数列基础知识复习题与答案
必修5数列习题与答案
一、选择题
1、若数列{an }的通项公式是a n =2(n+1) +3,则此数列 ( )
(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{an }中,a 1=3,a100=36,则a 3+a 98等于 ( )
(A)36 (B)38 (C)39 (D)42
3、含2n+1个项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)
2n +1n
(B)
n +1n
(C)
n -1n
(D)
n +12n
4、设等差数列的首项为a, 公差为d ,则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( )
(A)a>0,d >0 (B)a>0,d <0 (C)a<0,d >0 (D)a<0,d <0 5、在等差数列{an }中,公差为d ,已知S 10=4S 5,则(A)
12
1
a 1d
是 ( )
(B)2 (C) (D)4
4
6、设{an }是公差为-2的等差数列,如果a 1+ a4+ a7+……+ a97=50,则a 3+ a6+ a9……+ a99= ( )
(A)182 (B)-80 (C)-82 (D)-84 7、等差数列{an } 中,S 15=90,则a 8= ( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)12 8、等差数列{an }中,前三项依次为(A)50
13
1x +16x
, 5, 1x
,则a 101= ( )
23
(B)13
=
23
(C)24 (D)8
1n +1+
n
9、数列{an }的通项公式a n ,已知它的前n 项和为S n =9,则项数n=
( )
(A)9 (B)10 (C)99 (D)100 10、等差数列{an }中,a 3+ a4+ a5+ a6+ a7=450,求a 2+a8= ( )
(A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{an }是等差数列,且a 2+ a3+ a8+ a11=48,则a 6+ a7= ( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24
12、在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 13、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 14、等差数列{an }的公差为
12
,且S 100=145,则奇数项的和a 1+a3+a5+……+
a 99=( )
(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值
15、等差数列{an }中,a 1+a2+……a 10=15,a 11+a12+……a 20=20,则a 21+a22+……a 30=( )
(A)15 (B)25 (C)35 (D)45 16、等差数列{an }中,a 1=3,a 100=36,则a 3+a98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)45 17、{an }是公差为2的等差数列,a 1+a4+a7+……+a97=50,则a 3+a6+……+ a99= ( ) (A)-50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{an }中,S 17=102,则a 9= ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、
夏季高山上温度从山脚起每升高100米,降低0.7℃,已知山顶的温度是14.1℃,山脚的温度是26℃,则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800
20、若x ≠y ,且两个数列:x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各成等差数列,那( )(A)
34
么
(B)
43
a 1-x y -b 3
23
=
(C) (D)值不
确定
21、一个等差数列共有2n 项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是 ( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)20
22、等差数列{an }中如果a 6=6,a 9=9,那么a 3= ( ) (A)3 (B)
23
(C)
23
169
169
(D)4
23、设{an }是等比数列,且a 1=,S 3=,则它的通项公式为a n = ( )
⎛1⎫(A)6∙ ⎪
⎝2⎭
n -1
1⎫⎛
(B)6∙ -⎪
⎝2⎭
n
1⎫⎛
(C)6∙ -⎪
⎝2⎭
n -1
1⎫⎛
(D)6∙ -⎪
⎝2⎭
n -1
或
32
24、已知a 、b 、c 、d 是公比为2的等比数列,则(A)1 (B)
12
2a +b 2c +d 14
= ( )
18
(C) (D)
25、已知等比数列{an } 的公比为q ,若a n +1=m(n 为奇数),则a 3n +1= ( )
2
2
(A)mq
n -1
(B) mq (C) mq (D)
n
18
26、已知等比数列前10项的和为10,前20项的和为30,那么前30项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126
27、若{an }是等比数列,已知a 4 a7=-512,a 2+a9=254,且公比为整数,则数列的
a 12是 ( ) (A)-2048 (B)1024 (C)512 (D)-512 28、数列{an }、{bn }都是等差数列,它们的前n 项的和为数列的第5项的比为 ( ) (A)
4929
S n T n
=
3n +12n -1
,则这两个
(B)
c a
3419
a b
(C)
∙lg
b c
2817
(D)以上结论都不对
29、已知lg 2
=4lg
,则a ,b ,c ( )
(A)成等差数列 (B)成等比数列
