微分几何 陈维桓 第五章讲稿

目 录

第五章 曲面论基本定理 ··············································································································· 67

§ 5. 1 自然标架的运动公式 ··································································································· 67 § 5. 2 曲面的唯一性定理 ······································································································· 69 § 5.3 曲面论基本方程 ··········································································································· 71 § 5.4 曲面的存在性定理 ······································································································· 74 § 5.5 Gauss 定理 ··················································································································· 76

第五章 曲面论基本定理

本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理

计划学时：9学时，含习题课2学时.

难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理

§ 5. 1 自然标架的运动公式

II =d 2r ⋅=-dr ⋅dn 是曲面S 的两个不变二次形式，与E 3中直角坐标的选取无关.

*

曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若S :r =r (u , v ) 和S :

r *=r *(u , v ) 有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个E 3中的刚体运动σ？

S ⊂E Ω 3

设S :r =r (u , v ) 为正则曲面，n =n (u , v ) 是单位法向量. 第一、第二基本形式I =dr ⋅dr 和

**3r =σ r S ⊂E

1

2

(见)

答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.

为了公式的书写方便，从现在起记u =u ，u =v . 注意u , u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成u

1

2

(), (u )，„„，(α=1, 2) .

α2

α3

这样，S 的参数方程为r =r (u 1, u 2) . 从现在起，用r α表示向量函数r (u 1, u 2) 对变量u 的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式dr =

α

α 1 2

r du =r 1du +r 2du 简记为 =1α

dr =r αdu α. (1. 4)

∑α

2

就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，

S αβT

αβγ

=

S αβT αβγ=S ∑αβ

, =1

2

112

T 11γ+S 12T 12γ+S 21T 21γ+S 22T 22γ，

α12

P =∑P α=P 1+P 2. αα

α=1

注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S αβT

αβγ

=S αεT αεγ=S δβT δβγ. (γ不能换成别的字母)

在本书中，求和指标用希腊字母α, β, γ, 表示，它们的取值范围为α, β, γ =1, 2. 类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数r (u , u ) 的二阶微分可写成

1

2

d 2r =r αd 2u α+r αβdu αdu β.

采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成 其中

I =dr ⋅dr =(r αdu α) ⋅(r βdu β) =g αβdu αdu β，II =d 2r ⋅n =b αβdu αdu β， (1. 6)

g αβ=r α⋅r β，b αβ=r αβ⋅n ， (1. 5)

即g 11=r 1⋅r 1=E ，g 12=g 21=F ，g 22=G ，b 11=L ，b 12=b 21=M ，b 22=N .

记

g =det (g αβ)=g 11g 22-(g 12) 2, b =det (b αβ)=b 11b 22-(b 12) 2. (1. 7-8)

αβ

用g 表示度量矩阵g αβ的逆矩阵，则有

()()

α

g αγg γβ=δβ=⎨

⎧1, α=β,

(1. 9)

0, α≠β. ⎩

实际上，

⎛g 11g 12⎫1⎛g 22-g 12⎫1⎛G -F ⎫

== 2122⎪⎪. (1. 10) ⎪2 -g g -F E ⎭⎝g g ⎭g ⎝1211⎭EG -F ⎝

12

采用现在的记号，曲面S 上每一点p (u , u )有一个自然标架{r ; r 1, r 2, n }. 下面来导出自然标

架的运动方程.

由于r 1, r 2, n 线性无关，可将它们的偏导数再用r 1, r 2, n 表示出来. 设

γ其中Γαβ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号) . 令

γ β r αβ=Γαβr γ+b αβn , n α=-b αr β， (1. 18)

Γξαβ:=r ξ⋅r αβ， (1. 22)

称为第一类克氏符号. 由r αβ=r βα可知两类克氏符号关于指标α, β都是对称的：

γ

Γγαβ=Γγβα，Γαβ=Γγβα.

用r ξ与(1. 18) 中的第1个式子作内积，得

γ γ

Γξαβ=r ξ⋅r αβ=r ξ⋅(Γαβr γ+b αβn )=g ξγΓαβ. (1. 20)

γγ

g ξηΓξαβ=g ξηg ξγΓαβ=δγηΓαβ=Γηαβ，

用g ξη乘(1. 20) 两边，再对指标ξ求和，由(1. 9) 可得 即

Γαβ=g Γξαβ. (1. 21)

λμα

g (1. 20) 和(1. 21) 说明Γαβγ是用g λμ将Γα降标而得的；而则是用将Γαβγ升标而得的. Γβγβγ

γγξ

()()

类似地，用-r ξ与(1. 18) 中的第2个式子作内积，得

γγ

b ξα=-r ξ⋅n α=r ξb αr γ=g ξγb α， (1. 14)

(

)

从而

βb α=b αγg γβ. (1. 15)

于是我们有自然标架{r ; r 1, r 2, n }的运动公式

∂r ∂u β

=r α， (1. 11)

γ =-b βr =Γαβr γ+b αβn ， αβ， (1. 18)

∂u α

γβ

其中b αβ是第二类基本量，b α=b αγg

γ

，被第一类基本量和第二类基本量所确定.

