关于等价无穷小量代换的一个注记
2006年9月 伊犁师范学院学报 Sept.2006
第3期 Journal of ILi Normal University No.3
关于等价无穷小量代换的一个注记
冯录祥
石河子大学 数学系新疆 石河子 832000
摘 要给出和形式无穷小量等价代换的一个充要条件. 关键词无穷小量等价无穷小量代换
中图分类号O
172.1 文献标识码
A 文章编号10091
076
[1**********]2
证 首先李秀敏在文献[1]
中指出等价无穷小量代换
α+βα+β−α′−β′[α−α′]+[β−β′]在多项式之比中使用不是普遍可行的.并同时给出
−1== ′′′′′′+++αβαβαβ了和形式无穷小量等价代换的一个结果即文献[1]
中的定理2 α−α′β−β′
α−α′β−β′β′=+=+ 1 定理2设α~α′,β~β′,则
α′+β′α′+β′1+1+α′β′1若α与β不等价则α−β~α′−β′
2若α与β等价则α−β与α′−β′未必等α~α′,β~β′
βα价. =1,lim=1 lim
α′β′该定理中的第二部分可以这样解释若α与β等价则α−β与α′−β′可能等价也可能不等价.
据此可知α−β~α′−β′的充分条件决不仅是α与β不等价也可能是α与β等价.这样一来定理2在和形式无穷小量等价代换中的运用就显得很不方便也不便于操作.主要表现在当α与β等价时α−β与α′−β′是否等价这样一来定理2在和形式无穷小量等价代换中的作用大大降低.另外我们指出文献[1]中的定理2也无法完满解释其中例2解法错误的真正原因.那么和形式无穷小量等价代换的充要条件是什么我们在教学中解决了这一问题.
为方便首先说明下边的定理及推论中的无穷小量其自变量都是x其趋近过程都相同在有关的极限中都省去了极限的趋近过程.
定理若α~α′,β~β′则α+β~α′+β′的充要条件是
α
lim≠−1. β
βα
−1)=0,lim(−1)=0α′β′
lim(
lim
β−β′α−α′
=0,lim=0 α′β′
2
充分性 设lim
α
=a≠−1β
则
lim
α′α
=lim=a≠−1β′β
故 lim于是
β′1
=≠−1 α′a
3
由123得
收稿日期作者简介
20060116 冯录祥１９５４
男陕西扶风人教授主要从事常微分方程研究．主要从事常微分方程研究．
26 伊犁师范学院学报 伊犁师范学院学报 伊犁师范学院学报 2006年
α
+β
−1)
α′+β′
则有lim注例1解
a1α1+a2α2aα′+aα′
=lim1122.
′+b2β2′b1β1+b2β2b1β1
1−cosx+2sinx
.
x→0arcsin2x−sinxlim
x2
1−cosx
~
2
lim
2sin
x~2x
本推论还可推广到多个无穷小量的情形. 求极限
x→0时
α−α′limβ−β′
00β′′+=+=0=
βα11+a
lim(1+lim(1+)1+
α′β′alim
lim
α+β
=1
α′+β′
即 α+β~α′+β′.
2
arcsinx~
x,−sinx~−xarcsin2x
=−2≠−1
x→0−sinxlim
1−cosx
=0≠−1
x→02sinx
必要性 设 α+β~α′+β′.则由
1有
α+β
−1)0
=lim(
α′+β′
故由定理的推论
x2+2x
1−cosx+2sinx
=lim=2. lim
x→0arcsin2x−sinxx→02x−x
α−α′limβ−β′
′00β++==
lim(1+lim(1+)1+lim1+lim
α′β′α′β′
lim
例2解
求极限
x
→0时
x−sin2x
.
x→0x+sin2xlim
x~x,sin2x~2x
lim
且
lim
α′
≠−1β
′
lim
αα′=lim
ββ′
lim
α
≠−1. β
x
1
=−≠−1
x→0−sin2x2limx
=1≠−1
x→0sinx
这样一来就得到了和形式无穷小量等价代换的充要条件.
这个条件简洁明快使用起来十分方便.
现在来回答文献[1]中例2解法 lim
x−xtgx−sinx==0 lim
x→0x→0x3x3
tgx
=−1
x→0−sinx
故由定理的推论
x−sin2xx−2x1
=lim=−.
x→0x+sin2xx→0x+2x3lim
的错误.
因为对tgx + (-sinx)而言有lim
于是由本文定理知tgx - sinx不等价于x - x.
于是这个代换就是错误的了.
推论设αi~α
i′,βi~βi′(i=1,2)ai,bi为非零常数
若 aαbβ
lim11≠−1 且lim11≠−1
a2α2b
2β2
参考文献
[1]李秀敏.等价无穷小量代换在求极限中应
36-37. 用[J].高等数学研究
20025
3
[2]同济大学数学教研室主编.高等数学上
第四版[M].
高等教育出版社1996. 册
[3]华东师范大学数学系.数学分析
上册第三版[M].
高等教育出版社2001.
责任编辑
新柳
A Note on Equivalence Transformation of Sum-forms Infinitesimal Quantity
FENG Lu-xiang
(Dept.Math.,Shihezi Univ.,Shihezi 832000, Xinjiang)
Abstract: A necessary and sufficient condition on equivalence transformation of sum-form,s infinitesimal quantity is give.
Key words: infinitesimal quantity; equivalence infinitesimal quantity
关于等价无穷小量代换的一个注记
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
冯录祥， FENG Lu-xiang
石河子大学,数学系,新疆,石河子,832000伊犁师范学院学报
JOURNAL OF ILI NORMAL UNIVERSITY2006，""(3)1次
参考文献(3条)
1.李秀敏 等价无穷小量代换在求极限中应用[期刊论文]-高等数学研究 2002(03)2.同济大学数学教研室 高等数学 19963.江苏医学院 中华大词典 2001
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引证文献(1条)
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