(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列 30、若a+b+c,b+c-a ,c+a-b ,a+b-c 成等比数列,且公比为q ,则q 3+q2+q的值为 ( )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2
31、若一等差数列前四项的和为124,后四项的和为156,又各项的和为350,则此数列共有 ( )
(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项 32、在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则二数之和为 ( ) (A)13
12
(B)11
11+2
14
或0
(C)10
1
1+2+⋅⋅⋅+n
12
(D)9
12
33、数列1,(A)
2n +1n
,
1
1+2+3
,……,的前n 项和为 ( ) (D)
1a n
2n n +1
(B)
2n 2n +1
(C)
n +2n +11
34、设数列{an }各项均为正值,且前n 项和S n =(a n +
2
),则此数列的通项
为
a n
( ) (A) an =(C) an =
n +1-n +2-
应
n
(B) an = (D) an =2
n -n -1
n +1
n -1
35、数列{an }为等比数列,若a 1+ a8=387,a 4 a5=1152,则此数列的通项a n 的表达式为 ( )
(A) an =3×2n -1 (B) an =384×((C) an =3×2n -1或a n =384×(
12
12
)n -1
)n -1 (D) an =3×(
12
)n -1
36、已知等差数{an }中,a 3+ a4+ a5+ a6+ a7=450,则a 1+ a9= ( )
(A)45 (B)75 (C)180 (D)300
37、已知等比数列{an }中,a n >0,公比q ≠1,则 ( ) (A)a 32(C)a 32
+a 7〉a 4+a 6
2
2
2
2
2
(B)a 32
2
+a 7〈a 4+a 6
2
2
222
2
+a 7=a 4+a 6
(D)a 32
98
13
+a 7与a 4+a 6的大小不确定
38、在等比数列中,首项,末项,公比
23
,求项数 ( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
39、等比数列{an }中,公比为2,前四项和等于1,则前8项和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21
40、某厂产量第二年增长率为p ,第三年增长率为q ,第四年增长率为r ,设这三年增长率为x ,则有 ( ) (A)x (C)x
=≤
p +q +r
3p +q +r
3
(B)x (D)x
p +q +r
3p +q +r
3
二、填空题
1、已知等差数列公差d >0,a 3a 7=-12,a 4+a6=-4, 则S 20=_______
2、数列{an }中,若a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数又成等差数列,则a 1,a 3,a 5成_______数列
3、已知{an }为等差数列,a 1=1,S10=100,an =_______.令a n =log2b n , 则的前五项之和 S 5′=_______ 4、已知数列
1612, 1, 120
, ,
1(n +1)(n +2)
则其前n 项和S n =________.
5、数列前n 项和为S n =n2+3n,则其通项a n 等于____________.
6、等差数列{an }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为____________.
7、已知等差数列{an }的公差d ≠0, 且a 1,a 3,a 9成等比数列,
a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10
的值是
________.
8、等差数列{an }中, S6=28, S10=36(Sn 为前n 项和), 则S 15等于________. 9、等比数列{an }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a6+a9+…a 99等于________. 10、等差数列{an }中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn }, 且a n =log2b n , 则b 1+b2+b3+b4+b5等于____________. 11、已知数列1,
n -1n -2n -3
, , , n n n
, 前n 项的和为____________.
12、已知{an }是等差数列, 且有a 2+a3+a10+a11=48, 则a 6+a7=____________.
13、等比数列{an }中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a 7+a8=6480, 则a 1必为________. 14、三个数
1a
、1、成等差数列,而三个数a 2、1、c 2成等比数列, 则
c
1a +c a
2
+c
2
等于____________.
15
、已知lg
12
, lg成等比数列, 且x >1,y >1, 则x 、y 的最小值为________.
a n
2
16、在数列{an }中,
a n +1=
2a n -5
, 已知{an }既是等差数列, 又是等比数列, 则{an }
的前20项的和为________. 17、若数列{an },
a 1=
23
, 且a n +1=a n +
1(n +2)(n +1)
(n∈N), 则通项a n =________. (n≥1), 则这个数列的通项公
18、已知数列{an }中, 式a n =________.
a 4=3-22, a n +1=(2-1) a n
19、正数a 、b 、c 成等比数列, x为a 、b 的等差中项, y为b 、c 的等差中项, 则的值为________.