我们断言Christoffel 记号Γαβ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g αβ=r α⋅r β得 =r αγ⋅r β+r α⋅r βγ=Γβαγ+Γαβγ. 返回 (1. 23) 由Γγαβ=Γγβα可得

∂g αγ∂u ∂g αβ

+

∂g βγ-

∂g αβ=Γαγβ+Γγαβ+Γβγα+Γγβα-Γαβγ-Γβαγ=2Γγαβ，

即有

Γγαβ=∂u +-于是由(1. 21) ，

γγξ

Γαβ=g γξΓξαβ=g

(

∂g αγ

∂g βγ∂g αβ

)

. (1. 24)

∂g αβ∂u (

∂g αξ∂u +

∂g βξ

-

)

. (1. 25)

通常把(1. 18) 的第一式称为Gauss 公式，(1. 18) 的第二式称为Weingarten 公式.

γ

Gauss 公式的几何意义：r 的切向部分是Γαβ法向部分是b αβn . 当曲面的参数方程给出时，r γ，αβ

γ利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号Γαβ，而不需要用公式(1. 22) 来求.

β

Weingarten 公式的几何意义；矩阵b α正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基{r 1, r 2}下

β的矩阵：W (r α) =-n α=b αr β.

γ

在正交参数网中，Christoffel 记号Γαβ的计算公式(1.28).

()

例 求曲面z =f (x , y ) 的Christoffel 记号.

解 曲面的参数方程为r =(x , y , f (x , y ) ). 因此u =x ，u 2=y ，

1

r 1=(1,0, f 1)，r 2=(0,1, f 2)，

n =

-f 1, -f 2,1).

其中f 1=f x ，f 2=f y . 因为r αβ=0,0, f αβ=f αβ(0,0,1)，所以

γ

Γαβr γ=r αβ-r αβ⋅n n =f αβ(0,0,1)-

()

(

)

f αβ

1+(f 1)+(f 2)

22

2

(-f 1, -f 2,1)

=另一方面 所以

f αβ

1+(f 1)+(f 2)

2

2

(

f 1, f 2, (f 1)+(f 2)

2

).

γ 2 1212

Γαβr γ=Γ1αβr 1+Γαβr 2=(Γαβ, Γαβ, Γαβf 1+Γαβf 2).

Γ1αβ=

即有

f 1f αβ

1+(f 1)+(f 2)

，Γ12=，Γ12=

2

22

2

，Γαβ=

f 2f αβ

1+(f 1)+(f 2)

，Γ22=，Γ22=

2

22

，

Γ111=

2

Γ11=

f x f xx

1+(f x )+(f y )

2

1

f x f xy

1+(f x )+(f y )

2

2

1

f x f yy

1+(f x )+(f y )

2

2

，

f y f xx

1+(f x )+(f y )

2

f y f xy

1+(f x )+(f y )

2

f y f yy

1+(f x )+(f y )

2

.

课外作业：习题4，5

§ 5. 2 曲面的唯一性定理

利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若S :r =r (u , v ) 和S :r =r (u , v ) 有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个E 中的刚体运动σ.

定理2. 1若S :r =r (u , u ) ，S :r =r (u , u ) ((u , u ) ∈Ω) 有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有E 中的σ使得S =σ(S ) .

3

*

* *

3

12*

* *

1212

*

证明 因为S =r (Ω) ，S *=r *(Ω) ，只需证明存在E 中的刚体运动σ使得

r =σ r :Ω→E . (1)

3

*

3

* * * *12r (0);r (0),r (0),n (0)}. 选取E 3中的刚体运动σ使得在(u 0, u 0) 点成立 {12

r *(0)=σ(r (0)),r 1*(0)=σ(r 1(0)),r 2*(0)=σ(r 2(0)),n *(0)=σ(n (0)). (2)

e =(0)[事实上，令e ，，e =n (0)112=e 3⨯e 1. 则由

3不妨设0=(0, 0) ∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{r (0);r 1(0),r 2(0),n (0)}和

r 2(0)⋅e 1=

可知

r 2(0)⋅e 2=(

r 2(0),e 3, e 1)=

r 2(0),n (0),r 1(0))=

，，n (0)=e r 1(0)=1r 2(0)=1+23. (3) * *

** *

同样，令e 3*=n *(0)，e 1=1(0)，e 2=e 3⨯e 1. 则由S , S *有相同的第一基本形式，有

*

* *

，r 2(0)=r 1(0)=1

根据第一章定理1.1，存在刚体运动

3

3

*1 * * *

，n (0)=e 3. (4) 2

σ:E →E :p ≡Op σ(p ) ≡O σ(p ) =a +A (Op )

