数列与不等式中的函数与方程思想
数列与不等式中的函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x ) ，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)函数f (x ) 的定义域为R ，f (－1) ＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
(2)f (x ) ＝ax 3
－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x ) ≥0成立，则a ＝________. 解析(1)解析 f ′(x )>2转化为f ′(x ) －2>0，构造函数F (x ) ＝f (x ) －2x ， 得F (x ) 在R 上是增函数．又F (－1) ＝f (－1) －2×(－1) ＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1) ，所以x >－1.
(2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x ) ≥0显然成立；
当x >0即x ∈(0,1]时，f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥31
x x
.
设g (x ) ＝3x 1
x g ′(x ) ＝3(1－2x )x g (x ) 在区间⎛⎝0，12⎤⎦上单调递增，在区间⎡1⎣21⎤⎦上单调递减， 因此g (x ) ＝g ⎛1max ⎝2＝4，从而a ≥4； 当x
f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x －1x
，
设g (x ) ＝3x 1
x g (x ) 在区间[－1,0) 上单调递增，
因此g (x ) min ＝g (－1) ＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.
思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )0或f (x ) max
1. 若2x ＋5y ≤2－
y ＋5－
x ，则有( )
A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0
解析把不等式变形为2x －5－
x ≤2－
y －5y ，构造函数y ＝2x －5－
x ，其为R 上的增函数，故x ≤－y .
2. 设直线x ＝t 与函数f (x ) ＝x 2，g (x ) ＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 12522
2
解析 可知|MN |＝f (x ) －g (x ) ＝x 2－ln x .
2
令F (x ) ＝x 2
－ln x ，F ′(x ) ＝2x －12x －12
x ＝x 0
时，F ′(x )
当x >22F ′(x )>0，F (x ) 单调递增，故当x ＝t ＝2
2
时，F (x ) 有最小值，即|MN |达到最小．
3. 已知函数f (x ) 1
24－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x ) ＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m 32．m >32．m ≤3
D ．m
2
2
解析因为函数f (x ) ＝1
24－2x 3＋3m . 所以f ′(x ) ＝2x 3－6x 2，令f ′(x ) ＝0得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3
是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27
2
，不等式f (x ) ＋9≥0恒成立，即f (x ) ≥－9
恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥3
2
A.
4. 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π
2上有解，求a 的取值范围．
解析 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．
解 方法一 设f (x ) ＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π
2．显然当且仅当a 属于f (x ) 的值域时，a ＝f (x ) 有解．
因为f (x ) ＝－(1－sin 2
x ) ＋sin x ＝(sin x ＋12) 2－5
4
且由x ∈(0，π
2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x ) 的值域为(－1,1]．
故a 的取值范围是(－1,1]．
方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π
2]，可得t ∈(0,1]．
将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解．
设f (t ) ＝t 2＋t －1－a . 其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－1
2
因此f (t ) ＝0在(0,1]上有解等价于⎧⎪
⎨f (0)
即⎧⎪⎨－1－a
⎪
所以－1
1－a ≥0，故a 的取值范围是(－1,1]．
热点二 函数与方程思想在数列中的应用
例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．
(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)在(1)的条件下，数列{a }的前n 项和为S 1
1
1n n ，设b n ＝S ＋…＋n ∈n ＋1S n ＋2S N *，不等式
2n b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1) ， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，
所以(2＋2d ) 2＝(2＋d )(3＋3d ) ，得d ＝2或d ＝－1(舍去) ， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1) ， b ＝1S ＋1…＋1
n n ＋1S n ＋2
S 2n
＝111
(n ＋1)(n ＋2)(n ＋2)(n ＋3)＋…＋2n (2n ＋1)
＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋21n ＋3
…＋11
2n 2n ＋1
＝
1n ＋1－12n ＋1＝n 2n ＋3n ＋1
＝1
2n ＋1
n
＋3
令f (x ) ＝2x ＋1
x
x ≥1) ，
则f ′(x ) ＝2－1
x x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，
所以f (x ) 在[1，＋∞) 上是增函数，
故当x ＝1时，[f (x ) ]＝3，即当n ＝1时，(b 1
min ＝f (1)n ) max ＝6
要使对任意的正整数n ，不等式b (b 11
n ≤k 恒成立，则须使k ≥n ) max ＝6，所以实数k 6思维升华 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．
1. 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.
求{a n }前n 项和S n 的最大值．
解析 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，
⎧⎪⎨a 1＋d ＝1，
⎪解出a ⎩
a d ＝－5，
1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1) d ＝－2n ＋5. 1＋4S ＝na n (n －1)
n 1＋2＝－n 2＋4n ＝4－(n －2) 2. 所以n ＝2时，S n 取到最大值4.
2. 已知函数f (x ) ＝(1
3x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n ) －c ，则a n 的最小值为( )
A ．－1 B ．1C. 2
3
D ．－23
解析由题设，得a (1)－c 1
1＝f 3－c ；
a f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－2
2＝[9；
a f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－2
3＝[27.
又数列{a n }是等比数列，
212
∴(－) 2＝－c ) ×(，∴c ＝1.
9327a 1又∵公比q ＝
a 23
21－1
∴a n ＝－() n 1＝－) n ，n ∈N *.
333且数列 {a n }是递增数列， 2
∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－.
3