2.3[圆的切线的判定和性质]
切线的判定和性质
教学目标:
1、使学生深刻理解切线的判定定理\性质定理及推论,并能初步运用它解决有关问题;
2、通过判定定理和切线判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力;
3、通过学生自己实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点:
1. 切线的判定定理和切线判定的方法
2. 切线的性质定理和推论1、推论2.
教学难点:
1. 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端;二是直线垂直于这条半径;学生开始时掌握不好并极容易忽视.
2. 利用“反证法”来证明切线的性质定理.
教学过程设计
(一)复习、发现问题
1.直线与圆的三种位置关系
在图中,图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系
?
2、观察、提出问题、分析发现(教师引导)
图(2)中直线l 是⊙O 的切线,怎样判定?根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察,那就是直线和圆的位置怎样时,直线也是圆的切线呢?
如图,直线l 到圆心O 的距离OA 等于圆O 的半径,直线l 是⊙O 的切线.这时我们来观察直线l 与⊙O 的位置.
发现:(1)直线l 经过半径OC 的外端点C ;(2)直线l 垂直于半径0C .这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理.
(二)切线的判定定理:
1、切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、对定理的理解:
引导学生理解:①经过半径外端;②垂直于这条半径.
请学生思考:定理中的两个条件缺少一个行不行? 定理中的两个条件缺一不可.
图(1)中直线了l 经过半径外端,但不与半径垂直;图(2)(3)中直线l 与半径垂直,但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
(三)切线的判定方法
教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种:
①直线与圆有唯一公共点;②直线到圆心的距离等于该圆的半径;③切线的判定定理.
(四)应用定理,强化训练'
例1已知:直线AB 经过⊙O 上的点C ,并且OA=OB,CA =CB . 求证:直线AB 是⊙O 的切线.
分析:欲证AB 是⊙O 的切线.由于AB 过圆上点C ,若连结OC ,则AB 过半径OC 的外端,只需证明OC ⊥OB 。
证明:连结0C
∵0A =0B ,CA =CB ,”
∴0C 是等腰三角形0AB 底边AB 上的中线.
∴AB ⊥OC .
直线AB 经过半径0C 的外端C ,并且垂直于半径0C ,所以AB 是⊙O 的切线.
练习1判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切. 采取学生抢答的形式进行,并要求说明理由,
练习P32,1、2
目的:使学生初步会应用切线的判定定理,对定理加深理解)
(五)基本性质
1、观察:(组织学生,使学生从感性认识到理性认识)
2、归纳:(引导学生完成)
(1)切线和圆有唯一公共点;(切线的定义)
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;
猜想:圆的切线垂直于经过切点的半径.
引导学生应用“反证法”证明.分三步:
(1)假设切线AT 不垂直于过切点的半径OA ,
(2)同时作一条AT 的垂线OM .通过证明得到矛盾,OM <OA 这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系,得AT 和⊙O 相交与题设相矛盾. (3)承认所要的结论AT ⊥AO .
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
指出:定理中题设和结论中涉及到的三个要点:切线、切点、垂直. 引导学生发现:
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系,总结出如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. (1)垂直于切线;
(2)过切点;
(3)过圆心.
(二) 归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点;(切线的定义)
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;(判定方法(2)的逆命题) (3)切线垂直于过切点的半径;(切线的性质定理)
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;(推论1)
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.(推论2)
(三)应用举例,强化训练.
例1、AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D .
求证:AC 平分∠DAB .
引导学生分析:条件CD 是⊙O 的切线,可得什么结论;由AD ⊥CD ,又可得什么.
证明:连结OC .
∴AC 平分∠DAB .
例2、求证:如果圆的两条切线互相平行,则连结两个切点的线段是直径。 已知:AB 、CD 是⊙O 的两条切线,E 、F 为切点, 且AB ∥CD
求证:连结E 、F 的线段是直径。
证明:连结EO 并延长
∵AB 切⊙O 于E ,∴OE ⊥AB ,
∵AB ∥CD ,∴OE ⊥CD .
∵CD 是⊙O 切线,F 为切点,∴OE 必过切点F
∴EF 为⊙O 直径
(六)小结
1、知识:切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件,在应用定理时,注重两个条件缺一不可.
切线的性质:
(1)切线和圆有唯一公共点;(切线的定义)
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;(判定方法(2)的逆命题) (3)切线垂直于过切点的半径;(切线的性质定理)
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;(推论1)
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.(推论2)
2、方法:判定一条直线是圆的切线的三种方法:
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定.
(4) 凡是题目中给出切线的切点,往往“连结”过切点的半径.从而运用切线的性质定理,产生垂直的位置关系.
其中(2)和(3)本质相同,只是表达形式不同.解题时,灵活选用其中之一.
3、能力:初步会应用切线的判定定理.