* * * *

将正交标架{r (0);e 1, e 2, e 3}变成{r (0);e 1, e 2, e 3}，其中a =r *(0)-A (r (0))，而

A :R 3→R 3:v A (v ) =vA =(v 1, v 2, v 3) A

3

是保持E 定向的正交变换，即A ∈SO (3). 由定义，σ将向量PQ 变成向量

σ(PQ ) =σ(P ) σ(Q ) =O σ(Q ) -O σ(P ) =A (OQ ) -A (OP ) =A (OQ -OP ) =A (PQ ) .

所以刚体运动σ将向量r 1(0)变成向量

σ(r 1(0))=A (

r 1(0))=(e 1) =(e 1) =1*=r 1*(0).

** *

同理，σ(r 2(0))=r 2(0). 又σ(n (0))=σ(e 3) =e 3=n (0). ]

的参数方程为 =σ(S ) 是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 设S

12 12=a (u , u ) =σ(r r +A (r (u 1, u 2) ). (u , u ) )

于是 从而

α

αdu =dr =d (A (r ) )=d (rA ) =(dr ) A =(r αdu α)A =(r αA ) du α=(A (r α) )du α=A (dr ) ， r

2=A (r 2) . ，r 1=A (r 1) r

r ⨯r =A (r ) ⨯A (r ) =A (r 12121⨯r 2) ， r ⎛⎫⨯r A (r ⨯r ) r 11⨯r 2

=2=12=A n ⎪=A (n ).

2||r |r 1⨯r |1⨯r ⎝|r 1⨯r |⎭

的第一、第二基本形式分别为 由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S

⋅dr =(A (dr ) )⋅(A (dr ) )=dr ⋅dr =I =I *， I =dr ⋅dn =-(A (dr ) )⋅(A (dn ) )=-dr ⋅dn =II =II *. II =-dr

与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组于是S

(1. 11) ，(1. 18) ，即有

α β α

γβ

=r =-b αr βdu ； dr ,2), dn αdu , dr α=(Γαβr γ+b αβn ) du , (α=1 *α * γ *β *dr *=r αdu , dr α=(Γαβr γ+b αβn *) du β, (α=1,2), dn *=-b αr βdu α.

由于保持定向的正交变换保持外积不变，有

由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：

*

(0)=σ(r (0))=r *(0)，r r (0)=σ=r r (0)()11(0)， 1

*

(0)=n *(0). 2(0)=σ(r 2(0))=r 2(0)，n r

C :u 1=u 1(t ), u 2=u 2(t ) ，t ∈[0,1]，

12

设(u 0, u 0) ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线

使得

(u (0),u (0))=(0,0),(u (1),u (1))=(u , u ) .

; r , r , n }和{r ; r , r , n }满足同样的常微分方程组初值问题 则限制在C 上{r

1

2

1

2

1

20

*

12

*1*2

*

⎧dr *⎪dt ⎪ *⎪dr 1⎪⎪dt

⎨ *

⎪dr 2⎪dt ⎪ *⎪dn ⎪⎩dt

由常微分方程组解的唯一性得

*du α

=r α,

dt

*du βγ *

=(Γ1βr γ+b 1βn ) ,

dt

β

* *du =(Γγr +b n ) , 2βγ2β

dt

α

β *du =-b αr β.

dt

*121212

(u 0, u 0) =σr (u 0, u 0) . r (u 0, u 0) =r

12

由(u 0, u 0) ∈Ω的任意性可知r =σ r . □

*

(

)

定理2. 2 设S :r =r (u 1, u 2) ，S *:r *=r *(1, 2) 是2个曲面，它们的第一、第二基本形式

*******

分别为I, II 和I , II . 如果存在光滑映射ϕ:S →S 使得ϕ(I) =I ，ϕ(II) =II ，则存在E 中

3

的刚体运动σ使得ϕ=σ|S . (选取适用参数系) □

课外作业：无

§ 5.3 曲面论基本方程

曲面论存在性问题：设ϕ=g αβdu du 和ψ=b αβdu du 是区域 Ω(⊂ 2) 上的2个给定的二次微分形式，是否存在E 中的三次以上连续可微的曲面S :r =r (u , v ) ，使得ϕ，ψ正好是曲面S

的第一、第二基本形式？

如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g αβ=g βα，b αβ=b βα；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出g αβ, b αβ所应该满足的必要条件.

