[大学物理] 第二版 第八章课后习题答案
习题精解
8-1 一根无限长直导线有交变电流i =I 0sin ωt ,它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ,如图8.3所示,长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行,它们到直导线的距离分别为a 和b ,试求矩形线圈所围面积的磁通量,以及线圈中的感应电动势。
解 建立如图8.3所示的坐标系,在矩形平面上取一矩形面元dS =ldx ,载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
d φm =B ⋅dS =通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 φm =由法拉第电磁感应定律有
ε=-
μ0i
ldx 2πx
⎰
b
a
μ0i μil b
ldx =0ln 2πx 2πa
d φm μil ωb
=-0ln cos ωt dt 2πa
,球小
8-2 有一无限长直螺线管,单位长度上线圈的匝数为n ,在管的中心放置一绕了N 圈,半径为r 的圆形小线圈,其轴线与螺线管的轴线平行,设螺线管内电流变化率为dI 线圈中感应的电动势。
解 无限长直螺线管内部的磁场为
B =μ0nI 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为
φm =NBS =N μ0nI πr 由法拉第电磁感应定律有
ε=-
2
d φm dI
=-N μ0n πr 2 dt dt
8-3 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ,通过电流为i 的长螺线管内,并与螺线管共轴,若i =i 0sin ωt ,求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为
φm =BS =μ0niS
d φm di
=-μ0nS =-μ0nSi 0ωcos ωt dt dt
-1
由法拉第电磁感应定律有
ε=-
8-4 如图8.4所示,矩形线圈ABCD 放在B =6.0⨯10T 的均匀磁场中,磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为α=60︒,长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率v =5.0m ∙s 向右运动,试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式
-1
ε=
⎰
B
A
(v ⨯B ) ∙dl =⎰
0.20
5⨯0.6⨯sin(-60︒) dl =0.30(V )
2
π
感应电流的方向从A →B .
8-5 如图8.5所示,两段导体AB 和CD 的长度均为10cm ,它们在B 处相接成角30︒;磁场方向垂直于纸面向里,其大小为B =2.5⨯10T 。若使导体在均匀磁场中以速率
-2
v =1.5m ∙s -1运动,方向与AB 段平行,试问AC 间的电势差是多少? 哪一端的电势高?
解 导体AB 段与运动方向平行,不切割磁场线,没有电动势产生。BC 段产生的动生电动势为
ε=⎰(v ⨯B ) ∙dl =⎰1.5⨯2.5⨯10-2⨯cos60︒dl =1.9⨯10-3(V )
B
C 1.10
AC 间的电势差是
U AC =-ε=-1.9⨯10(V )
C 端的电势高。
8-6 长为l 的一金属棒ab ,水平放置在均匀磁场B 中,如图8.6所示,金属棒可绕O 点在水平面内以角速度ω旋转,O 点离a 端的距离为l k 。试求a,b 两端的电势差,并指出哪端电势高(设k>2)
解 建立如图8.6所示的坐标系,在Ob 棒上任一位置x 处取一微元dx ,该微元产生的动生电动势为
d ε=(v ⨯B ) ∙dx =-ωxBdx Ob 棒产生的动生电动势为 εOb =
-3
⎰
l -l k
11
-ωxBdx =-ωBl 2(1-) 2
2k
k
2
12l -ωxBdx =-ωBl 2 2k
同理,Oa 棒产生的动生电动势为 εOa =金属棒a,b 两端的电电势差
⎰
U ab =-εab =εOa -εOb
2
111122l =-ωBl 2-ωBl 2(1-) 2=ωBl 2(1-) 2k 2k 2k
因k>2,所以a 端电势高。
8-7 如图8.7所示,真空中一载有稳恒电流I 的无限长直导线旁有一半圆形导线回路,其半径为r ,回路平面与长直导线垂直,且半圆形直径cd 的延长线与长直导线相交,导线与圆心O 之间距离为,无限长直导线的电流方向垂直纸面向内,当回路以速度垂直纸面向外运动时,求:
(1)回路中感应电动势的大小;
(2)半圆弧导线cd 中感应电动势的大小。
解 (1) 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行,因此当导线回路运动时,通过它的磁通量不随时间改变,导线回路中感应电动势ε=0。
(2)半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等,方向相反,所以可由直导线计算感应电动势的大小
选取x 轴如图8.7所示,在x 处取线元dx,dx 中产生感应电动势大小为 d ε=(v ⨯B )∙dl 其中B =
μ0I
2πx
导线cd 及圆弧cd 产生感应电动势的大小均为
ε=
⎰
l +r
l -r
μ0Iv l +r dx μ0Iv l +r
vBdx ==ln
