病态函数的性质
一、Dirichlet 函数D (x ) D (x )=⎨
⎧1⎩0
x ∈Q x ∈R /Q
2n
它可由无穷次的累次极限运算得到D (x )=lim lim (cos m ! πx )(其中m , n 位置不可交换)
m →∞n →∞
1).Dirichlet 函数的不连续性
证明:对于任意x 0∈R , 取x n ∈Q , 且x n →x 0(n →∞) ,则有lim D (x n )=1
n →∞
再取y n ∈R /Q , 且y n →x 0(n →∞) ,则有lim D (x n )=0
n →∞
由海涅定理可知lim D (x )不存在
x →x 0
再由x 0的任意性 D (x )在任意点处的极限都不存在,故函数在任意点处都不连续. 注:1.由上述证明可知,也就是说,D (x )的非连续性本质上说的是在任意点处的极限不存在,
对于任意x 0∈R ,x 0都是D (x )的第二类间断点,这也就说明了Dirichlet 函数的图像无法画出。
2. 利用函数极限的Cauchy 准则亦可证明
'
任取x 0∈R 对于任意的δ>0,设x ∈
(x 0; δ)
P ;x " ∈
(x 0; δ)
(R /P )
存在ε=
11
,使得D (x ' )-D (x " )=1≥ 故lim D (x )不存在
x →x 022
推广:利用Dirichlet 函数构造仅存在若干个连续点的函数 1. 函数f (x )=xD (x )=⎨
⎧x
⎩0
x ∈Q x ∈R /Q
在点x =0处连续。
证明:对于任意ε>0,存在δ=ε,当x ∈ ∴x D (x )≤
(0; δ)时,D (x )≤1
x
x →0
故lim f (x )=0=f (0)
2. 函数f (x )=
∏(x -a )D (x )在点a (i =1,2,3,
i
n
i
, n ) 处连续。
i =1
2).Dirichlet 函数的不可导性
由D (x )在任意点处的极限都不存在,即在任意点处都不连续可知,D (x )在任意点处都不可导。但由上述对D (x )连续性的推广可以大胆的猜想;是否存在仅在有限个点可导的函数?
⎧x 2
1. 函数f (x )=x D (x )=⎨
⎩0
2
x ∈Q x ∈R /Q
仅在点x =0处可导.
证明:lim
x →0
f (x )-f (0)
=lim xD (x )=0 ∴f ' (0)=0 x →0x -0
n
2
2. 函数f (x )=
∏(x -a i )D (x )仅在点a i (i =1,2,3,
i =1
, n ) 处可导.
3).Dirichlet 函数的不可积性
证明:由D (x )的周期性,对Dirichlet 函数的可积性的讨论只需研究任意区间上的可积
性,取I =[0,1],对于任意分割T, 在属于T 的任一小区间∆i 上 当ξi ∈P 时,
n
n
n
∑D (ξ)∆x =∑∆x
i
i
i =1
1
i
=1;当ξi ∈R /P 时,∑D (ξi )∆x i =0
i =1
∴不论T 怎么取,只要ξi 的取法不同,积分和就存在不同的极限
故D (x )在[0,1]上不可积
说明:可积一定有界,反之不成立。D (x )就是有界不可积的最好反例。 4).Dirichlet 函数的若干推论
推论1:设g (x )在R 上连续,f (x ) =g (x )⋅D (x ),则g (x )的零点x i 是f (x ) 仅有的连续
点, 即f (x ) 在任意x j ; x j ∈R /{x i }处不连续。
推论2:设g (x )在R 上连续,f (x ) =g (x )⋅D (x ),若g (x i )=0,且g (x )=o (x -x 0)
(x →x 0),则f (x ) 仅在x i 处可导,且f ' (x i )=0
说明:推论2中条件“若g (x i )=0,且g (x 5).Dirichlet 函数构造的若干反例
反例1. 任何周期函数必有最小周期
显然D (x )是周期函数,但D (x )不存在最小正周期 反例2. 无穷大量与有界量的乘积一定是无穷大量
f (x ) =x ⋅D (x ) 当x →+∞时,但f (x ) =x ⋅D (x )D (x )是有界量。x 是无穷大量,不是无穷大量
反例3. 函数f (x ) 在点x 0连续,则f (x ) 在x 0的某邻域内一定处处连续
f (x ) =x ⋅D (x )仅在x =0处连续,在x =0的任意邻域内有且仅有一个连续点x =0
k
=(x )ox
-
2
(x -x ) g (x )””可改为“ x →x )()i 00
二、Riemann 函数
⎧1p
当x =(p 、q 为正整数,p /q 为既约真分数)
⎪
R (x ) =⎨q q
⎪0当x =0,1以及(0,1)内无理数⎩
1).Riemann 函数的连续性
R (x ) 在(0, 1内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续 ) 证明:设ξ∈(0,1)为无理数,任给ε>0(不妨设ε
1
) ,满足 2
1
≥ε的正整数q 显然只有有限个(但至少有一个,如q =2) q
从而使R (x )≥ε的有理数x ∈(0,1)只有有限个,设为x 1, x 2, x 3,
取δ=min x 1-ξ, x 2-ξ,
, x n
{, x n -ξ, ξ,1-ξ},则对于任意x ∈(ξ; δ),
当x 为有理数时,有R (x )
∴对于任意x ∈
设η=
(ξ; δ),有R (x )-R (ξ)
p 1为(0,1)内任意有理数,则存在ε0=,
2q q
⎛p ⎫
使得对于任意δ>0,在 ; δ⎪内存在无理数x 0,
⎝q ⎭1
使得R (x 0)-R (η)=R (η)=≥ε0,故R (x ) 在(0,1)内任何有理点处都不连续
q
2).Riemann 函数的可积性
R (x ) 在(0,1)内可积,且⎰R (x )dx =0.
1
证明:任给ε>0,在[0,1]上使得
1εp
>的有理点只有有限个,设为x 1, x 2, x 3, q 2q
, x k .
对[0,1]作分割T ={∆1, ∆2, , ∆n },使得T
ε
2k
,
'
并把T 中所有小区间分为∆i i =1, 2, '
{
, m }和{∆'' i i =1, 2, , n -m }两类,其中
i
{∆}为含有{x }中点的所有小区间,这类小区间的个数m ≤2k (当所有x 恰好都是T 的分
i
i
''
割点时,才有m =2k ) ;而∆i 为不含有{x i }中点的所有小区间.
{}
m
11m 1ε' '
R (x ) 在∆i 上的振幅ωi ≤,∴∑ωi ∆x i ≤∑∆x ' i ≤⋅2k T
22i =122i =1
' '
又
R (x ) 在∆i 上的振幅ωi ≤
n
'' ''
ε
2
n -m
,∴
∑ωi ∆x i ≤
''
''
i =1
ε
2
n -m i =1
∑∆x '' i
ε
2
(2);
由(1)(2)得
∑ω∆x
i i =1
i
1
n
取ξi ∈(0,1)为无理数,则R (ξi ) =0,从而
三、Weierstrass 函数
⎰R (x )dx =∑R (ξ)∆x
i
→0i =1
i
=0
f (x ) =∑a n sin (b n x ) 其中01
n =0
∞
f (x ) 处处连续而又处处不可导
Weierstrass 函数图像如下,对于任意区间上,函数图像都不存在“曲线”