假设有曲面S :r =r (u , v ) 使得它的第一、第二基本形式为

I =g αβdu du ， II =b αβdu du . (3.2)

在第一节中已经得到自然标架{r ; r 1, r 2, n }的运动公式

α

β

α

β

3

αβαβ

⎧∂r =r α, ⎪∂u α

⎪ ⎪∂r α γ

⎨β=Γαβr γ+b αβn , (3.3) ⎪∂u ⎪∂n β =-b r βαα⎪⎩∂u

其中

γγξΓαβ=g γξΓξαβ=g (

∂g αξ∂u +

∂g βξ

-

∂g αβ∂u )

β，b α=b αγg γβ. (3.4)

因为S 是三次以上连续可微的，必须有

∂2r α∂2r α∂2n ∂2n

=， ，∀α, β, γ. (3.5) =

∂u β∂u γ∂u γ∂u β∂u α∂u β∂u β∂u α

∂∂ δ δ Γr +b n =Γr +b n ()(αγδαγαβδαβ). (3.6)

∂u β∂u γ

将(3.3)代入(3.5)第1式，得

将上式展开，并利用(3.3)，

δ∂Γαγ ∂b αγ δη δ 左边=r +ΓΓr +b n +n -b b ()αγδβηδβαγβr δ βδβ∂u ∂u δ⎛∂Γαγ⎫⎛∂b αγ⎫ ηδδ δ

+ΓΓ-b b r ++Γb = ⎪αγηβαγβ⎪δαγδβ⎪n . β ∂u β∂u ⎝⎭⎝⎭δ⎛∂Γαβ⎫⎛∂b αβ⎫ ηδδ δ

+ΓΓ-b b r ++Γb 右边= ⎪αβηγαβγ⎪δαβδγ⎪n . γ ∂u γ∂u ⎝⎭⎝⎭

比较两边r δ, n 的系数，得

δ∂Γαβ

γ

∂u ∂u ∂b αβ∂b αγ

δδδδ

-=Γb -Γb =b Γ-b Γ，∀α, β, γ. (3.9) αγδβαβδγβδαγγδαβγβ

∂u ∂u

注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为

δ

R αβγ:=

δ

∂Γαβ

-

δ∂Γαγ

β

δηδδδ

+ΓηαβΓηγ-ΓαγΓηβ=b αβb γ-b αγb β，∀α, β, γ, δ， (3.8)

∂u

γ

-

δ

∂Γαγ

∂u

β

δηδ

+ΓηαβΓηγ-ΓαγΓηβ， (3.10)

称为曲面S 的Riemann 记号. 再记

R αδβγ=g δηR αβγ， (3.11)

则自然就有

δ

R αβγ=g δηR αηβγ. (3.11)’

η

与R αβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R αβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成

δδR αβγ=b γδb αβ-b βb αγ， (3.12)

δδ

或等价地，

R δαβγ=b δβb αγ-b δγb αβ. (3.13)

相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：

R 1212=b 11b 22-(b 12)=LN -M 2=K (EG -F 2). (3.18)

2

Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程

⎧∂b 11∂b 12δδ-=-Γb +Γb 1δ, 112δ1221⎪⎪∂u ∂u

⎨ (3.20)

⎪∂b 21-∂b 22=-Γδb +Γδb .

212δ221δ

⎪⎩∂u 2∂u 1

这是因为有

R δαβγ=R βγδα=-R αδβγ=-R δαγβ. (3.17)

从而当α=δ=1或α=δ=2时得到8个恒等式0=0；当α≠δ而β=γ时得到4个恒等式0=0. 剩下的4个方程是相互等价的：R 1212=R 2121=-R 1221=-R 2112.

