其中顶点坐标是(h , k ) ;
3.交点式(两根式):y =a (x -x 1)(x -x 2) (a ≠0) ,其中x 1, x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.
【例1】已知抛物线与x 轴有两个交点(2,0),(-1,0) ,且过点(1,3),求这条抛物线的表达式.
【变式1】已知二次函数的图象过点(-2,0) ,(6,0),最大值为8,求二次函数的表达式.
【小结】求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: ①若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;
②若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;
③若给出抛物线与轴的交点或对称轴或与轴的交点距离,通常可设交点式.
二、二次函数的最值
【例2】(1)当x 取任意实数时,函数y =x -2x -3的最小值为___________
2 (2)当-3≤x ≤-2时,函数y =x -2x -3的最小值为____;最大值____.
2 (3)当0≤x ≤4时,函数y =x -2x -3的最小值为______;最大值为_____.
2 (4)当2≤x ≤3时,函数y =x -2x -3的最小值为____;最大值为_____. 2
【变式1】求函数y =x 2-2x -3在a ≤x ≤a +1上的最小值.
【思考】若函数y =x 2-2x -3在a ≤x ≤a +1上的最小值为-3,求a 的值.
2【变式2】求函数y =x -2x -3在a ≤x ≤a +1上的最大值
2【变式3】求函数y =x -2ax -3在-3≤x ≤-2上的最小值
2【拓展】求函数y =x -ax +2在a ≤x ≤a +2上的最小值
【总结】
1.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步确定a 的符号,a >0有最小值,a
第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
2.求二次函数在某一范围内的最值.(如:y =ax 2+bx +c 在m ≤x ≤n (其中m
第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:x =x 0;
第二步:讨论:
(1)若a >0时求最小值或a
③对称轴大于n 即x 0>n ,即对称轴在m ≤x ≤n 的右侧。
(2)若a >0时求最大值或a
m +n ,即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的左侧; 2
m +n ②对称轴x 0>,即对称轴在m ≤x ≤n 的中点的右侧; 2 ①对称轴x 0≤
【课后练习】
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、已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4,且过点(0,-1) ,
(1)求二次函数的解析式;
(2)求二次函数在-2≤x ≤1上的最大值和最小值.
2、已知抛物线过两点A (1,0),B (0,-3) ,且对称轴是直线x =2,
(1)求抛物线的表达式;
(2)求抛物线在t -1≤x ≤t +1上的最大值.
23、求函数y =x -2ax -1在0≤x ≤2上的最大值和最小值.
1、解:(1
)∵二次函数的对称轴为x =
y =a (x 2+b , 又∵二次函数截x 轴上的弦长为4
,∴二次函数过点(2,0) ,
二次函数又过点(0,-1) ,
1⎧a =⎧4a +b =0⎪∴⎨, ⎨2,
⎩2a +b =-1⎪⎩b =-2
1122∴y =(x -2=x +-1. 22
1(x 2-2有最小值为-2; 2
112当x =
1时,二次函数y =(x +-
2. 22
2、解:因为抛物线过点A (1,0),且对称轴是直线x =2, 所以抛物线必过点(3,0) 故设抛物线的表达式为y =a (x -1)(x -3) , (2
)由图可知,当x =
y =
由于抛物线过点B (0,-3) ,所以a (0-1)(0-3) =-3,解得a =-1.
所以抛物线的表达式为y =-(x -1)(x -3) =-x 2+4x -3.
2(2)①当t +1≤2即t ≤1时,当x =t +1时,y =-x 2+4x -3有最大值为-t +2t .
②当t -1
2③当t -1≥2即t ≥3时,当x =t -1时,y =-x 2+4x -3有最大值为-t +6t -8.
⎧-t 2+2t t ≤1⎪综上所述y 的最大值为y max =⎨11
⎪-t 2+6t -8t ≥3⎩
3、解:y =x 2-2ax -1=(x -a ) 2-a 2-1,对称轴是x =a .
①当a ≤0时,如图1:当x =2时,y =x 2-2ax -1有最大值3-4a ; 当x =0时,y =x 2-2ax -1有最小值-1.
②当0
③当1
2当x =a 时,y =x -2ax -1有最小值-a -1. 222
④当a ≥2时,如图4:当x =0时,y =x -2ax -1有最大值-1;
当x =2时,y =x -2ax -1有最小值3-4a
综上所述,y 的最小值为y min 22⎧-1⎪=⎨-a 2-1
⎪3-4a ⎩a ≤00
y 的最大值为y max =⎨⎧3-4a a ≤1
a >1⎩-1
图1 图2 图3 图
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