奇偶性与函数运算间的关系及其应用
• 54 •中学数学月刊
2017年第2期
奇偶性与函数运算间的关系及其应用
董吕修(浙江省温州市苍南县嘉禾中学 325800)
摘要:本文揭示了函数奇偶性与函数的运算性质之间的关系,得到一些有意义的结论,结合例子说明这些结论在判断函数奇偶性方面的应用.
关键词:奇偶性;函数运算
1 四则运算
关于奇偶性与四则运算间的关系已有相当多的文献
讨论过,但是大多数未说明零函数这个特例,尤其是下面 和差法则中的③. 而定理1的创新点在于它的记忆方法, 将奇偶性与正负数对应,更容易让高中生记住结论.
定理1 设函数/U ) 与g U ) 的定义域分别为A
与
A 2,a = A i n 八2,且a
,则有
(1)
(线性法则)若《为非零常数,则tt /u ) 与/的奇偶性相同.
(2)
(和差法则)①若/U ) 与g (u ) 均为奇函数/U ) 土 g U ) 为奇函数;②若/U ) 与g (x ) 均为偶函数, 则/U ) 土 g (u ) 为偶函数;③若/U ) 与g U ) 分别为奇 函数与偶函数(零函数除外),则/U ) 土g U ) 为非奇非偶 函数.
(3)
(积商法则)若/U ) 与g U ) 均为奇函数(或偶函
数),则/U ) g U ) 为偶函数;若/U ) 与g U ) 分别为奇 函数与偶函数,则/U g U ) 为奇函数.(对于两个函数的 商有类似结论)
证明 下面只对和差法则的③给予证明,其他情况
类似可证.
令A U ) = /U ) + g U ) ,则由A i 与八2均关于原点 对称知A U ) 的定义域A 也关于原点对称.假设A U ) 是 奇函数,由于/U ) 是奇函数,因此g U ) = A U ) -/U ) 是奇函数,这与g U ) 是偶函数矛盾. 假设A U ) 是偶函 数,由于g U ) 是偶函数,因此/ U ) = A U ) — g U ) 是偶 函数,这与/U ) 是奇函数矛盾.
综上所述,/U ) + g U ) 是非奇非偶函数.
为便于上述结论的记忆,只要记住加法和乘法法则即 可,减法和除法法则可转化为加法和乘法法则.而加乘法 则类似于正负数的加乘法则,将奇函数与负数对应,偶函 数与正数对应即可.
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1) F (. r ) = 2u 3 + 3sin x ;(2) G (. r ) = x (ex + e—U ) ;(3) 犎U ) = sin u + cos u . 解析
(1) 因为/U ) = 2x 3与g U ) = 3Sn x 在犚
上均为奇函数,所以根据奇偶性的和法则知,F U ) 在犚上为奇函数;(2) 因为/U ) =x 在犚上为奇函数,g U ) =
ex +e -x 在犚上为偶函数,所以根据奇偶性的积法则知, G U ) 在犚上为奇函数;(3) 因为/U ) = sin x 与g U ) = cos x 在犚上分别为奇函数和偶函数,且它们均不为零函
数,所以据奇偶性的和法则知,犎U ) 在犚上为非奇非偶
函数.
例2
(1994年高考理科数学第15题)定义在(一⑵,
⑵) )上的任意函数/U ) 都可以表示成一个奇函数g (x )
和一个偶函数M x ) 之和,如果/U ) = lg (10x +1) ,x e
则 (一⑵,+⑵),那么(
).
(A ) g (x ) = x ,h (x ) = lg (10x + 10一x + 2) (B ) g U ) =1[lg (10x +1) + x ],A U ) = 1[+ 1) — x ]
(C ) g (x ) =U —U
2h (x ) = lg 2(10x + 1) — 一
(D ) g (x ) = —U
^ h (x ) = lg U
(10x +1) + ^分析
要找出定义在(一^,+^) 上的一个奇函数
g U ) 与一个偶函数h —) ,使得在此区间上/U ) = g (x ) +h (x ) 恒成立,这里的目标是寻找两个具有指定性
质的未知函数.下面所用的分析法与通常的分析法有些不 同,我们在求出两个未知函数之前先假定它们存在,将要 求证的等式认为已经成立,然后由此式出发作些运算和变 换,看能否有办法求出g U ) 与h —) 的表达式.
