研究弦线上的驻波现象期末论文

研究弦线上的驻波现象

张悦晨

（华东师范大学物理与材料科学学院 上海 ）

摘要：论文主要研究和观察弦线振动后的上驻波变化，研究弦线振动时，频率、振幅与驻波间的相互影响，用origin处理实验数据得出图像。并且简单分析吉他等弦乐器上的驻波现象和对其音色音调的影响。 关键词：驻波；origin；吉他；弦线振动

The research of Standing wave on a string

Yuechen Zhang

(East China Normal University , Department of Physics)

Abstract: In this paper, the vibration phenomenon is discussed. An experiment is designed to study the relationship between wave length and frequency while keeping tension and linear density, and to study the relationship between wave length and tension while keeping frequency a with curve graph drawn by ORIGIN .And, I’d like to talk about the guitar, which is the example of how the standing wave influences the orchestral.

1弦上驻波

1.1 弦上驻波的产生 弦线上的驻波实验常用一端固定的张紧的弦线来演示，将一砝码系在跨过定滑轮的弦线的一端，振动器（电动音叉）接在弦线的另一端。振动器在弦线上激起横波，横波的频率就是振动器的频率。弦线的固定端B是波节，A端与振动器相连做谐振动，因而不是波节。当波到达端点B时，由于B端

保持固定不动，波就被反射回来与原波干涉形成驻波。

1.2 形成驻波时各物理量的关系 若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播，我们取AB =ds的微元段加以讨论(如图2)。设弦线的线密度(即单位长质量)为ρ，则此微元段弦线ds的质量为ρds。在A、B处受到左右邻段的张力分别为T1、T2，其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成α1、 α2角。由于弦线上传播的横波在x方向无

振动，所以作用在微元段ds上的张力的x

引言：

波的干涉现象的一个特例——驻波是物理教学内容的基本知识点。对于驻波的产生，教材中通常采用如图1实验装置来演示。该实验直观形象地给出了驻波的波形。对弦振动进行研究时，频率太大形成驻波时波腹太小，不明显；若频率太小时，波长太长，需要的弦线太长、本文就弦线上驻波产生需要满足什么条件，驻波产生时，如何找出弦长、弦上张力、弦线密度的关系以及振源频率的最佳组合进行了分析研究。另外还额外讨论弦线上的驻波在乐器上是怎么实现应用的。

（图一）

分量应该为零，即

T2cosα2-T1cosα1= 0 ···········(1) 又根据牛顿第二定律，在y方向微元段的运动方程为

图2 弦线示意图

固定一个波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。用origin进行曲线拟合。由图可知，斜率为0.5644。

上述公式得证。

1.4 横波波长与波源频率的关系（m/g = 128.2g）

其中ρ为弦线密度，T为弦线张力，λ

为弦线波长，f为弦线频率，v为弦线波速，l为弦长。式(3)表示，以一定频率f振动的弦，其波长将因张力T或线密度ρ的变化而变化的规律。

1.3横波波长与弦线张力的关系 （f=40Hz）

在砝码盘上放上一定质量的砝码，以固定弦线上所受的张力，改变波源振动的频率，

用驻波法测量各相应的波长，斜率

上述公式得证。

2.驻波与乐器

2.1乐器的发声

由物体的振动产生的，在声波中前后移动，使空气振动，的振动到达人的耳朵，动，让声波传递给听觉神经，经形成听觉从而可以听到声音。

我们把振动产生声音的物体叫做声源，对于各种不同的声源发出的声音我们听起来会有所不同，有高有低，有大有小，这是因为声源振动的频率和振幅不同。频率是指物体在一秒内振动的次数，振动的频率越高，产生的音调就越越高；而声音的大小取决于振动的幅度，即振幅越大，声音就越大。当然声音的大小，还取决于离声源的距离，这个我们在生活中可以感受到，离声源越近，听到的声音越大，相反越小。

对于弦乐器，如：吉他、二胡、雷琴等都是靠琴弦的振动而发声的，当拨动琴弦时会产生振动，从而使它附近的空气振动，运动到人耳，我们就可以听见弦乐器的发声。当然乐器仅靠弦的振动发出的声音是很小的，就像电吉他，没有插上电源，发出的声音是非常的小，所以我们可以看见，它们都带有一个琴箱，如原声吉他，它通过琴身承受琴弦的振动，并转化为面板的振动，面板随琴弦一起振动，会引起吉他内部的空气柱运动，形成声波，并达到放大的效果，从而让我们可以听见乐器美妙的声音。

