一元函数导数及其应用 (1)
一元函数导数及其应用
一．单项选择题
1. 设F`(x)在点x 0处可导，则下列等式中错误的是 （ ） A. F`(x 0)=f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0∆lim
x →0∆x ; B. F `(x )
0)=x lim →x ; 0x -x 0
C. F `(x f (x 0) -f (x 0-h ) 0)=lim
h →0
h D. F `(x f (x 0+h ) -f (x 0-h ) 0)=lim h →0h
; 2. 设f(x)在点x h 0处可导，且有lim
h →0
f (x 2h ) -f (x =1
，则f`(x 0)= （ ）
0-0) 4
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
1
3. 设函数f (x)=x 2sin , x ≠0
{0, x =0x , 则f (x)在x=0处 （ ）
A. 间断 B. 连续而不可导点 C. 可导，且f `(0)=0 D. 可导，且f `(0)≠0 4. 曲线y=tanx在点（π
4
，1）处的法线的斜率是 （ ）
A. -2 B. -1
C.
-
2 D. -sec 21 5. 若f(x)为偶函数，且在区间（-a ，a ）内可导，对任一点x ∈(-a.a),则f`(-x)= ( A. -f`(x)
B. f`(x) C. 2f`(x) D. -2f`(x)
6. 设f(x)可微，则(e f (x )
)'
= （ ）
A. e f (x ) B. e f ' (x ) C. f `(x) D . f `(x)e f (x )
7. 函数f(x)=arctanx 2在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理的ξ= （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 函数f(x)=x 2+x -1在区间[-1,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ= （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
)
9. 设函数f(x)=(x-1)(x-2)( x-3),则方程f `(x)=0有 （ ） A. 一个实根 B. 两个实根 C. 三个实根 D. 无实根 10. 方程x 5-5x +1=0，在（-1,1）内 （ ）
Ａ无根 Ｂ 只有两个不等实根 Ｃ 五个根 Ｄ 只有一个根
11．若lim
x →0
f (x )
=1，则f(x)在ｘ＝０ （ ） x
Ａ. 可导且f ' (0)=1 Ｂ. 可导且f ' (0)=-1 Ｃ. 取得极大值 Ｄ. 取得极小值
12．如果ｙ＝f(x)在x 0点取得极值，则必有 （ ）
Ａ. f `(x 0) =０ Ｂ. f " (x 0)＞０ Ｃ. f " (x 0)＜０ Ｄ. f `(x 0)=０或f `(x 0) 不存在
e 3-x
的渐近线为 （ ） 13．曲线ｙ＝3-x
Ａ. ｙ＝０ Ｂ. ｙ＝０或ｘ＝３ Ｃ. 不存在 Ｄ. ｘ＝３
设ｙ＝ｆ(x)在区间（a ，b ）内有f ’(x)>0且f " (x )>0，则（f x ）在（a ，b ）内 （ ） 14．
Ａ. 单增且凹 Ｂ. 单增且凸 Ｃ. 单减且凹 Ｄ. 单减且凸 二．填空题
１．设ｙ=3sin x ，则y`= ２．设
y=３．设
y=
，则y`= y (4) +
4. d (3x +2) d 2y x =cos t
5. 设，则2=dx y =sin 2
6. 若y=ax 3+bx 2在x=1处有极小值，则a= ；b=
13
7. 若(0,1)是曲线y=x 3+ax 2+b 的拐点，则a= ； 8. 函数y=3x 4-4x 3的单增区间是 9. 曲线y=xe -x 的拐点是 ; 10. 函数
y=x [-1,2]上的最大值是 最小值是 11. 设f (x )为可导函数，且满足条件lim
x →0处的切斜率为 三．计算题
1. 求下列函数的导数
f (1)-f (x -1)
则曲线y=f (x ) 在点（1，f (1)）=-1，
2x
（1） y =e 4x -e -x ； （2）y =sin n cos nx ； （3
（4）y =arctan （5）y =x sin x （x >0）
+1, x ≤2
2. 设函数f (x )={ax 在点x=2处可导，求常数a ，b 的值。 x +b , x >2
2
2
1+x
； 1-x
x , x
3. 设函数f (x ) ={e x +, 2x ≥，求f `(x)。 0
2x
2
四．应用与证明题 1. 证明不等式
x
0). 1+x
2. 用薄铁皮做一个容积为v 的有盖圆柱形容器，因下底面无需喷漆，故该底面每单位面积的成本仅为其余部分的，问高与半径之比为何值时，该容器造价最低？
12