函数的奇偶性和周期性
1.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( ) 1+x - A.y=ex-e x B.y=lg 1-x C.y=cos2x D.y=sinx+cosx 2.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 3.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f(x)=x(1+x),那么 x1,f(3)=a,则( ) A.a3 C.a1 7. 设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=______ 8. 设 f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中 a, c 为常数, b, x∈R), f(-2011)=-17, f(2011) 若 则 =________. 9. 函数 f(x)=x3+sinx+1 的图象关于________点对称. 10. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x+2)=-f(x)成立,则 f(19)=________. 11. 定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数 y=f(x+2)为 1 偶函数,则 f(-1),f(4),f(5 )的大小关系是__________. 2 12. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列 关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0), 其中正确的序号是________. 13. 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2,求 f(x)、g(x)的解析式. 14. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且函数 f(x)在[0,1)上单调递减,并满足 f(2-x)= f(x),若方程 f(x)=-1 在[0,1)上有实数根,求该方程在区间[-1,3]上的所有实根之和. -2x+b 15. 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)
fx-f-x 20. 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式
x R
x R
B、 y ( )
2
1
x
x R
x R
D、 y x
3
25. 设偶函数 f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系为 A.f(b-2)=f(a+1) B.f(b-2)>f(a+1) C.f(b-2)g(a)- g(-b)成立的是 A.a>b>0 28. 29. 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 的 图 象 关 于 =
f (x 3 2 ), f ( 1) 1 ( 3 4 ,0 )
( B.a0
)
D.ab
成 中 心 对 称 , 且 满 足 f (x)
, f (0) = –2 ,则 f (1) + f (2) +…+ f (2007)的值为( ) B.–1 C.0 D.1 时,f(x)=x2,若直线
A.–2
30. 已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当
与
的图像恰好有两个公共点,则 a=(
)
A.
B.
k,∈Z
C.
D.
m 1 x 2 , x ( 1,1] f (x) 31. 已 知 以 T 4 为 周 期 的 函 数 ,其中 m 0 。若方程 1 x 2 , x (1, 3]
3 f ( x ) x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
)
4 8 4 3
A. (
15 8 , ) 3 3
B. (
15 3
,
7)
C. ( , )
3 3
D. ( , 7 )
32. . 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为 零的偶函数,且对任意实数 x 都有
5 x f ( x 1) (1 x ) f ( x ) ,则 f ( f ( )) 的值是 2 1
A.0
B.
C.1
D.
5 2
2
33. 设
f ( x)
x
是定义在实数集 R 上的函数,若函数 y =f(x+1)为偶函数,且当 x≥1 时,有 ,则
3 2 1 f ( ), f ( ), f ( ) 2 3 3
f ( x) 1 2
的大小关系是
.
f (x) 1 x 1
34. .若
f ( x)
是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,
,则
1 f( ) 2
=
.
35. . y f x 定义域为 R,且对任意 x R 都有 f x 1
f x 1 1 f x
,若 f 2 1 2 则 f 2 0 0 8 =_
36. 已知函数 f ( x ) x 2 | x | .
2
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ)画出函 数 g x f ( 4 x ) 的图象,并比较 g 1 与 g ( 6 ) 大小 37. 已知 f x x
x
1
2 1
1 x 0 , 2
⑴判断 f x 的奇偶性; ⑵证明 f x 0 . 38. .已知:函数 f ( x ) a x
f (1) 5 2 , f (2) 17 4 b x c ( a、 b、 c 是常数)是奇函数,且满足
,
(Ⅰ)求 a、 b、 c 的值;
(Ⅱ)试判断函 数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上的单调性并证明;
2
1
39.
定义在[-1,1]上的奇函数 f(x),已知当 x∈[-l,0]时,
.
(I)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (1I)求 f(x)在[0,1]上的最大值; (Ⅲ)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. 40. 若 y f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时 f ( x ) x 2 x ,那么 f ( x ) 在 R 上的
2
解析式是 A、 x ( x 2 ) 41. 已知函数 f ( x ) ln A.
1
B、 x ( x 1)
1 x 1 x
C、 x ( x 2 )
D、 x ( x 2 )
,若 f ( a ) b ,则 f ( a )
C. b D. b b b 42 若 f ( x ) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x 2 ) f ( x ) ,对于下列命题: ① f ( 2 ) 0 ;② f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数; ③ f ( x ) 的图像关于 x 0 对称;④ f ( x 2 ) f ( x ) . 其中正确命题的序号为_______________
f
B.