2π⎰l -r x 2πl -r
8-8 在半径R =0.50m 的圆柱体内有均匀磁场,其方向与圆柱体的轴线平行,且
dt =1.0⨯10-2T ∙s -1,圆柱体外无磁场,试求离开中心O 的距离分别为
0.1m ,0.25m ,0.50m ,1.0m 和各点的感生电场的场强。
解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆,因此有
⎰E 感∙dl =-⎰⎰
L
S
∂B
∙dS ∂t
而
⎰E 感∙dl =E 感2πr , -⎰⎰
L
S
∂B dB 2
∙dS =-πr ∂t dt
dB 2
πr dt 1dB
E 感=-r
2dt
当r
所以r =0.1m 时,E 感=5.0⨯10V ∙m ;r =0.25m 时,。E 感=1.3⨯10V ∙m 当r >R 时 E 感2πr =-
-4
-1
-3-1
dB
πR 2 dt
R 2dB
E 感=-
2r dt
所以r =0.50m 时, E 感=2.5⨯10V ∙m ; r =1.0m 时E 感=1.25⨯10V ∙m 8-9 如图8.8所示,磁感应强度为B 的均匀磁场充满在半径为R 的圆柱体内,有一长为l 的金属棒ab 放在该磁场中,如果B 以速率dB dt 变化,试证:由变化磁场所产生并作用于棒
-3
-1
-3
-1
dB 1 两端的电动势等于
dt 2证明 方法一 连接Oa,Ob, 设想Oab 构成闭合回路,由于Oa,Ob 沿半径方向,与通过该处
的感生电场处垂直,所以Oa,Ob 两段均无电动势,这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab 的总电动势就是棒ab 两端电动势。根据法拉第电磁感应定律
εab =εOab
dB dB 1=-S =
dt dt 2 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 E 感=-
1dB r 2dt
棒ab 两端的电动势为
εab =⎰E 感∙dx =⎰E 感cos θdx =⎰-r
l l l
12dB 1=dt 28-10 如图8.9所示,两根横截面半径为a 的平行长直导线,中心相距d ,它们载有大小相
等、方向相反的电流,属于同一回路,设导线内部的磁通量可以忽略不计,试证明这样一对导线长为l 的一段的自感为L =
μ0l d -a
。 ln
πa
μ0I μ0I
+ 2πx 2πd -x ⎡μ0I μ0I ⎤
+⎢⎥ldx ⎣2πx 2πd -x ⎦
解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 B =
穿过两根导线间长为的一段的磁通量为
φm =⎰
=
d -a
a
B ∙dS =⎰
d -a
a
μ0lI d -a
ln πa
所以,一对长为的一段导线的自感为
μ0l d -a
ln
I πa
8-11 一均匀密绕的环形螺线管,环的平均半径为R ,管的横截面积为S ,环的总匝数为N ,
L =
φm
=
管内充满磁导率为μ的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L 。 解 当环形螺线管中通有电流I 时,管中的磁感应强度为 B =μnI = 通过环形螺线管的磁链为
μIN
2πR
μIN 2S
ψm =N φm =
2πR
则环形螺线管的自感系数为
μN 2S
L = =
I 2πR
ψm
8-12由两薄圆筒构成的同轴电缆,内筒半径R 1, 外筒半径为R 2,两筒间的介质μr =1。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反,而电流强度I 相等,求长度为l 的一段同轴电缆所储磁
能为多少?
解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为
r
μ0I
2πr
r >R 2时, B 3=0
在长为L ,内径为r ,外径为r +dr 的同轴薄圆筒的体积dV =2πrldr 中磁场能量为
2
μ0I 2l 1B 2
dV =dr dW m =
2μ04πr
所以,长度为l 的一段同轴电缆所储能为 W m =
⎰
R 2
R 1
μ0I 2r μ0I 2l R 2
dr =ln 4πr 4πR 1
8-13 在同时存在电场和磁场的空间区域中,某点P 的电场强度为E ,磁感应强度为B ,此空间区域介质的介电常数ε≈ε0,磁导率μ≈μ0。求P 点处电场和磁场的总能量体密度
w 。
解 电场能量密度为
w e =磁场能量密度为
1
ε0E 2 2
1B 2
w m =
2μ0
总能量密度为
11B 22
w =w e +w m =ε0E +
22μ0
8-14 一小圆线圈面积为S 1=4.0cm ,由表面绝缘的细导线绕成,其匝数为N 1=50,把它放在另一半径R 2=20cm ,N 2=100匝的圆线圈中心,两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的,试求这两个线圈之间的互感;如果大线圈导线中的电流
每秒减少50A ,试求小线圈中的感应电动势。
2
解 当大圆形线圈通有I 2时,它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 B 2=N 2
μ0I 2
2R 2
若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的,则通过小圆形线圈的磁链为 ψm =N 1B 2S 1=N 1N 2两个线圈之间的互感为
μ0I 2
2R 2
S 1