[事实上，

⎛∂Γη⎫∂Γηαβαγξηξη R αδβγ=g R =g -β+ΓαβΓξγ-ΓαγΓξβ⎪ δηδη γ

∂u ⎝∂u ⎭

∂Γδαβ∂Γδαγη∂g δηη∂g δηξξ

--Γ+Γ+ΓαβΓδξγ-ΓαγΓδξβ =αβαγγβγβ

∂u ∂u ∂u ∂u ∂Γδαβ∂Γδαγηηη

--Γη =αβ(Γηδγ+Γδηγ) +Γαγ(Γηδβ+Γδηβ) +ΓαβΓδηγ-ΓαγΓδηβ γβ

∂u ∂u ∂Γδαβ∂Γδαγηη

-+ΓΓ-ΓΓ

=. 利用αγηδβαβηδγγβ

η

αβγ

将(1.24)2项，并注意

1

ηξξηξη

ΓηαγΓηδβ=g ΓξαγΓηδβ=Γξαγg Γηδβ=ΓξαγΓδβ=ΓδβΓηαγ=

(Γ

η

αγ

Γηδβ+ΓηδβΓηαγ)，

ηαγ

可得

R αδβγ=

=

2

∂g ∂u ∂u 2

∂g δβ∂u ∂u ((

+

∂2g βδ∂u ∂u ∂2g αβ

-∂u ∂u -

∂2g δγ∂u ∂u ∂2g αβ

)(

-

2

∂g ∂u ∂u +

∂2g γδ∂u ∂u -

∂2g αγ∂u ∂u -∂u ∂u +

∂2g αγ∂u ∂u )+

)+Γ

Γηδβ-ΓηαβΓηδγ

(Γ

η

αγ

ηη

Γηδβ-ΓηαβΓηδγ+ΓδβΓηαγ-ΓδγΓηαβ)]

注2. 将(3. 3) 看作以r , r 其中g αβ，b αβ1, r 2, n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，是已知的函数，从而g

αβ

∂2r α∂2r α∂2r ∂2r ∂2n ∂2n

=== ， ， . (C)

∂u β∂u γ∂u γ∂u β∂u α∂u β∂u β∂u α∂u α∂u β∂u β∂u α

由(3. 3) 可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8) 和(3.9) ，也就是(3. 18) 和(3.20). 因为

γγ

∂b α∂2n ∂ ⎛∂b α γ γδ δγ⎫ γ

， =b r =r +b Γr +b n =+b Γr +b b n ()()αγγαγβδγβ αδβ⎪γαγββαβββ

∂u ∂u ∂u ∂u ⎝∂u ⎭

所以可积性条件(C)的第三式为

γ

∂b β∂b αδγδγγγ

+b αΓδβ=α+b βΓδα，b αb γβ=b βb γα. (3. 14) β

∂u ∂u γγδγδδη

上面第二式自动成立，因为b αb γβ=g b αδb γβ=b αδg b γβ=b αδb β=b βb ηα.

γ

γβ

以及由(3. 4) 给出的Γαβ也都是已知的. (3. 3) 的可积性条件是 , b α

以g γδ乘(3. 14) 第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于

∂g γδ∂b δβ∂g γδ∂b δαγγγγ

-b +b Γ=-b +b ααδγβββΓδγα. ββαα

∂u ∂u ∂u ∂u

将(1. 23) =Γβαγ+Γαβγ代入上式得

∂g αβ

∂b δβ∂b δαγγ

-b Γ=-b Γγδα， αγδβββα

∂u ∂u

即

∂b δα∂b δβγγγγ

-=b Γ-b Γ=b Γ-b Γ. αγδββγδααγδββγδαβα

∂u ∂u

这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.

, g 12=0, g 22=. 因此 在正交参数网中，g 11=E , g 12=0, g 22=G . 因此g 11=Γ111=E u , Γ112=Γ122=-E v , G u ,

Γ211=-Γ212=Γ222=E v , G u , G v . E u E v G u 11

Γ1=, Γ=, Γ=-, 111222

2E 2E 2E

E G G v 222

Γ11=-v , Γ12=u , Γ22=.

2G 2G 2G

由此得

R 1212=g 2αR 112=GR

α

2

112

22⎡∂Γ11∂Γ1212221222⎤=G ⎢-+Γ11Γ12+Γ11Γ22-Γ12Γ11-Γ12Γ21

⎥∂u ⎣∂v ⎦

2

⎡⎛E v ⎫⎛G u ⎫E u G u E v G v ⎤E v 2G u =G ⎢- -+-+-⎪ ⎪22⎥2G 2G 4EG 4G 4EG 4G ⎝⎭⎝⎭v u ⎣⎦

22

⎡GE vv -E v G v GG uu -G u ⎤E u G u E v G v E v 2G u =G ⎢--+-+-

2G 22G 24EG 4G 24EG 4G 2⎥⎣⎦

2

E vv E v 2E v G v G uu E u G u G u

++-++ =- (见课本) 24E 4G 24E 4G

2

E vv E v G +E v EG v G uu E u GG u +EG u 2=-+-+

24EG 24EG

E vv E v (EG ) v G uu G u (EG ) u ⎫=-⎛-+- ⎪

4EG 24EG ⎭⎝2

=-

=

⎛E v ⎫E v ⎛G u ⎫G u +++⎪ ⎪22⎝⎭v ⎝2⎭u 2v ⎫

=+=⎬+v u ⎭v ⎫

⎬

u ⎭

⎪⎫⎬. 返回(3.22) u ⎪⎭

如果参数曲线网是正交的曲率线网，则F =M =0，Codazzi 方程(3.20)可简化为

LE v NE v ⎧21

L =-Γb +Γb =+=HE v , 11221211⎪⎪v 2E 2G ⎨ (3.23)

NG LG u u ⎪N =Γ2b -Γ1b =+=HG u . u 21222211

⎪2G 2E ⎩

课外作业：习题4，5

§ 5.4 曲面的存在性定理

本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件.