由于区间(一⑵,+⑵)关于原点对称,因此可在/—) = g (x ) +h (x ) 中用一x 代替x ,并利用g U ) 与h —) 分 别是奇函数与偶函数,于是得到/(— x ) = g (— x ) +
h (— x ) = —g (x ) +h (x ) ,然后再结合 /U ) = g (x ) +h —) 得到 g U ) = j
[/U ) — /(— x ) ],h (x ) =
2[/—) + /(— x )].最后,从上述表达式可以得到g U ) 与h —) 确实分别是奇函数与偶函数,而且它们的和就是 /—) ,因此原来的存在性假设是正确的,故选C . 2
绝对值运算定理2
设/—) 是定义在A 上的奇函数(或偶函
数),则I /U ) |在A 上均为偶函数.
u ,lg (10x
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结论是显然的.
例3 (2011 •广东)设函数/U ) 和g (x ) 分别是犚上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(
(八)/(x ) +| g (x ) |是偶函数(B ) /(x ) — U U ) |是奇函数(C ) | /(x ) |+g (x ) 是偶函数(D ) | /U ) 卜g (x ) 是奇函数解
析
由定理2知,| /(x ) |和|g (x ) |均为犚上的
).
/[g (—x >] = /[—g (x )] = —/[g (x )].
区别于文献[]中的记忆口诀“同奇则奇,一偶则 偶”,将上述结论归纳为口诀“内偶则偶,内奇同外”,更能 体现复合函数中内外层函数奇偶性对复合函数奇偶性的 影响.
在实际应用中,判断复合函数的奇偶性的理论依据用 的最多的却是定理3的推论形式.
推论1
设函数/(w ) 的定义域为A ,且/(w ) 在A 上
偶函数.再由奇偶性的和差法则知,/(x ) +| g (x ) |是偶 为奇函数,函数g (x ) 的定义域为B ,值域为C ,且g (x ) 在
函数,故选八.3 复合运算
在下文中,如无特别声明,约定用记号■〇£,_〇/,_〇# 分别表示函数g (x ) ,/(w ) ,/[g (x ) ]的定义域,
表示
函数g (x ) 的值域.值得注意的是:当且仅当_D /g = {x €
U (x ) e A m D /} = 0 时,复合函数/[g (x ) ]才有
意义.为讨论奇偶性与复合运算间的关系,笔者有必要先 给出复合函数的一般定义.
定义1[1] 设有两个函数W = g (x ) ,x e D g 和^ =/U ) ,M e ■/,若D /g #0,则存在定义域为的映射, 它将x e D /g 映射为/[g (X ) ],称为函数g (x ) 和函数 /U ) (按此顺序)在D /g 上的复合函数,记作^ = /[g (x ) ],x e D /g ,常简记作/。g . 其中w 叫作中间变 量,w = g (x ) 叫作内层函数,:y = /(W ) 叫作外层函数.
下面的定理3利用反证法简化了文献[]中的证明, 显得更加简洁.
理3
设有两个函数w = g (x ) ,x
e D g 和y =
/(w ) ,w e D /,且w = g (x ) 是奇函数,y = /(w ) 是奇函 数. 若D/g #0,则复合函数y = /g X ) ]是奇函数. 另 外,当/(w ) 和g X ) 中有一个或两个为偶函数时,复合函 数的奇偶性也有变化,其变化情况如下:
(1)
如果w = g (x ) 是偶函数,且y = /(w ) 是数,则/[g (x ) ]在D /g 上是偶函数;
(2)
如果w = g (x ) 是偶函数,且y = /(w ) 是数,则/[g (x ) ]在D /g 上是偶函数;
(3)
如果w = g (x ) 是奇函数,且y = /(w ) 是数,则/g X ) ]在D /g 上是偶函数.
