求不定积分的方法及技巧小汇总~

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则



f[(x)]'(x)dx



f[(x)]d(x)F[(x)]C

其中(x)可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：

ln(x1)lnx

x(x1)

dx

【解】(ln(x1)lnx)'

ln(x1)lnx

x(x1)1lnx(xlnx)

2

1x1



1x



1x(x1)

12

dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)

(ln(x1)lnx)C

2

例2：

dx

【解】(xlnx)'1lnx

x(x1)

1lnx

2

dx

(xln

dxlnx

x)

2



1xlnx

C

3.第二类换元法：

设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dxf[(t)]'(t)dt

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

(1)ax：xasint；xacost

(2)xa：xatant；xacott；xasht(3)xa：xasect；xacsct；xacht

2

2

2

2

2

2

n

(4)naxbaxbt

(5)n

axbcxd

naxbcxd

tx

m

axbxc，有时倒代换

2

(6)当被积函数含有x

1t

也奏效。

4.分部积分法.

公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：

xarccosx

x

2

3

【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则



xarccosxx

2

3





costsint

2

3

t(sint)dt

tcos

3

tdt

t(sint1)dsint

11313

13td(3sintsint)

133

tsintsint(sintsint)dt33tsintsinttsintsint19x

333

12

(sint1)dcost323cost

2

19

costC

2

3

23

x

13

(x2)xarccosxC

例4：arcsin2xdx 【解】

arcsin

2

xdxxsin

2

x



x2arcsinx

1x

2

dx

xarcsinx

2arcsinxd

2

x

2

x

2

xarcsinx2xarcsinx

2



2x

2

dx

xarcsinx2xarcsinx2xC

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在dd中，、的选取有下面简单的规律：

(1)Pm(x)，e,sinax,cosax(2)lnx,arctanx,arcsinx，Pm(x)(3)e，cosx,sinx(3)会出现循环，注意

ax

ax

，选取的函数不能改变。

将以上规律化成一个图就是：

但是，当lnx，arcsinx时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

I1I2

ee

ax

sinbxdxcosbxdx

e

2

ax

2

abe

2ax

(asinbxbcosbx)C(acosbxbsinbx)C

ax

ab

2

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数

P(x)Q(x)

先化为多项式和真分式

P*(x)Q(x)

之和，再把

P*(x)Q(x)

分解为若干

dx

2

个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In

x

2a(n1)(xa)

2

2

2

n1

(a

x)

2n

时，记得用递推公式：In

xx4x2x(x1)

6

4

2

3

2

2

6

4

2



2n32a(n1)

2

In1）

例5：【解】

dx

xx4x2x(x1)

3

2

2



xx

3

2

642

x(x1)



4x2x(x1)

3

2

2

2



xx1

2



4x2x(x1)

3

2

2

2

xx

x

2

1

22

dx

12

ln(x1)C

2

4x2

3

(x1)

2

dx

x(

4x2

4

2

(x1)

22

xdx

x

2x1

4

2

2

(x1)

2

2

dxx

22

21

2

(1)

2

2





(1)

2

(1)

1

22

C

1x(x1)

2

2

1





1(1)

)d2

1



1

C



故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

x

2tan

sinx

2x1tan

2万能公式：

2x1tancosx

2x

1tan2

Q(sin

P(sinx,cosx)

x,cosx)

可用变换ttan

x2

化为有理函数

的积分，但由于计算较烦，

应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成

A(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)

acosxbsinx

sinxcosx

或cosxsinx

。再用待定系数

来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和x时，可令xtan2t；同时出现x和x时，可令xsin2t；同时出现x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现x2和arccosx时，可令x=cost等等。