设ϕ=g αβdu du 和ψ=b αβdu du 是区域 Ω(⊂ ) 上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和

α

β

αβ2

ψ是对称的：g αβ=g βα，b αβ=b βα；并且二次型ϕ是正定的. 令(g αβ)为矩阵(g αβ)的逆矩阵，

Γγαβ=

δR αβγ=

δ

∂Γαβ

∂u γ

1∂g αγ∂g βγ∂g αβγ

+-, Γαβ=g γδΓδαβ， (4.2-3) 2∂u δ∂Γαγ

δηδη

-β+ΓηαβΓηγ-ΓαγΓηβ， R δαβγ=g δηR αβγ. (4.4-5) ∂u

()

定理4. 1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足

⎧b 11b 22-(b 12)2=-R 1212, ⎪⎪δδ⎪∂b 11-∂b 12=-Γ11b +Γb 1δ, (4.6) 2δ12 ⎨21∂u ∂u ⎪

δ⎪∂b 21-∂b 22=-Γδb +Γ212δ22b 1δ, 21

⎪∂u ⎩∂u

1212

则对任意一点(u 0, u 0)∈Ω，必有(u 0, u 0)的(连通) 邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面

S :r =r (u 1, u 2) ，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个E 3中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.

证明 唯一性由定理2. 1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组

其中r , r 1, r 2, n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是u , u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得

⎧∂r =r α, ⎪∂u α

⎪ ⎪∂r γ =Γr +b n ⎨ααβγαβ, (4.7) β∂u ⎪ ⎪∂n β =-b αr β, α⎪∂u ⎩

1

2

∂2r α∂2r α∂2r ∂2r ∂2n ∂2n

== ，βγ=， . (C)

∂u ∂u ∂u γ∂u β∂u α∂u β∂u β∂u α∂u α∂u β∂u β∂u α

从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积

1212

的，即对任意一点u 0, u 0∈Ω，有u 0, u 0的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数

()

r (u 1, u 2),

它们满足(4.7)及任给的初始条件

12

r (u 0, u 0) =r 0,

(

r 1(u 1, u 2), r 2(u 1, u 2), n (u 1, u 2) ， (4. 8)

)

12 0 12 0 12 r 1(u 0, u 0) =r 1, r 2(u 0, u 0) =r 2, n (u 0, u 0) =n 0. (4.9)

0 0 0 0

现在选取初始标架{r ; r 1, r 2, n }使得

0 0 0 0 0 0 0 0 012

r ⋅n =0, n ⋅n =1, r 2, r r α⋅r β=g α(β0u , 0u ) , . 0 (4.10) (), n >α1

31212

下面我们证明(4.8)中的函数r :U →E :(u , u ) r (u , u ) 定义了一个正则曲面S =

r (U ) ，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.

为此，考虑函数组

f =n ⋅n -1. (4.11) f αβ=r ， ， f =r ⋅n ⋅r -g αααβαβ其中r 1(u , u ), r 2(u , u ), n (u , u ) 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数f αβ, f α, f 满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题

12

12

12

⎧∂f αβδδ

⎪∂u γ=Γαγf δβ+Γβγf δα+b γαf β+b γβf α, ⎪

⎪∂f α=-b γf +Γγf +b f , ⎪βγααβγαβ

⎨∂u β (4.12-13)

⎪∂f β

⎪α=-2b αf β, ⎪∂u

111111

⎪⎩f αβ(u 0, u 0) =0, f α(u 0, u 0) =0, f (u 0, u 0) =0.

∂g ∂r α ∂r βαβ

=⋅r +r ⋅-βαγ

∂u γ∂u γ∂u γ ∂u

δ =(Γαγr δ+b αγn )⋅r β+(Γδr +b n βγδβγ)⋅r α-Γαβγ-Γβαγ

∂f αβ

δ

=Γαγ(f δβ+g δβ)+b αγf β+Γδβγ(f δα+g δα)+b βγf α-Γαβγ-Γβαγ

事实上，

∂f ∂r ∂n γ γ =⋅n +r ⋅=Γr +b n ⋅-n βγb ⋅αr r ()ααβγαββββ

∂u ∂u ∂u

γγγγ

=Γαβf γ+b αβ(f +1)-b β(f γα+g γα)=-b βf γα+Γαβf γ+b αβf .

