费尔巴哈和他的九点圆
作者：汪晓勤
中学数学杂志 2000年08期
所谓“九点圆”，是指经过三角形三条高的垂足、三条边的中点以及连接垂心和顶点的三条线段的中点这九个特殊点的圆。历史上有好几个数学家都曾独立发现过这个圆。在1804年，英国人贝凡（B.Bevan）和布特沃尔斯（J.Butterworth）已经知道这个圆。1821年，法国数学家布里安双（C.J.Brianchon，1783～1864）和庞斯列（J.V.Poncelet，1788～1867）在一篇联名发表的论文中，证明了九点共圆的事实。
如图1所示，设AM、BN、CP是三角形ABC的三条高线，M、N、P 分别是垂足，O是垂心，D、E和F分别是AB、BC和CA的中点，A＇、B＇和C＇分别是OA、OB和OC的中点，因△ABM∽△CBP，故得AB：BM＝BC：BP，所以BM·BE＝BD·BP。因此M、E、D、P四点共圆。同理可证M、E F、N四点以及N、F、P、D四点也分别共圆。若上述两两有公共弦的三个圆不是同一个圆，则这三条公共弦必经过同一点；然而现在PD、ME 和FN 在△ABC的三条边上，显然不过同一点。因此它们必重合为同一个圆。 又因Rt△COM∽Rt△CPB，因此CO：CM＝CB：CP。所以CC＇·CP＝CE·CM，因此过M、E、P的圆也经过点C＇。同理，它也经过点A＇和B＇。因此它经过M、N、P、D、E、F、A＇、B＇和C＇九点。
1822年，德国爱尔兰根大学预科学校年轻的数学教授费尔巴哈（K.W.Feuerbach，1800～1834）出版《直线三角形一些特殊点的性质》一书，讨论了三角形内心、外心和垂心的性质及其位置关系独立获得了九点圆，并证明了关于九点圆的一个重要定理——一个三角形的九点圆与它的内功圆相内切，与它的三个旁切圆相外切。此定理使费尔巴哈著称于世。费尔巴哈的工作是后世三角形几何研究的先声，九点圆，这一
△ABC垂心O和各顶点的线段之中点。
连接LS，在△KOS中，OS[2]＋SK[2]＝2OL[2]＋2LS[2]； 由定理12、13以及OL[2]＝R[2]/4－ρR得LS[2]＝（R/2－γ）[2]或即LS＝R/2－γ。设△ABC的旁切圆圆心分别为S＇、S″和S'''，则类似可得：
LS′＝R/2＋γ′、LS″＝R/2＋γ″，LS'''＝R/2＋γ'''
但R/2是△MNP外接圆之半径，因此费尔巴哈最后得到
定理18 （费尔巴哈定理）△MNP的外接圆与△ABC的内切圆相内切，与△ABC的三个旁切圆相外切。
作者介绍：汪晓勤，中国科学院自然科学史研究所