2.2吉他的结构

吉他是一种以弦振动而发声的乐器，常分为古典吉他、民谣吉他、夏威夷吉他、及电吉他等。基本构造由琴头、琴颈、琴弦和琴箱四部分组成，在这里我们着重介绍一下原声吉他，如图3：

2.3吉他发声与驻波

在实际生活中我们可以看到很多吉他手，在演奏一首曲子之前都会调试一下他们的吉他的声音，而且弹奏的时候会不停地变换着他们的左手在指板上的位置，从音乐学的上来看这叫做指法的变换，改变了弹奏的和弦。再来仔细的观察吉他的结构图可以看出（1）吉他的六根弦的粗细不同；

（2）品位间的距离不等，从上到下越来越密；

（3）长度l是一定的，都是从琴枕到琴桥。 由于长度一定，所以可以把吉他看作是两端固定的弦振动。根据弦的粗细不同，从细到粗分别命名为一、二、三、四、五、六弦，对应的张力为

T1、T2、T3、T4、T5、T6，线密度分别为u1、u2、u3、u4、u5、u6。

首先以一弦为对象进行分析，线密度为

u1，张力为T1。当把弦按在一品上时会发

出“fa”音，依次往高品位上移动会发出不同的声音，越往高品位发出的声音音调越高。前面我们提到吉他手弹奏一首曲子的时候需要改变很多个和弦，可以看出这个过程其实改变的是琴弦的长度l。

f实验得出k 式3.3，只需

考虑当k=1时，产生的频率是弦的基频，即：

f1，从此式中可以看出吉他手弹

奏一首曲子的时候改变了很多的和弦，其实根本上是通过弦长l的改变来改变了产生的驻波的频率，从而改变声音的音调，以至

达到演奏的效果。

再来比较一下六根弦在同一品位上发出的声音，通过实验得到六根弦在一品上拨动的时候产生的声音都不同，一弦声音要清脆一些，音调要高些。不难发现

从

f1上可以得到，

由Tn一定、l一

定，从而un越小

f1越大，因此一弦的音调

要高一些，六弦的音调要低一些。

从吉他的结构上可以看出品位线之间的距离不是等距的，从上到下越来越密。对于一根弦来看，从上到下依次可以发出do、re、mi、fa、sol、la、si，每隔一个品位音调会往上升一个半音，因此在一定的位置上的发出的音是一定的，所以品位线在指板上的位置是一定的。那么根据3.3式

fk 可以看出设计一把优质的吉他就必须结合材料和结构来进行分析，使它满足相应的驻波条件。前面说到，两端固定的弦给以一个扰动，最终会形成驻波，从而发出声音，但是对于音乐来讲我们要的不是会响，而是要会发出一定音调的声音，因此品位线的不等间距设计，是为了满足了3.3式中的l条件

专业的吉他手在演奏之前往往都会调试一下吉他，看看音调准不准，那他们是根据什么来衡量音调的准确度呢，其实很简单，根据文献[1]可知：吉他的标准音是一弦的

空弦与二弦五品的相同；二弦的空弦与三弦四品相同；三弦的空弦与四弦五品的相同等等。所以，调弦不一定必需专业的吉他手才可以调弦，一般的人不懂音调的高低，听不出来，但是可以通过观察相应两弦之间是否达到共振来调试的。

当然从3.3式中可以看出调弦其实是通过改变张力T的大小来改变其产生的振动频率是否满足相应音调的驻波条件。

4.结论

经过实验，我们明白了，调节频率会使弦线振动的速度改变，f越高，速度越大。调节振幅大小会改变弦线振幅，振幅越大，弦线的振幅越大。两波节点距离意味着半波长。在讨论驻波在乐器中的应用时，明白如果要设计一把具有宽音域的多弦乐器，必须全面考虑影响频率的四个因素：张力、弦长、密度、直径。如果只改变长度所能产生的音调是很少的，仅介于最长弦与最短弦之间，这将会使吉他低音因弦长而无法弹奏，或是高音因弦短而无法弹奏；如果只改变弦的张力，其高音的弦的张力可能是弦被拉断，而低音的弦的张力可能会小得无法拨出音调。

参考文献：

[1] 黄东井.吉他演奏问答[M].浙江省新华书店出版社,1990,1:1-20

[2] 陈早生,任才贵.大学物理实验[M].华东理工大学出版社,2003,3:72-75

[3]杨远磊 《驻波在乐器中的应用研究》 玉溪师范学院理学院物理系08级物理2班