∂f ∂n β β

=2⋅n =-2b r ⋅n =-2b f β. αβααα

∂u ∂u

根据Cauchy 问题解的唯一性，得到f αβ=0，f α=0，f =0，即有

δ

=Γαγf δβ+Γδβγf δα+b γαβf +

γβα

b . f

r α⋅r β=g αβ， r α⋅n =0， n ⋅n =1. (4.14)

=det (g αβ)>0，这说明S 是正则曲面.

n 又n ⨯(r ，即与r 1⨯r 2共线，从而 ⨯r =0)12

2 2 2, r , n =r ⎡(r )(12⎣1⨯r 2)⋅n ⎤⎦=r 1⨯r 2=det (g αβ)>0. 0 0 0 12

因为在(u 0, u 0)点(r 1, r 2, n )=(r 1, r 2, n )>0，由连续性得到在U 上(r 1, r 2, n )>0. 因此

n =r 1⨯r 2/r 1⨯r 2.

12

S 的自然标架. 由(4.14)第1式和因为r (u , u ) 满足方程组(4.7)第1式，故{r , r 1, r 2, n }是曲面

(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.

由上式得r 1⨯r 2

2

当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4

§ 5.5 Gauss 定理

由(3.18)得到

LN -M 2R 1212

= K =. (5.3)

EG -F 2EG -F 2

所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem) .

定理5. 1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量.

76

由(3.22)得到正交参数网(F =0) 时，

⎧⎪

⎫⎪

+⎨⎬. (5.4)

⎪⎩v u ⎪⎭2

特别，取等温参数网时，E =G :=λ，其中λ=λ(u , v ) >0. 此时

1

K =-2∆ln λ， (5.5)

λ

∂2∂2

+其中∆=是关于变量u , v 的Laplace 算子. ∂u 2∂v 2

引理 直纹面S :r (u , v ) =a (u ) +vl (u ) 是可展曲面的充要条件是K =0.

证明. 设S 是直纹面，参数方程为r (u , v ) =a (u ) +vl (u ) . 则

r u ⨯r v

'''(a +vl ') ⨯l ， r u =a +vl ，r v =l ，n ==

r u ⨯r v '''''，，r uu =a +vl r uv =l r vv =0.

K =)

从而

N

=0，

M =r uv ⋅n =

因此

(a '+vl ') ⨯l )⋅l '=

2(a ', l , l ')

a ', l , l ').

K =

LN -M

=-.

22EG -F 2

(EG -F )

2

根据第三章定理6.1即得引理. □

定理5. 2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率K ≡0. 证明 必要性由上面的引理可得.

充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为κ1, κ2. 由条件可知κ1κ2=0. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.

2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得F =M =0，且

κ1=

L N ≠0, κ2==0. E G

那么2H =κ1≠0. 由Codazzi 方程得

0=N u =HG u ，

即有

G u =0, G =G (v ) . (5.6)

于是

G u 1⎛∂g 12∂g 21∂g 22⎫

+-=-=0， 221⎪2E ∂u ∂u ∂u 2E ⎝⎭

1 2 r vv ⨯r v =(Γ22r 1+Γ22r 2+b 22n )⨯r 2=N n ⨯r 2=0. (5.8)

11Γ122=g Γ122=

根据第一章定理2. 2，(5.7)说明v -曲线r (u 0, v )的切向量r v (u 0, v )具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.

r ，则r =r l =事实上，令l =. 于是由(5. 8) ， v v v v

77

⎡⎤⎤0=r vv ⨯r v =l +v ⨯⎦=G l v ⨯l ，

v ⎣⎦

即有l v ⨯l =0，从而l v =0. 这样

l =l (u ) ，r v =(u ) .

令(v ) =. 则(r (u , v ) -(v ) l (u ) )=0，故有r (u , v ) -(v ) l (u ) =a (u ) ，也就是

v

r (u , v ) =a (u ) +(v ) l (u ) .

作参数变换=u , =(v ) ，则S 是直纹面：r (, ) =a () +l () . □

定理5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地) 可以与平面建立保长对应.

证明 根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率K ≡0，从而是可展曲面. □

注 根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例 设常数a , b , , 满足ab =≠0. 证明曲面

22

S :r =(a u , b v , 1(a u +b v ) )

与

22:r =(, , (+) )

之间在对应=u , =v 下有相同的Gauss 曲率. 但是当(a 2, b 2) ≠(2, 2) 且(a 2, b 2) ≠(2, 2) 时，曲面S 与之间不存在保长对应.

证明 对于曲面S ,

r u =(a ,0, au )，r v =(0, b , bv )，r uu =(0,0, a )，r uv =0，r vv =(0,0, b ).

r u ⨯r v =ab (-u , -v ,1)，n =-u . -v .1).