1
43. 设函数
x
a2
x x
1 a 2
(a R )
是定义域上的奇函数,则 a =
2 44. 12 分) .已知函数 f ( x ) 1 2 3 sin x cos x 2 cos x ,
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间;
2 1
7 12
5 12
4
12
0 -1 -2
12
4
5 12
x
(3) 试列表 函数
g ( x ) f ( x ), x [ 7 12 , 5 12 ]
描点画出
的图象,由图象研究并写出 g ( x ) 的对称轴和对称中心.
45. 若 f ( x ) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x 2 ) f ( x ) ,对于下列命题: ① f ( 2 ) 0 ;② f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数; ③ f ( x ) 的图像关于 x 0 对称;④ f ( x 2 ) f ( x ) . 其中正确命题的序号为_______________ 46. 已 知
f (x)
是
以
2
为
周
期
1 x
的
偶
函
数
, )
且
当
x [ 1,1]时 , f ( x ) | x |, 则 y= f ( x ) 与 y= lo g 9
的图像的交点个数为(
A. 6
B.7
C.8
D.9
x k ) 在 ( , ) 上既是奇函数,又
2
47. 已知 a 0 且 a 1 ,若函数 f ( x ) log a ( x 是增函数,则函数 g ( x ) log
a
x k 的图像是(
)
48. 定义在 R 上的函数 f ( x )
lo g 2 (1 x ), x 0 f ( x 1) f ( x 2 ), x 0
,则 f ( 2009 )
.
49. 已知函数 f ( x ) 是定义在 ( , ) 上的偶函数. 当 x ( , 0 ) 时, f ( x ) x x 4 ,
则当 x ( 0 , ) 时, f ( x ) 50 设函数 f ( x )
( x 1)( x a ) x
. .
为奇函数,则 a
2 b
x
51. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) (1)求 a , b 的值;
2
2
x 1
a
是奇函数。
(2)若对任意的 t R ,不等式 f ( t 2 t ) f (2 t k ) 0 恒成立,
2
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m
求 k 的取值范围; 52. 下列函数中周期为 且图象关于直线 x A. y 2 sin (
1 2 x
3
对称的函数是
3 )
3
)
B. y 2 sin (
)
1 2
x
C. y 2 sin ( 2 x
6
D. y 2 sin ( 2 x
6
)
已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且对于任意的 x R 都有 f ( x 2 ) f ( x ), 若 53. 当 x [ 0 , 2 ] 时, f ( x ) lg( x 1), 则有(
7 ) f (1) f ( ) 2 2 3 7 C. f (1) f ( ) f ( ) 2 2
)
7 ) f ( ) f (1) 2 2 7 3 D. f ( ) f (1) f ( ) 2 2
A. f (
3
B. f (
3
54. 函 数
f( 2 )
f (x)
对任何 .
x R
恒有
f( 1 x
x) 2
f(
1
x)
f( 2 x )
,已知
f( 8 )
3 , 则
f (x)
1 x 1 x
2
x 1 x 1
55. 函数
2
是(
)
A. 非奇非偶函数 B. 既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C. 偶函数 D. 奇 函数 56 奇函数 y=f(x) (x≠0) ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数 f(x-1)的图象 为 ( )
57. 如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称.
F (x) 1 2 [ f ( x ) f ( x )]
58. 1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证:
是偶函数;
G (x)
1 2
[ f ( x ) f ( x )]
是奇函数.
f (x) 3x 2 x x 3
3 2
(2)利用上述结论,你能把函数 和的形式.
f ( x ) ax bx
7
表示成一个偶函数与一个奇函数之
c x
2
59. 已知函数 A.10
x
,若
f ( 2006 ) 10
,则
f (2006)
的值为(
)
B. -10
4 b
x
C.-14
是奇函数,那么a b
D.无法确定
f ( x ) lg (1 0 1) a x 是 偶 函 数 , g ( x )
设
2
x
的值为(
1
)
1
A.1
B.-1
C.- 2
D. 2
60. 已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x 0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 x 0 时的解析式是 ( ) A. f(x)=x2-2x B. f(x)=x2+2x C. f(x)= -x2+2x D. f(x)= -x2-2x 61. 如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则在区间[-7,-3]上( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函 数且有最大值-5 62. 定义域为 [ a
f (x) 1 3 1
x
2
3 a 2, 4 ]
上的函数 f(x)是奇函数,则 a=
m
已知
是奇函数,则
f ( 1)
=