证明
下面仅就复合函数为奇函数的情形给予证
明,其他情况类似可证. 先证复合函数/g X ) ]的定义 域D /g 关于原点对称.v x e D /g ,有x e Dg •因为g X ) 是奇函数,所以一X e D g ,且g (—x ) = —g (x ).
下面用反证法证明:一x e D /g .
假设一x ^_D /g ,则由一x e D g ,知g (—x ) 芒i g n
D /.而 g (— x ) e i g ,因此 g (— x ) 芒 _D /.再由 g (— x )
=—g (x ) ,知一g (x ) 芒 _D /.而由 g (x ) e D / 及/w ) 是 奇函数知,一g x ) e D /•这与一g x ) 芒_D /矛盾•
再证
v x e ■/g ,/[g (—x ) ]=—/[g (x ) ]•
因为g X ) 与/w ) 均为奇函数,所以
B 上为奇函数•若则复合函数y = /[g (x ) ]在B
上为奇函数•另外,当/(w ) 和g (x ) 中有一个或两个为偶 函数时,复合函数的奇偶性也有变化,其变化情况如下:
(1)
如果w = g (x ) 是偶函数,且y = /(w ) 是奇数,则/[g (x ) ]在B 上是偶函数;
(2)
如果w = g (x ) 是偶函数,且y = /(w ) 是偶数,则/[g (x ) ]在B 上是偶函数;
(3)
如果w = g (x ) 是奇函数,且y = /(w ) 是偶数,则/[g (x ) ]在B 上是偶函数.
例 4
已知函数 F (x ) = /(1 + ^x ^) (x #0) ,且
/X ) 为奇函数,则F (x ) 是(
).
(八)奇函数 (B ) 偶函数(C ) 既奇又偶函数 (D ) 非奇非偶函数
解析 令 g (x ) = 1 + 2X 2 1 = 2X 士丄,则 g (—x ) =
2一^1 =
=—g (x ) ,所以g x ) 为奇函数.再由
/X ) 为奇函数及“内偶则偶,内奇同外”知,F (x ) 是奇函 数,故选八.4
反函数
鉴于人教版普通高中课程标准实验教科书•数学(八
函版 )必修1中并没有给出反函数的定义,下面笔者先给出
反函数的定义,以方便大家阅读.
函
定义2
—般地,设函数y = /(X ) 的定义域为A ,值
域为B ,如果对于B 中每一个元素6, 在A 中有且只有一个
函元 素《,使得/X ) = 6,那么把6对应到《的映射称为y =
/X ) 的反函数,记作y = /-U x ) .
下面将上海教育出版社出版的《数学》(高中上册)理 科班用)中反函数一节的一道课后习题作为命题,由此衍 生出一系列子问题,完善了奇偶性与反函数运算之间的各 种关系.
命题1
设函数y = /(x ) 的定义域为A ,值域为B ,
如果y = /X ) 有反函数,且在A 上为奇函数,则函数y = /—H x ) 在B 上也为奇函数.
证明
先证B 关于原点对称.
V y 〇 e B ,由函数/ :A — B 是满射可知,3x 〇 e A ,
使得/(X 。)= y 〇•又y = /(X ) 在A 上为奇函数,所以 一 y 〇 = —/(X 。)= /(— x 〇),其中一x 〇 e A . 因此一y 〇
函
函
函
奇偶偶
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6 B .
再证 V x e 犅,/—
工)=—/—H 工).
V 工 6 B ,有 /-1 (x ) 6 A ,于是令 ^ = /-1 (x ) ,则工
=/(:y ) ,从而一x = —/(:y ) = /(— ^).故 /—1 (— x ) = —^ = — f ~1(x ) .
由命题1很自然地会产生下面几个问题:问题1 偶函数是否有反函数?如果有的话,是否也
是偶函数?
分析
偶函数^ = x 2没有反函数,而偶函数f (x )
=C(c 为常数)(x 6 {0}) 有反函数 f —H x ) = 0(x 6 {c }).当c # 0时,f -1 (x ) 是非奇非偶函数;当c = 0时,
f —U x ) 是既奇又偶函数.