20、等比数列{an }中, 已知a 1·a 2·a 3=1,a2+a3+a4=
74
a x
+
c y
, 则a 1为________.
三、解答题
1、在等差数列{an }中,a 1=-250, 公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n能被7整除.
2、设等差数列{an }的前n 项和为S n . 已知a 3=12, S 12>0,S 13<0.(Ⅰ) 求公差d 的取值范围;
(Ⅱ) 指出S 1,S 2, …,S 12, 中哪一个值最大, 并说明理由.
3、数列{a n }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负的,回答下列各问:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为S n , 求S n 的最大值;(3)当S n 是正数时, 求n 的最大值.
4、设数列{a n }的前n 项和S n . 已知首项a 1=3,且S n +1+S n =2a n +1, 试求此数列的通项公式a n 及前n 项和S n .
5、已知数列{a n }的前n 项和S n
6、已知数列{
a n
=13
n(n+1)(n+2), 试求数列{
1a n
}的前n 项和.
}是等差数列, 其中每一项及公差d 均不为零, 设
a i x
2
+2a i +1x +a i +2=0(i=1,2,3,…) 是关于
x 的一组方程. 回答:(1)求所有这些方程的
公共根;
(2)设这些方程的另一个根为m i , 求证差数列.
7、如果数列{a n }中, 相邻两项a n 和a n +1是二次方程x n 2两个根, 当a 1=2时, 试求c 100的值.
8、有两个无穷的等比数列{a n }和{a n },它们的公比的绝对值都小于1, 它们的各项和分别是1和2, 并且对于一切自然数n, 都有a n +1, 试求这两个数列的首项和公比.
9、有两个各项都是正数的数列{a n },{b n }.如果a 1=1,b1=2,a2=3.且a n , b n , a n +1成等差数列,
b n , a n +1, b n +1成等比数列, 试求这两个数列的通项公式.
+3nx n +c n
1m 1+1
,
1
m 2+1m 3+1
,
1
, …,
1m n +1
, …也成等
=0(n=1,2,3…) 的
10、若等差数列{log2x n }的第m 项等于n ,第n 项等于m(其中m ≠n) ,求数列{xn }的前m +n 项的和。
数列复习题 〈答卷〉
一、选择题 1、 A 2、 C 3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 9、 C 10、 C
11、 D 12、 B 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D 19、 D 20、 B
21、 B 22、 A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 C 29、 B 30、 A 31、 A32、 B 33、 D34、 B 35、 C36、 C 37、 A 38、 B 39、 B 40、 C 二、填空题 1、 1802、 等比3、 2n -1, 32
10、 6821118、(
2-1
623
4、
n 2(n +2)
5、 2n+2.6、 11. 7、
1316
8、249、
n +12
12、2413、-4或2. 14、 1或-
23
13
1015、
2
16、100. 1776
-
1n +1
)
n -2
19、2. 20、 2或-
三、解答题
1、 解: a 1=-250, d=2, an =-250+2(n-1)=2n-252
同时满足70≤n ≤200, n能被7整除的a n 构成一个新的等差数列{bn }. b 1=a70=-112, b2=a77=-98, …, bn ′=a196=140
其公差d ′=-98-(-112)=14. 由140=-112+(n′-1)14, 解得n ′=19 ∴{bn }的前19项之和S 2、解: (Ⅰ) 依题意, 有
S 13=13a 1+
13⨯(13-1)
2
=19⨯(-112) +
19⨯182
⨯14=266
.
S 12=12a 1+
12⨯(12-1)
2
∙d >0
⎧2a 1+11d >0
∙d
⎩a 1+6d
(1) (2)
由a 3=12,得 a 1=12-2d (3) 将(3)式分别代入(1),(2)式, 得
⎧24+7d >0⎨
⎩3+d
,∴-
247
(Ⅱ) 由d <0可知 a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13.
因此, 若在1≤n ≤12中存在自然数n, 使得a n >0,a n+1<0, 则S n 就是S 1,S 2, …,S 12中的最大值.
由于 S 12=6(a6+a7) >0, S 13=13a7<0,即 a 6+a7>0, a7<0.
由此得 a 6>-a 7>0. 因为a 6>0, a7<0, 故在S 1,S 2, …,S 12中S 6的值最大.
