两矢量的矢量积
§8 两矢量的矢量积
定义1 设矢量c 是由两个矢量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角;c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定,我们把这样的矢量c 叫做矢量a 与b 的矢量积, 记作a ⨯b , 即
c =a ⨯b .
从定义知矢量积有下列性质:
(1) a ⨯a =0
(2) 对于两个非零矢量a ,b , 如果a ⨯b =0, 则a //b ;反之, 如果a //b , 则a ⨯b = 0.
定理1 两矢量a 与b 共线的充要条件是a ⨯b =0. 证 当a 与b 共线时,由于sin(a 、b )=0,所以|a ⨯b |=|a ||b | sin(a 、b )=0,从而a ⨯b =0;反之,当a ⨯b =0时,由定义知,a =0 ,或b =0,或a //b ,因零矢可看成与任矢量都共线,所以总有a //b ,即a 与b 共线.
定理2 矢量积满足下面的运算律:
(1) 交换律 a ⨯b =-b ⨯a ,
(2) 分配律 (a +b ) ⨯c =a ⨯c +b ⨯c ,
(3) 数因子的结合律 (λa ) ⨯b =a ⨯(λb ) =λ(a ⨯b ) (λ为数).
证 (略).
定理3 设a = ax i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + b z k ,
则 a ⨯b =(a y b z -a z b y ) i +(a z b x -a x b z ) j +
(a x b y -a y b x )k .
证 由矢量积的运算律可得
a ⨯b =(a x i +a y j +a z k ) ⨯(b x i +b y j +b z k )
=a x b x i ⨯i +a x b y i ⨯j +a x b z i ⨯k
+a y b x j ⨯i +a y b y j ⨯j +a y b z j ⨯k
+a z b x k ⨯i +a z b y k ⨯ +a z b z k ⨯k .
由于 i ⨯i =j ⨯j =k ⨯k =0, i ⨯j =k , j ⨯k =i , k ⨯i =j , 所以 a ⨯b =(a y b z -a z b y ) i +(a z b x -a x b z ) j +(a x b y -a y b x )k .
为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成
=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i
=(a y bz -a z by ) i +(a z b x -a x bz ) j +(a x by -a y b x ) k . .
例1 设a =(2, 1, -1) , b =(1, -1, 2), 计算a ⨯b . b x b y b z i j k a ⨯b = a x a y a z
解 2i -j -2k -k -4j -i =i -5j -3k . 例2 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3) 、
B (3, 4, 5) 、C (2, 4, 7) , 求三角形ABC 的面积.
解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积
S ∆ABC
→i j k a ⨯b =21-11-1211=|AB ||AC |sin ∠A =|AB ⨯AC |22→→→→. 由于AB =(2, 2, 2) , AC =(1, 2, 4) , 因此 →
S ∆ABC =i j k AB ⨯AC =222124→→=4i -6j +2k . 于是 .
例3 设刚体以等角速度ω 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.
解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量n 表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指11|4i -6j +2k |=2242+(-6) 2+22=
的指向就是n 的方向.
设点M 到旋转轴l 的距离为a , 再在l 轴上任取一点O 作向量r =, 并以θ 表示n 与r 的夹角, 那么
a = |r | sinθ .
设线速度为v , 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v 的大小为
|v | =| n |a = |n ||r | sinθ
v 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面, 即v 垂直于n 与r , 又v 的指向是使n 、r 、v 符合右手规则. 因此有
v = n ⨯r .
→OM