I =a (1+u ) du +2abuv dudv +b (1+

v ) dv ，II =

2

2

2

2

2

2

因此S 的第一、第二基本形式分别为

22曲面S 的Gauss 曲率为

K =

同理，曲面的第一基本形式为

2

2

2

1

. (5.9)

ab (1+u 2+v 2) 2

2

2

2

=(1+) +2+(1+) ， Gauss 曲率为

1

. (5.10)

(1+2+2) 2

因为ab =，所以在对应=u , =v 下它们有相同的Gauss 曲率.

=

设有保长对应

ϕ:(u , v ) v , =) ϕ

. ( v , ) (5.11) u (v =, (u u , ) v , )u

则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得

[(u , v ) ]2+[(u , v ) ]2=u 2+v 2. (5.12)

因此

78

(0,0)=0, (0,0)=0. (5.13)

将(5.12)两边对u , v 求偏导数，得

u +u =u , v +v =v .

再对u , v 求偏导数，得

uu +(u )+uu +(u )=1，uv +u v +uv +u v =0，

vv +(v )+vv +(v )=1.

在u =v =0处取值，可得

2

2

22

(u )+(u )=1，u v +u v =0，(v )+(v )=1. (5.14)

这说明(u (0,0),u (0,0))和(v (0,0),v (0,0))是相互正交的单位向量. 可设

(u (0,0),u (0,0))=(cos θ,sin θ)，(v (0,0),v (0,0))=±(-sin θ,cos θ).

另一方面，将u =v =0代入S 和的第一基本形式得

2222

I(0,0, du , dv ) =a 2du 2+b 2dv 2=ϕ*()=2[u du +v dv ]+2[u du +v dv ]

2

2

22222222⎡⎤dv 2. ⎤=⎡2(u )+2(u )⎤du 2+2⎡+dudv ++()()u v u v v v ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

因此在u =v =0处成立

2cos 2θ+2sin 2θ=a 2，(2-2)cos θsin θ=0，2sin 2θ+2cos 2θ=b 2.

如果=，则有==a =b ，与已知条件矛盾.

22222

如果≠，则有sin θ=0或cos θ=0. 当sin θ=0时，有, =a , b

222222

()(

2

)；当

cos θ=0时，有(2, 2)=(a 2, b 2)，同样导致矛盾. □

下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.

定理5.4 设ϕ:S →S 是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p ∈S 处，ϕ*:T p S →T ϕ(p ) S 保持所有方向的法曲率不变，则有E 中的刚体运动σ使得

*

3

*

ϕ=σ|S .

证明 由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得F =M =0，且

κ1=

不妨设κ1

L N ≠0, κ2=≠0. E G

设S 的参数方程为r (, ) ，映射ϕ的参数表示为ϕ(u , v ) =((u , v ), (u , v ) ). 对于S 的两

*

*

个主方向r u , r v ，对应的方向是ϕ*(r u )和ϕ*(r v ). 则ϕ*(r u )≠0，ϕ*(r v )≠0，且ϕ*(r u )与ϕ*(r v )线性无关，因为沿ϕ*(r u )和ϕ*(r v )方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向) .

因此在每一点p ∈S 处ϕ*:T p S →T ϕ(p ) S 是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S 上选取适用参数系u , v 使得S 的参数方程为r (u , v ) ，映射ϕ的参数表示为ϕ(u , v ) =(u , v ).

*

**

*

du :dv =1:0，法曲率κn =/达到最小值κ1，因此r u *是S *的主方向. 同理，r v *也是S *的主

*

方向. 又由κ1

于是在S 上也有==0，并且

79

*

下面证明在相同参数的对应下，S 和S 有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向r u *，

*

κ1=

L N =

另外，沿着切方向du :dv =1:1，也有

L +N +=κn =.

E +G +κE +κ2G κ1+κ2=将(5.22)代入可得1，即

E +G +(+)(κ1E +κ2G )=(E +G )(κ1+κ2)，

也就是

κ1(-) =κ2(-) . (5.24)

所以

剩下的只要证明λ=1.

由Codazzi 方程(3.23)得

L v =HE v , 其中H =(κ1+κ2) . 将(5.26-27)代入(5.29)，得

κκ==λ，=1=λ，=2=λ. (5.26-27) E G L κ1E N κ2G

N u =HG u . (5.28)

v =v , u =u . (5.29)

λv L +λL v =H (λv E +λE v ), λu N +λN u =H (λu G +λG u ) .

再与(5.28)比较，得

λv κ1E =H λv E , λu κ2G =H λu G .

于是λu =λv =0，λ是一常数.

最后由(5.4)，(5.26)，有

⎧

⎫⎪1=+⎬=K .

v u ⎭⎪λ

但K ==κ1κ2≠0，只有λ=1.

于是在适用参数系下，S 和S 有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2. 2，有E 中的刚体运动σ使得ϕ=σ|S . □

课外作业：习题1(2,4,6)，2

*

3

80