N 1N 2μ0S 150⨯100⨯4π⨯10-7⨯4.0⨯10-4
M ====6.28⨯10-6(H )
I 22R 22⨯0.2
ψm
如果大线圈导线中的电流每秒减少50A ,则小线圈中的感应电动势为 ε=-M
di
=6.28⨯10-6⨯50=3.14⨯10-4(V ) dt
8-15 一螺线管长为30cm 。由2500匝漆包导线均匀密绕而成,其中铁芯的相对磁导率
μr =100,当它的导线中通有2.0A 的电流时,求螺线管中心处的磁场能量密度。
解 螺线管中的磁感应强度为
B =μ0μr nI =μ0μr 螺线管中的磁场能量密度为
22
R μI r μ0I 2l 1B 20
dV =⎰2πrldr = w m =⎰⎰⎰
04π2R 22μ016π2
N I l
8-16 一根长直导线载有电流I ,且I 均匀地分布在导线的横截面上,试求在长度为的一段导线内部的磁场能量。
解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为 B =
μ0Ir
2
2πR
在长度为的一段导线内部的磁场能量
22
R μI r μ0I 2l 1B 20
dV =⎰2πrldr = W m =⎰⎰⎰ 2402μ04πR 16π
8-17一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成,它们之间充满了相对磁导率为μr =1的介质,假定导线的半径为R 1,圆筒的内外半径分别为R 2和R 3 ,电流I 由圆筒流出,由直导线流回,并均匀地分布在它们的横截面上,试求:(1)在空间各个范围内的磁能密度表达式;(2)当R 1=10mm , R 2=4.0mm , R 3=5.0mm , I =10A 时,在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。
解 (1)有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为
r
μ0Ir μ0I
R
2πR 12πr
μ0I R 32-r 2
R 2R 3时 B 4=0
2πr R 32-R 22
相应地,空间各个范围内的磁能密度为
μ0I 21B 12μ0I 2r 2
=;R 1
2μ08πR 18πr μ0I 2⎛R 32-r 2⎫
R 2R 3时w m =0。 2⎪8πr ⎝R 3-R 2⎭
(2) 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为
2
W m =⎰⎰⎰w m dV =⎰⎰⎰w 1m dV +⎰⎰⎰w 2m dV +⎰⎰⎰w 3m dV +⎰⎰⎰w 4m dV ==⎰
R 10
2222
R μI R μI ⎛⎫μ0I 2r 2R -r 003
2πrdr +2πrdr +2πrdr +0222222 22⎪⎰⎰R R 8πR 18πr 8πr ⎝R 3-R 2⎭
2
3
1
2
2
μ0I 2
=4π
⎡⎤244
R 34ln (R 3R 2)R R -R R 13322⎢+ln ⎥=1.7⨯10-5(J ) +-2+2222⎢4R 1R 3-R 224(R 2-R 2)⎥R -R ()3232⎣⎦
8-18证明电容C 的平行板电容器,极板间的位移电流强度I d =C 间的电势差。
证明 由于平行板中D =σ,所以穿过极板位移电位移通量
dU
,U 是电容器两极板dt
φD =⎰⎰D ∙dS =σS =q =CU
S
平行板电容器中的位移电流强度 I d =
d φD d (CU )dU
==C dt dt dt
8-19 设圆形平行板电容器的交变电场为E =720sin 10πr V ∙m ,电荷在电容器极板上均匀分布,且边缘效应可以忽略,试求:(1)电容器两极板间的位移电流密度;(2)在距离电容器极板中心连线为r =1.0cm 处,经过时间t =2.0⨯10s 时的磁感应强度的大小。 解 (1)电容器两极板间的位移电流密度为
-5
(
5
)
-1
∂d ∂E =ε0=2.00⨯10-3cos (105πr )m 2 ∂t ∂t
(2)以电容器极板中心连线为圆心,以r =1.0cm 为半径做一圆周。由全电流安培环路定
j d =律有
⎰H ∙dl =
d φD
dt
L
所以
H 2πr =πr 2εdE 0
dt
H =12r εdE 0
dt
经过时间时t =2.0⨯10-5
s ,磁感应强度的大小为 B =μμ0r ε0dE
0H =
2
dt
=1.26⨯10-11(T )
8-20 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实: (1)电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处; (2)位移电流;
(3) 在静电平衡条件下,导体内部可能有任何电荷; (4)一变化的电场,必定有一个磁场伴随它; (5)闭合面的磁通量始终为零;
(6)一个变化的磁场,必定有一个电场伴随它; (7)磁感应线是无头无尾的;
(8)通过一个闭合面的净电通量与闭合面内部的总电荷成正比;(9)不存在磁单极子; (10)库仑定律;
(11)静电场是保守场。 N
解
⎰⎰
D ∙d s =∑i
q 相当于或包括事实:(1),(3),(8),(10);s
i =1
⎰E ∙dl =-⎰⎰
∂B
∂t
∙dS 相当于或包括事实:(6),(11); L
S
⎰⎰
B ∙dS =0相当于或包括事实:(5),(7),(9); S
⎰N
H ∙dl =∑I d φD
i +
L
dt
相当于或包括事实:(2),(4); i =1