一元二次方程 根的情况试题练习题
一元二次方程根的情况练习题（含答案）
一．选择题
1．一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
2．一元二次方程3x 2﹣4x +1=0的根的情况为（ ）
A ．没有实数根 B ．只有一个实数根
C ．两个相等的实数根 D ．两个不相等的实数根
3．一元二次方程x 2﹣7x ﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．不能确定
4．一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法确定
5．a ，b ，c 为常数，且（a ﹣c ）2＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c=0根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 B ．有两个不相等的实数根 D ．有一根为0
6．一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
7．一元二次方程2x 2﹣3x +1=0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
8．y=
（ ）
A ．没有实数根 B ．有一个实数根
C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个相等的实数根
9．一元二次方程x 2+2x +1=0的根的情况（ ）
x +1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2+2x +1=0的根的情况为
A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根
10．一元二次方程x 2﹣x ﹣1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
11．一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
12．一元二次方程4x 2+1=4x的根的情况是（ ）
A ．没有实数根 B ．只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根
13．方程x 2﹣2x +3=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根
C ．没有实数根 D ．有两个不相等的实数根
14．已知一元二次方程2x 2﹣5x +3=0，则该方程根的情况是（
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．两个根都是自然数 D ．无实数根
15．一元二次方程x 2+x +=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法确定根的情况
16．一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
17．一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有一个实数根
C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根
18．关于x 的方程x 2﹣mx ﹣1=0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．不能确定的
）
19．关于x 的一元二次方程x 2﹣ax +（a ﹣1）=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．有两个实数根
二．填空题
21．若关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
22．关于x 的方程x 2+2x +c=0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围为 ．
23．如果关于x 的方程x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是 ．
24．关于x 的一元二次方程x 2+2x +m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 ．
25．若关于x 的一元二次方程x 2+6x +k=0有两个相等的实数根，则k= ．
26．若一元二次方程x 2﹣2x +k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
27．如果关于x 的方程x 2﹣2x +k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．
28．一元二次方程2x 2﹣3x +k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
29．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m=0有两个相等的实数根，则m= ．
30．已知k ＞0，且关于x 的方程3kx 2+12x +k +1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于 ．
31．若关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．
32．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
33．若方程kx 2﹣6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．
34．若一元二次方程x 2﹣2x +a=0有两个相等的实数根，则a 的值是 ．
35．已知关于x 的方程x 2﹣2x +a=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．
36．关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则实数a 的取值范围是 ．
37．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．
一．选择题（共20小题）
1．（2017•河南）一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2．（2017•常德）一元二次方程3x 2﹣4x +1=0的根的情况为（ ）
A ．没有实数根 B ．只有一个实数根
C ．两个相等的实数根 D ．两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．（2017•扬州）一元二次方程x 2﹣7x ﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．不能确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（2016•昆明）一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程x 2﹣4x +4=0中，
△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B ．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．
25．（2016•河北）a ，b ，c 为常数，且（a ﹣c ）＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c=0
根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 B ．有两个不相等的实数根 D ．有一根为0
【分析】利用完全平方的展开式将（a ﹣c ）2展开，即可得出ac ＜0，再结合方程ax 2+bx +c=0根的判别式△=b2﹣4ac ，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵（a ﹣c ）2=a2+c 2﹣2ac ＞a 2+c 2，
∴ac ＜0．
在方程ax 2+bx +c=0中，
△=b2﹣4ac ≥﹣4ac ＞0，
∴方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根．
故选B ．
【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac ＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．
6．（2016•邵阳）一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac 的值，根据△的正负即可得出结论．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B ．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
7．（2016•舟山）一元二次方程2x 2﹣3x +1=0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A ．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）
△＜0⇔方程没有实数根．
8．（2016•黔南州）y=
的根的情况为（ ）
A ．没有实数根 B ．有一个实数根
C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个相等的实数根
【分析】由一次函数的定义可求得k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
【解答】解：
∵
y=
