函数值域解法解析
求函数值域的几种常用方法
一、直接观察法
这是最基本的方法,通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析,求函数的值域。
则其反函数为:y =log 1
1-x
1+x 2
1
的值域。 x 1
解: x ≠0 ,∴ ≠0
x
例1 求函数y =
显然函数的值域是:( -∞,0 )∪(0 ,+∞). 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解: x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是:(-∞,3] .
由
1-x
>0,知-1
故所求函数的值域为:(-1,1) .
注:本题还可以利用函数的有界性法,把原函数式变形为:() =
12
x
1-y
>0同样达到目的。 1+y
三、配方法
配方法是求二次函数(即形如
f (x ) =ag 2(x ) +bg (x ) +c 的函数)值域最基本的
方法之一。
例5 求函数y =x -2x + 5,x ∈[-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y =(x -1)+ 4,
2
二、反函数法
当一个函数存在反函数又便于求其反函数时,可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y =
2
3x +4
值域。
5x +6
4-6y
解:由原函数式可得:x =,
5y -34-6x
5x -33
其定义域为:x ≠,
5
33
故所求函数的值域为:(-∞, ) ⋃(, +∞) .
55
则其反函数为:y =
注:本题还可以用分离系数法,把原函数式变形为:
x ∈[-1,2], 由二次函数的性质可知:
当x = 1时,y min = 4 , 当x = - 1,时y m a x = 8 , 故函数的值域是:[ 4 ,8 ].
例6
求函数y 的值域。 解:
将函数变形为:y =故函数的值域是:[ 0 ,
2
3
]. 2
32+同样达到目的。 525x +30
11-() x
值域。 例4 求函数y =
11+() x
2y =
解:由原函数式可得:x =log 1
例7 求函数y =sin x -2sin x +2(-的值域。
π
4
≤x ≤π)
解:将函数配方得:y =(sinx -1) +1,
2
1-y
,
21+y
26
-
π
4
≤x ≤π,≤sin x ≤1
但此时的函数的定义域由x (2 - x )≥0,得: 0≤ x ≤2。由△≥0,仅保证关于x 的方程: 2x 2-2( y +1)x + y =0在实数集R 有实根,而
2
当sin x =
5y max =
2当sin x =1时,y min =1
不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程
(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域
为
5
故函数的值域是:[1,+.
2
[1。可以采取如下方法进一步确定原
函数的值域。
0≤x ≤2,∴y = x +x (2-x ) ≥0,
把y min =0代入方程(1),解得: x =0∈[0,2],
把y =11),解得:
四、判别式法
a 1x 2+b 1x +c 1
形如y =的(a 1, a 2不同时为0)
a 2x 2+b 2x +c 2
函数的值域通常用此法求解,把函数转化为关于x (或关于x 的某个代数式)的二次方程,通过方程有实根,△≥0,从而求得函数的值域。
2+x =[0,2]
2∴原函数的值域为:[0,1+2].
