基本初等函数(Ⅰ)知识点总结
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
一、指数和指数函数 ①指数
1、定义:a 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数。规定:a =a 2、整数指数幂的运算法则: a ⋅a =a a
m
n
m +
n
n
1
()
m n
a m m
=a n =a m -n (m >n , a ≠0) (ab )=a m ⋅b m
a
m n -n
规定:a 0=1,(a ≠0);a
2
=
1
a ≠0) n (a
3、平方根:如果x =a ,则x 叫做a 的平方根
当a >
0时,有两个平方根,互为相反数,记作:
当a =
0=0
当a
立方根:如果x =a ,则x 叫做a 的立方根(或三次方根)
在实数范围内a
=
2=-
23
1
=- 3
,则x 叫做a 的n 次方根 n 次方根:如果x n =a (a ∈R , n >1, n ∈N +)
注意:(1)偶次方根:
(a >0, a 为偶数)负数的偶次方根在实数范围内不存在
(2)奇次方根:正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,
(3)算术根: 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4
n 叫做根指数 5、根式性质:(1
)
n
⎧⎪a , n 为奇数(2
=⎨ =a (n >1, n ∈N +);
a , n 为偶数⎪⎩
6、分数指数幂性质:(1
)a =
1
⎛1⎫m
(2)a = a n ⎪=(
a )n =
⎝⎭
m n
m
1n
a >0);
m
=(a >0);(3
)a
-
m
n
=
1a
m n
=
1、定义:一般地,函数y =a x ,(a >0, a ≠1)叫做指数函数。 2、指数函数的特征:(1)自变量在指数位置上;
(2)系数为1,底数a >0, a ≠1,如y =2a x 不是指数函数
4、底数性质探究:
作直线x =1,与四个函数图像均有一个交点,
并且交点的纵坐标依次为c , d , a , b 观察图像即可得到大小关系为 c >d >1>a >b
0.30.3
例一、三个数1, (0.3), 2的大小顺序是 【(0.3)
2
2
解:(0.3)=0.09,又知道y =2x 为增函数,当x =0时,y =1。
0.3
故当x =0.3>0时,y >1,即(0.3)
2
2
例二、不等式3
x -1
⎛1⎫> ⎪⎝3⎭
x +2
的解集是 【⎨x x >-⎬】
⎧⎩1⎫2⎭
⎛1⎫解: ⎪
⎝3⎭
x +2
=(3
-1x +2
)
=3-x -2,原式可化简为3x -1>3-x -2
由于y =3x 是增函数,故函数值大的自变量也大,即x -1>-x -2 解得x >-
例三、函数y =
1 2
【{x x ≥2}】
解:根据定义要求,偶次方根下被开方数大于等于零,得到
2x -1-2≥0⇒2x -1≥21,由于y =2x 是增函数,故x -1≥1,即x ≥2
1-2710
例四、求值:(1
)(0.027)-(-) +(2) 2-
79
-
211
-⎫⎛⎛1⎫3443
2x y -3x y ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
(2)2
-4xy 3
3
13
1-2710
解:(1
)(0.027)-(-) +(22-
79
-
1
3
5-1
=(0.3)-49+-1
3
105
=-49+-1=-4533
211
-⎫⎛⎛1⎫2133443
2x y -3x y -+1+ ⎪⎪121
2⨯(-27)x 44y 3⎛27⎫-3+3⎛27⎫3== -⎪y = -⎪y (2)22
--⎝2⎭⎝2⎭4xy 34xy 3
3
例五、已知x -x 解: 由于x -x 再将x +x
1
12
-
12
=3,则x +x -1;x 2+x -2 = 【11;119】
12
-
12
=3,两边平方得到x 1+x -1-2=9⇒x 1+x -1=11 =11,两边平方得到x 2+x -2+2=121⇒x 2+x -2=119
-1
二、对数和对数函数 ①对数
1、定义:指数函数y =a x (a >0, a ≠1)中,对于R 内的每一个值x ,在正实数集R 内都有
+