3、 (1)由a 6=23+5d >0和a 7=23+6d <0, 得公差d=-4.(2)由a 6>0,a 7<0, ∴S 6最大, S 6=8.(3)由a 1=23,d=-4, 则S n =n(50-4n), 设S n >0,得n <12.5, 整数n 的最
21
大值为12.
4、∵a 1=3, ∴S 1=a1=3.在S n+1+S n =2an+1中, 设n=1,有S 2+S 1=2a2. 而S 2=a1+a 2. 即a 1+a 2+a 1=2a2. ∴a 2=6. 由S n+1+S n =2an+1, ……(1) S n+2+S n+1=2an+2, ……(2) (2)-(1),得S n+2-S n+1=2an+2-2a n+1,∴a n+1+a n+2=2an+2-2a n+1 即 a n+2=3an+1
此数列从第2项开始成等比数列, 公比q=3.an 的通项公式a n =⎨
⎧
3, 当n =1时,
n -1
⎩2⨯3
, 当n ≥2时.
此数列的前n 项和为S n =3+2×3+2×3+…+2×35、a n =S n -S n -1=
13
13
2n – 1
=3+
2⨯3(3
n -1
-1)
3-1
=3n .
n(n+1)(n+2) -
13
(n-1)n(n+1)=n(n+1). 当n=1时,
a 1=2,S1=×1×(1+1)×(2+1)=2,∴a 1= S 1. 则a n =n(n+1) 是此数列的通项公式。∴
1a 1
+1a 2
+
1a n
=
11⨯2
+
12⨯3
+
13⨯4
+ +
1n (n +1)
=(1-
12) +(
12-13
) + +(
1n -
1n +1
)
=1-
1n +1
=
n n +1
.
+2a i +1p +a i +2=0①a i +1p
2
6、 (1)设公共根为p, 则a i p 2
+2a i +2p +a i +3=0
②则②-
① , 得dp 2+2dp+d=0,d≠0为公差, ∴(p+1) 2=0.∴p=-1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为-1).(2)另一个根为m i , 则m i +(-1)=
2d a i
-2a i +1
a i
=-2-
2d a i
. ∴
m i
+1=- 即
1m i +1
=-
a i 2d
, 易于证明{
1m i +1
}是以-
12
为公差的等差数列.
7、解由根与系数关系,
a n
a n
+a n +1=-3n, 则(a n +1+a n +2) -(a n +a n +1)=-3, 即a n +2-
=-3. ∴a 1,a 3,a 5…和a 2,a 4,a 6…都是公差为-3的等差数列, 由a 1=2,a1+a2=-3, ∴
a 2k -1=-3k +5, ∴a 101=-148, ∴c 100= a 100∙
a 2=-5. 则a 2k =-3k -2, ∴a 100=-152, a 101=22496
8、设首项分别为a 和b, 公比q 和r. 则有q 〈1,
b 1-r
r 〈1. 依据题设条件, 有
a 1-q
=1,①
=2,②
(aq
n -1
)
2
=br
n -1
, ③ 由上面的①, ②, ③ 可得(1-q) 2q 2n -2=2(1-r) r n -1.
13
19
令n=1,有(1-q) 2=2(1-r), ④设n=2.则有(1-q) 2q 2=2(1-r)r, ⑤ 由④和⑤, 可得q 2=r,代入④ 得(1-q) 2=2(1-q 2). 由于q ≠1, ∴有q=-q=,b=2(1-r)=
34
169
,r =. 因此可得a=1-
.
4⎧
a =⎪3∴⎨
1
⎪q =-
3⎩16⎧
b =⎪9和⎨
1⎪r =
9⎩
经检验, 满足a n 2
=b n
的要求.
1⎧
⎪b n =(a n +a n +1)
9、依据题设条件, 有⎨2
⎪a n +1=b n b n +1⎩
由此可得
b n =
12
(b n -1b n +b n b n +1)
=
12
b n (b n -1+b n +1)
. ∵b n >0, 则
(n +1)
2
2
2
b n =b n -1+b n +1
。∴{
(n +1)
2
b n
}是等差数列. ∴b n =
2
.
又
a n =b n -1b n =
2
n
22
2
∙
⎡n (n +1) ⎤=⎢⎥2⎣⎦
, ∴a n =
12
n (n +1)
10、2m+n-1