注:在这里,需要注意两个问题:一是要讨论二次项系数是否为0,因为二次项系数为0时方程(※)不再是一元二次方程,当然不能用判别式判定其是否有实数根。二是要注意函数的定义域是否为实数集,因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上(而不是在它的子集合内)是否有解;若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
x -1
的值域。 2
x -2x +3x -1
解:由y =2得:
x -2x +3
例8 求函数 y =
yx 2-(2y +1) x +3y +1=0(※)
当y ≠0时,为使方程(※)有实根, 必须且只需
2
△=[-(2y +1) ]-4y (3y +1) =-8y +1≥0
2
五、利用函数的有界性法
解得 -
22
≤y ≤
44
函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时,不
妨利用此法。
当y =0时, 方程(※)有实根x =1
⎡22⎤-, 因此,函数的值域是⎢⎥. 44⎣⎦
例9 求函数y = x +x (2-x ) 的值域。
解:两边平方整理得:2x -2(y +1)x + y =0(1)
2
e x -1
例10 求函数y = x 的值域。
e +1
解:由原函数式可得:e =
x
y +1
, 1-y
2
e >0,∴
x
y +1
>0 1-y
x ∈R ,∴△=4(y +1)2-8 y ≥0
解得:1-2≤ y ≤1+2
27
解得:- 1<y <1,
故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
例11 求函数y =
2-sin x
的值域
2+sin x
单调递增(或递减)函数;2、f (x ) =x +
k
(k >
0) x
解:由原函数式可得:sin x =
2-2y
, y +1
在x ∈(-∞, +∞) 上是增函数,
在 x ∈[, 0) , , 上是减函数。]
|sin x |≤1, ∴|
2-2y
|≤1即 |2-2y |≤|y +1|。 y +1
例13
求函数y =2x -5+log 3值域。
解:令y 1=
2x -5,y 2=log 3
≤x ≤10) 的
两边平方,得4y 2-8y +4≤y 2+2y +1 即3y 2-10y +3≤0
1
解得:≤y ≤3
3
所以函数的值域是⎢,3⎥。 例12 求函数y =
则 y 1 , y 2在[ 2, 10 ]上都是增函数。 所以 y =y 1 +y 2在[ 2 ,10 ]上是增函数。
⎡1⎤⎣3⎦
当x = 2 时,y min = 2+log 35
-
3
1
, 8
cos x
的值域。
sin x -3
当x = 10 时,y max = 2
+log 3。 故所求函数的值域为:[
解:由原函数式可得:y sin x - cosx=3 y ,
x +β) =3y
1
,33]. 8
即
sin(x +β) =
例14 求函数y = x +1-x -1的值域。
解:原函数可化为: y =
2x +1+x -1
∵ x ∈R ,∴sin (x +β)∈[-1,1] 。 即-1≤
3y y 2+1
≤1
令y 1 = x +1,y 2= x -1,
显然y 1,y 2在[1,+∞) 上为无上界的增函数,
解得:-
2≤ y ≤ 44
所以y =y 1+y 2在[1,+∞) 上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时,y =y 1 +y 2有最小值2,原函数有最大值
22
故函数的值域为[-,]. 44
注:本题还可以利用数形结合法,把原函数式变形为:y =
2
22
= 2。
cos x -0
,可以看作一点P (3,0)与
sin x -3
2
显然y >0,故原函数的值域为( 0 , 2) 。 例15
求函数y =
单位圆x +y =1上的点所连线段的斜率,从而达到目的。
2的值域
六、利用函数的单调性法
1、两个单调递增(或递减)函数的和仍为
28
解:
函数y =
,
1
,则y =t +(t ≥2)
t
1
由于函数y =t +在[2,+∞) 上是单调递增函数,
t
15
从而有y min =2+=
22
5
故所求函数的值域为:[, +∞) .
2
令t =
∴ 0 ≤2sin (β+
π
)+1≤1+2
4
故函数的值域为[0,1.
八、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例18
求函数y =
七、换元法
形如y =ax +b a , b , c , d 为常数,
a ≠0) 常用代数换元;
解:原函数可化简得:y =|x -2|+|x +8|
形
如y =a x +b 数,a ≠0) 常用三角换元。
例16 求函数y = x + x -1的值域。 解:令x -1= t ,(t ≥0)则x =t +1
2
∵ y =t + t +1=(t +) +
2
为d 常d , a , b , c
上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2 ),
B (- 8 )间的距离之和。
由上图可知:当点P 在线段AB 上时,
12
2
3, 4
又t ≥0,由二次函数的性质可知
当 t =0时,y min =1, 当t →0时,y →+∞。 故函数的值域为[1,+∞) .
例17
求函数y =x +2
y =|x -2|+|x +8|=|AB |=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,
y =|x -2|+|x +8|>|AB |=10
故所求函数的值域为:[10,+∞) .
例19
求函数y =
解:因1-(x +1) ≥0,即(x +1) ≤1 故可令x +1=cos β, β∈[0,π].
∴y =cosβ
22
的
值域。
解:原函数可变形为:
y =
=sinβ+cosβ+1
π
)+1 4
π5π
0≤β≤π∴0≤β+≤
44
=2sin (β+∴ -
π2
≤sin (β+)≤1
42
29
有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述,可知函数的值域为:(. 注:由例19,20可知,求两距离之和时,要将函 数式变形,使A ,B 两点在x 轴的两侧,而求两距 离之差时,则要使A ,B 两点在x 轴的同侧。
上式可看成x 轴上的点P (x ,0)到两定点 A (3,2),B (-2 ,-1 )的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,
九 、不等式法
利用基本不等式a +b +c ≥a , b , c ∈R +) ,
其题型特a +b ≥(a , b ∈R +) 求函数的值域,征是当解析式是和式时要求积为定值,当解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例21 求函数y =2sin x sin 2x 的值域。 解:y =4sin x sin x cos x =4sin x cos x
2
y min =|AB |==
故所求函数的值域为+∞) . 例20
求函数y =
的
值域。
解:将函数变形为:
y =
y 2=16sin 4x cos 2x =8sin 2x sin 2x (2-2sin 2x ) sin 2x +sin 2x +2-2sin 2x 3 ≤8()
3
64=27
22
当且当sin x =2-2sin x ,即当sin x =
2
2
时,3
等号成立。
上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0 )的距离与定点B (-2,1)到点P (x ,0)的距离之差。即:y =∣AP ∣-∣BP ∣,由图可知:
(1) 当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交 点时,如点P ',则构成△ABP ',根据三角形两边之差小于第三边,有||AP '|-|BP '||
=由y ≤
2
64≤y ≤,可得:-
2799
故原函数的值域为:[-
8383
,]. 99
十、求导数法
利用导数求高次函数的值域。
例22求函数y =x -5x +5x +2(x ∈[-1,2])的
5
4
3
即:-26< y <26
(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,
30
值域。
解:y '=5x 4-20x 3+15x 2, 令y '=0 即5x -20x +15x =0
4
3
2
1-x 22x
) + =( 22
1+x 1+x
令x =tan
β
2
,则有
解之得:x =0或x =1或x =3,由于3∉[-1,2];故比较f (-1) ,f (0),f (1),f (2)即可。 易知f (x ) 的最大值是3,最小值是 - 9 故所求函数的值域为[-9,3].
十一、多种方法综合运用
例23
求函数y = 解:
令t t ≥0) ,则x +3=t 2
+1
(1) 当t >0时,y =
t 11
t 2
+1=, t +1≤2t
当且仅当 t =1,即x = - 1时取等号 所以0<y ≤
12
。 (2) 当 t =0时,y =0。 综上所述,函数的值域为:[0,1
2
]。 注:先换元,后用不等式法。
1+x -2x 2+x 3+x 4
例 24 求函数y =1+2x 2+x 4的值域。解:y =1-2x 2+x 4x +x 3
1+2x 2+x 4+1+2x 2+x
4
(1-x 21+x 2
) 2=cos 2
β
,x 1+x 2= 12sin β, ∴y =cos 2
β+
1
2sin β =-sin 2β+1
2sin β+1
=-(sinβ-117
4) 2+16
∴当sin β=117
4
时,y max =16;
当sin β=-1时,y min =-2。 此时tan
β
2
都存在,故函数的值域为:17
16
]。注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用sin β的有界性。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法、有界性和基本不等式法,然后才考虑用其他方法;我认为在教学中要善于抓住知识之间的相互联系,渗透化归与转化的数学思想。如果我们的学生能在学习中主动去寻找和发现知识间的联系,掌握化归与转化等数学思想,学会用数学思想解决数学问题,那么我们的数学教学将肯定会是成功的。
31