唯一的y 值和它对应,反之,对于正实数集R 内每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应,幂指数x ,又叫以a 为底y 的对数。 2、对数与指数的互化:
一般地,对于指数式a =N ,把“以a 为底N 的对数”,记作log a N 即:a =N ⇔log a N =b ,(a >0, a ≠1)
b
b
+
a 为对数的底数,N 叫做真数 log a N = b “a 的b 次方等于N ”
对数式是指数式的另一种表达形式
指数 对数
N =a b log a N =b
底数
幂 真数 3、对数恒等式:a
log a N
=N ,(a >0, a ≠1),N >0
4、对数的性质:
(1)0和负数没有对数:N >0
(2)1的对数为0: log a 1=0a =1 1
(3)底的对数等于1:log a a =1a =a
()
()
5、常用对数:以10为底的对数log 10a ,简记为lg a 以e 为底的对数log e a ,简记为ln a
6、对数运算法则:(1)log a (MN )=log a M +log a N
推广:log a (N 1N 2⋅⋅⋅N k )=log a N 1+log a N 2+⋅⋅⋅log a N k
(2)log a
M αα
=log a M -log a N ;(3)log a M α=αlog a M (推广:log a βM =log a M ) N β
7、换底公式:log b N =②对数函数
log a N
log a b
1、对数函数定义:一般地,函数y =log a x ,(a >0, a ≠1)叫做对数函数。 2、对数函数的特征:(1)自变量在真数位置上;(2)底数a >0, a ≠1,真数大于0 3、对数函数的图像特征:
底数性质研究:
③指数函数和对数函数的关系
反函数定义:当一个函数是一一映射时,把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,把这个函数的自变量作为新函数的因变量,称这两个函数互为反函数
y =f (x )的反函数通常用y =f -1(x )表示
性质:(1)原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域 (2)若点(a , b )在原函数y =f (x ),则点(b , a )在反函数y =f (3)图像关于直线y =x
对称
-1
(x )上
★经典例题:
例一、lg 22+lg 4 lg5+lg 25的值等于 【1】
解:lg 22+lg4 lg5+lg 25=lg 22+lg22 lg5+lg 25=lg 22+2lg2 lg5+lg 25 =(lg 2+lg 5)=(lg 2⨯5)=1
例二、(1)求值log 4log 3(log 28) = 【0】
(2)若log 2log 3(log 5x ) =0,求x 值 【125】 解:(1)log 4log 3(log 28) =log 4(log 33)=log 41=0
(2)log 2log 3(log 5x ) =0⇒log 3(log 5x )=1⇒log 5x =3⇒x =125
例三、log 23 log 94的值为【1】
2
2
[]
[]
[]
[]
lg3lg 4lg3lg 22lg32lg 2解:log 23 log 94=⨯=⨯=⨯=1
lg 2lg9lg 2lg32lg 22lg3
例四、求值log 535+2log 1
2
log 5
1
-log 514+5log 53 【5】
50
解:log 535+2log 1
2
log 5
1
-log 514+
5log 53 50
-1
=log 535+log 1
2
2
-log 5(50)-log 514+3
⎛35⨯50⎫=log 5 ⎪-1+3=3+2=5
⎝14⎭
例五、求下列函数的定义域:(1)f (x )=log (2x +7) (3-x );(2)f (x )
=解:(1)满足2x +7>0;3-x >0;2x +7≠1,解得⎨x -
⎧
⎩7⎫
(2)满足x +1>0;1-log 2x ≥0,即x >-1;log 2x ≤1=log 22⇒x ≤2
解得x -1
{}
例六、已知log 1b
2
b
a
c
2
a
2
b
c
c
b
a
c
a
b
(A) 2>2>2; (B) 2>2>2; (C) 2>2>2 (D) 2>2>2 解:由于y =log 1x 是减函数,又有log 1b
2
22b
a
2c
故b >a >c ,而y =2x 是R 上的增函数,则2>2>2。