∴x +1是关于x 的一次函数， ≠0， x +1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2+2x +1=0
∴k ﹣1＞0，解得k ＞1，
又一元二次方程kx 2+2x +1=0的判别式△=4﹣4k ，
∴△＜0，
∴一元二次方程kx 2+2x +1=0无实数根，
故选A ．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．
9．（2016•兰州）一元二次方程x 2+2x +1=0的根的情况（ ）
A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，
∴一元二次方程x 2+2x +1=0有两个相等的实数根；
故选B ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．（2016•怀化）一元二次方程x 2﹣x ﹣1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A ．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
11．（2015•锦州）一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（2015•滨州）一元二次方程4x 2+1=4x的根的情况是（ ）
A ．没有实数根 B ．只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：原方程可化为：4x 2﹣4x +1=0，
∵△=42﹣4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C ．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
13．（2015•长春）方程x 2﹣2x +3=0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根
C ．没有实数根 D ．有两个不相等的实数根
【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
所以方程没有实数根．
故选C ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
14．（2015•重庆）已知一元二次方程2x 2﹣5x +3=0，则该方程根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．两个根都是自然数 D ．无实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac 的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．
15．（2015•珠海）一元二次方程x 2+x +=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法确定根的情况
【分析】求出△的值即可判断．
【解答】解：一元二次方程x 2+x +=0中，
∵△=1﹣4×1×=0，
∴原方程由两个相等的实数根．
故选B ．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．（2014•自贡）一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
17．（2017•思茅区校级一模）一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有一个实数根
C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根
【分析】要判断方程x 2﹣4x +4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，
∴△=16﹣16=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选C ．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
18．（2017•静安区二模）关于x 的方程x 2﹣mx ﹣1=0根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．不能确定的
【分析】先计算△=（﹣m ）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m 2为非负数，则m 2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（﹣m ）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，
∵m 2≥0，
∴m 2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19．（2017•兴庆区校级二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣ax +（a ﹣1）=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．有两个实数根
【分析】要判断一元二次方程x 2﹣ax +（a ﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：∵△=a2﹣4×1×（a ﹣1）=a2﹣4a +4=（a ﹣2）2≥0，
∴此方程有两个实数根．
故选D ．
【点评】结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ． B．
2﹣ C ．
2﹣ D ．4﹣
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到
∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S 扇形O′OB﹣S △OO′B）=×1×2
﹣×2×
故选C ．
）=2﹣． ﹣
（
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共19小题）
21．（2016•河南）若关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＞﹣ ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k=0有两个不相等的实数根， ∴△=32﹣4×1×（﹣k ）=9+4k ＞0，
解得：k
＞﹣．
故答案为：k
＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
22．（2017•大连）关于x 的方程x 2+2x +c=0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围为 c ＜1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c 的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的方程x 2+2x +c=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4c=4﹣4c ＞0，
解得：c ＜1．
故答案为：c ＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
23．（2016•上海）如果关于x 的方程x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是
．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：
k=． 故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
24．（2016•长春）关于x 的一元二次方程x 2+2x +m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．
【分析】由于关于x 的一元二次方程x 2+2x +m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m 的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x +m=0有两个相等的实数根， ∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．
25．（2016•淮安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +k=0有两个相等的实数根，则k=．
【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x 2+6x +k=0有两个相等的实数根，
∴△=62﹣4×1×k=0，
解得：k=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
26．（2016•宿迁）若一元二次方程x 2﹣2x +k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＜1 ．
【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k ＞0进而求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k ＞0，
解得：k ＜1，
则k 的取值范围是：k ＜1．
故答案为：k ＜1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．
27．（2014•上海）如果关于x 的方程x 2﹣2x +k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 k ＜1 ．
【分析】根据一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k ＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣2x +k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k ＞0，
解得k ＜1，
∴k 的取值范围为k ＜1．
故答案为：k ＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
28．（2014•常德）一元二次方程2x 2﹣3x +k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k
＜ ．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k ＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k ＞0，
解得k ＜．
故答案为：k
＜．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
29．（2015•岳阳）若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m=0有两个相等的实数根，则m=
．
【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．
【解答】解：∵方程x 2﹣3x +m=0有两个相等的实数根，
∴△=9﹣4m=0，
解得：
m=． 故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．
30．（2015•新疆）已知k ＞0，且关于x 的方程3kx 2+12x +k +1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于 3 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k 的等量关系式，即可求得k 的值．
【解答】解：∵关于x 的方程3kx 2+12x +k +1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k ×（k +1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k ＞0，
∴k=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
31．（2015•漳州）若关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 a ＞﹣且a ≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a ≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a ×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a ×（﹣1）=9+4a ＞0，
解得：a ＞﹣且a ≠0．
故答案为：a ＞﹣且a ≠0．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
32．（2017•罗平县一模）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＞﹣1且k ≠0 ．
【分析】由关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k ≠0，则可求得k 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k ×（﹣1）=4+4k ＞0，
∴k ＞﹣1，
∵x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0
∴k ≠0，
∴k 的取值范围是：k ＞﹣1且k ≠0．
故答案为：k ＞﹣1且k ≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
33．（2017•凉州区一模）若方程kx 2﹣6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．
【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac ≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k ≥0，
即k ≤9，且k ≠0
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
34．（2017•绿园区二模）若一元二次方程x 2﹣2x +a=0有两个相等的实数根，则a 的值是 1 ．
【分析】根据已知条件“一元二次方程x 2﹣2x +a=0有两个相等的实数根”可知根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可以求得a 的值．
【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +a=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=a，且一元二次方程x 2﹣2x +a=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，即△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
35．（2017•盘锦三模）已知关于x 的方程x 2﹣2x +a=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 a ＜1 ．
【分析】关于x 的方程x 2﹣2x +a=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac
＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．
【解答】解：∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a ＞0，
解得：a ＜1．
∴a 的取值范围是a ＜1．
故答案为：a ＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
36．（2017•抚顺县一模）关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则实数a 的取值范围是 a ≥1且a ≠5 ．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac ≥0．
【解答】解：因为关于x 的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=16+4（a ﹣5）≥0，
解之得a ≥1．
∵a ﹣5≠0
∴a ≠5
∴实数a 的取值范围是a ≥1且a ≠5
故答案为a ≥1且a ≠5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
37．（2017•河南模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是．
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac ≥0，建立关于m
的不等式，求出m 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，
∴△=22﹣4×（m ﹣2）×1≥0，且m ﹣2≠0，
解得：m ≤3且m ≠2，
故答案为：m ≤3且m ≠2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
38．（2016•河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作交于点C ，若OA=2
．
【分析】连接OC 、AC ，根据题意得到△AOC 为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形COB 的面积、△AOC 的面积、扇形AOC 的面积，计算即可．
【解答】解：连接OC 、AC ，
由题意得，OA=OC=AC=2，
∴△AOC 为等边三角形，∠
BOC=30°，
∴扇形COB 的面积为：
△AOC 的面积为：×2×
扇形AOC 的面积为：则阴影部分的面积为：故答案为：﹣． +﹣=， ==， ﹣，
=，
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式
39．（2015•河南）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作
+ ．
交OB 于点D ．若OA=2，则阴影部分的面积为
【分析】连接OE 、AE ，根据点C 为OC 的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO 为等边三角形，求出扇形AOE 的面积，最后用扇形AOB 的面积减去扇形COD 的面积，再减去S 空白AEC 即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE 、AE ，
∵点C 为OA 的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO 为等边三角形，
∴S 扇形AOE ==π，
∴S 阴影=S扇形AOB ﹣S 扇形COD ﹣（S 扇形AOE ﹣S △COE ）
==π﹣π+
=+． +．
﹣
﹣（π﹣×1×）
故答案为：
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：