问题2 偶函数的反函数(如果有的话)是否有可能
为奇函数?
分
析
如果为奇函数,则由函数^ = f —1 (x ) 的反函 数为^ = f (x ) 及命题1可知,函数^ = f (x ) 是奇函数. 这与已知矛盾.
问题3 非奇非偶函数是否有反函数?如果有的话,
奇偶性如何?
分
析
非奇非偶函数f (x ) = 0(x 6 {0,1})没有反 函数,而非奇非偶函数f (x ) = 0(0 6 {}) 的反函数
f -1(x ) = 1(x 6 {0}) 是偶函数;非奇非偶函数^ =槡x
的反函数^ =工2(^>0) 是非奇非偶函数;由命题1知,非 奇非偶函数的反函数(如果有的话)不可能为奇函数,从 而不可能为既奇又偶函数.
问题4 既奇又偶函数是否有反函数?如果有的话,
奇偶性如何?
分
析
既奇又偶函数f (x ) =0(x 6 [—1,1])没有 反函数.既奇又偶函数的反函数(如果有的话)必为既奇 又偶函数.事实上,由于既奇又偶函数只能为f (x ) = 0(x 6八),其中A 为关于原点对称的非空数集,而函数f (x ) =0(x 6 A ) 有反函数,因此必有A = {0},从而f -H x ) =0(x 6 {0}).
例5[4](第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二年 级第2试第1小题)命题,:偶函数一定没有反函数; 命题心函数^ = x +i
x
的单调递减区间是[—1,0) U (0,1],
则下列四个判断中正确的是(
).
(八),真Q 真 (3) ,真^假(C ),假Q 真 (〇),假^假
解析
先看命题,:偶函数一定没有反函数. 设
f i x ) =
槡x +槡一x ,其定义域与值域都是{0},则^ =
f (x ) 存在反函数,且它的反函数就是其本身.而这个函数
的图象关于^轴对称,即函数ッ = f (x ) 是偶函数.故命题 户是假命题.再来看命题g :函数^ = x + 1
x
的单调递减
区间是[—10) U (0,1].单调性既是函数的局部性质,也 是函数的整体性质.若将^ = x +i
x
的单调递减区间写成
[—1,0) U (0,1]会产生以下两点错误:(1) 当x1 = —2,
工2 = j
时,有x1
定义矛盾;2)[—1,0) U (, 1]并不是区间,因为区间是 唯一具有连通性的实数子集.故命题9也是假命题,从而 选D .
5 导数运算
定理4[5] 设函数f (x ) 是定义在区间J 上的可导函
数, 则
(1) f (x ) 为偶函数的充要条件是导函数f ' Cx ) 为奇 函数;
⑵存在常数C ,使得f (x ) 的图象关于点(C ,0) 成中 心对称的充要条件是导函数/(x ) 为偶函数.
证明可见文献[].
例 6 (2008 •四川)设 f (x ) = sin (〇jx + 9) ,其中 w > 0,则f (x ) 是偶函数的充要条件是(
).
(八) f (0) = 1 (B ) f (0) = 0(C ) f ’(0) = 1
(D ) f ’(0) = 0
解析因为f (x ) 是偶函数,所以由定理4知,/(x ) =〇jcos (〇jx +9) 是奇函数,于是/(0) = 0. 反之,因为/(0) = 0,所以c o s 》=0,从而》=2 +是
6犣).因
此,f (x ) = sin(ajx + 9) = (— 1) cos w x ,由奇偶性的线 性法则知,f (x ) 是偶函数,故选D .
参考文献
[]刘玉琏,傅沛仁. 数学分析讲义(上册)第三版[M ].
北京:高等教育出版社,19%.
[]张志朝.复合函数奇偶性的判别方法[]. 数学通报,
1987(7).
[3]王继红.函数奇偶性的判定[]. 考试(高考数学版),
2012(1).
[]王墨森.偶函数一定没有反函数吗?[]. 数理天地
(高中版),2006(6).
[]温庆峰.导函数奇偶性的充要条件及推论[]. 甘肃
教育,2011(8).