例七、求实数x 的取值范围:(1)log 0.6(2x )
log 2(x +1)
解:(1)由于y =log 0.6x 在定义域内是减函数,故函数值小的,自变量反而大
即2x >x -1⇒x >-1
(2)log 2(x -1) ? 2
log 2(x +1) 可化简为log 2(x -1) +log 2(x +1) 2
log 24,由于y =log 2x 是增函数
即log 2轾(x -1)(x +1) ? 2臌 所以(x -1)(x +1) 侈4
x 2-5
0,即x x ≥x ≤
{1-x
的奇偶性 1+x 1-x
≥0⇒(x -1)(x +1)≤0⇒-1≤x ≤1关于原点对称 解:函数的定义域为
1+x
例八、判断函数f (x )=lg
1+x ⎛1-x ⎫⎛1-x ⎫
f (-x )=lg =lg =-lg ⎪ ⎪=-f (x ),即该函数为奇函数
1-x ⎝1+x ⎭⎝1+x ⎭
例九、判断a =log 3π, b =log 76, c =log 20.8的大小关系 解:y 1=log 3x ; y 2=log 7x ; y 3=log 2x 均为定义域上的增函数
由于π>3,故log 3π>1;而1例十、函数y =log 2x (1≤x
由于y =log 2x 在定义域上为单调递增函数,故将端点值代入即得到值域为[0,3)
-1
例十一、指数函数y =3x 的反函数为f -
1(x ),则f
-1
= 【
1】 2
解:y =3x 的反函数为y =log 3x ,即f -1(x )=
log 3x
f -1
=log 3=
1 2
三、幂函数
1、幂函数的概念:y =x α(α∈R )
自变量在底数上(注意与指数函数比较);x 的系数为1
α
★经典例题:
例一、比较大小 1.4 ;解:对于函数y =x ,由于α=
34
34
34
(-
23
(-1.73)
-
23
【】
34
3
>0,故函数为增函数 4
34
由题知1.1
-23
,由于α=-
2
由题知
23
>(-1.73)
-
23
1-1
例二、若函数f (x )=(1-2m )x 为幂函数,且f (4)=,则f (x )=【f (x )=x 2】
2
α
解:由于函数f (x )=(1-2m )x α为幂函数,则要求1-2m =1⇒m =0
又f (4)=
111α
,则4=,故α=-
222
-12
该函数为f (x )=x
四、图像变换 图像变换
1. 平移变换(a >0, b >0)
y =f (x )−−−−−−−−−→y =f (x +a );
y =f (x )−−−−−−−−→y =f (x -a )
左加右减----------------------在自变量x 上的平移量
y =f (x )−−−−−−−−−−→y =f (x )+b ; y =f (x )−−−−−−−−−−→y =f (x )-b
上加下减-----------------------在y 的异侧
注意:所有平移变换,都是在x 上变化,如有倍数,需提出倍数,还原x ,再平移。
2. 对称变换
y =f (x )与y =f (-x )图像关于y 轴对称; y =f (x )与y =-f (x )图像关于x 轴对称
y =f (x )与y =-f (-x )图像关于原点对称; y =f (x )与y =f -1(x )图像关于y =x
3. 翻折变换
y =f (x )−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→y =f (x )
函数值小于零的部分沿着x 轴翻着到轴上方,轴下方原有图像擦去不要
⎧⎪f (x ) (x ≥0) y =f (x )−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→y =f (x )=⎨f -x x
自变量大于零的部分沿着y 轴翻着到轴左方,轴左方原有图像擦去不要
★经典例题:
例一、将函数y =x 2-x 的图像向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得函数的解析式为 【y =x 2-5x +7】
1⎫1⎛解:对y =x 2-x 化简整理得到y = x -⎪- 2⎭4⎝
由题知,图像向右平移2个单位,再向上平移1个单位,即x -2,y +1 2
1⎛⎫1得到y = x --2⎪-+1=x 2-5x +7 2⎝⎭4
x 2⎛1⎫例二、作出y = ⎪的图像 ⎝2⎭
解: