直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结
1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率
①两点的斜率公式:P(x1,y1),Q(x2,y2),则kPQ②斜率的范围:kR
(2)直线的倾斜角范围:0,180
y2y1x2x1
(x2x1)
(3)斜率与倾斜角的关系:ktan(90)
注:(1)每条直线都有倾斜角,但不是每条直线都有斜率;
(2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程
(1)点斜式:yy0k(xx0);适用于斜率存在的直线 (2)斜截式:ykxb;适用于斜率存在的直线
注:b为直线在y轴上的截距,截距不是距离,截距可正,可负,可为零
xx1x2x1xayb
(3)两点式:
yy1y2y1
(x1x2,y1y2);适用于斜率存在且不为零的直线
(4)截距式:1;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线
(5)一般式:AxByC0(A,B不同时为0) (6)特殊直线方程
①斜率不存在的直线(与y轴垂直):xx0;特别地,y轴:x0 ②斜率为0的直线(与x轴垂直):yy0;特别地,x轴:y0 ③在两轴上截距相等的直线:(Ⅰ)yxb;(Ⅱ)ykx 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ)yxb;(Ⅱ)ykx
在两轴上截距的绝对值相等的直线:(Ⅰ)yxb;(Ⅱ)yxb;(Ⅲ)ykx 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 (1)l1:yk1xb1;l2:yk2xb2
①平行:k1k2且b1b2(注意验证b1b2) ②重合:k1k2且b1b2 ③相交:k1k2
特别地,垂直:k1k21
(2)l1:A1xB1yC10;l2:A2xB2yC20 ①平行:A1B2A2B1且A1C2A2C1(验证) ②重合:A1B2A2B1且A1C2A2C1 ③相交:A1B2A2B1
特别地,垂直:A1A2B1B20
(3)与直线AxByC0平行的直线可设为:AxBym0
与直线AxByC0垂直的直线可设为:BxAyn0 4、其他公式
(1)平面上两点间的距离公式:A(x1,y1),B(x2,y
2),则AB
x1x2
2
,y1y2
2
)
(2)线段中点坐标公式:A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B中点的坐标为(
(3)三角形重心坐标公式:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则三角形ABC的重心坐标公式为:
(
x1x2x3
3
,
y1y2y3
3
)
(4)点P(x0,y0)到直线l:AxByC
0的距离公式:d
(5)两平行线l1:AxByC10;l2:AxByC20(C1
C2)间的距离:d直线中x,y的系数统一)
(6)点A关于点P的对称点B的求法:点P为A,B中点
(用此公式前要将两
(7)点A关于直线l的对称点B的求法:利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上,列出方程组,求出点B的坐标。 (二)、圆 1、圆的方程
(1)圆的标准方程:(xa)(yb)r,其中(a,b)为圆心,r为半径
0((2)圆的一般方程:xyDxEyF222
222
D
2
E4F0,)其中圆心为(
D2
,
E2
),半径
为
只有当x,y的系数化为1时才能用上述公式)
22
注意:已知圆上两点求圆方程时,注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
222
(1)直线l:AxByC0,圆C:(xa)(yb)r,记圆心C(a,b)到直线l
的距离d
①直线与圆相交,则0dr或方程组的0
②直线与圆相切,则dr或方程组的0 ③直线与圆相离,则dr或方程组的0
(2)直线与圆相交时,半径r,圆心到弦的距离d,弦长l
,满足:l(3)直线与圆相切时, ①切线的求法:
(Ⅰ)已知切点(圆上的点)求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直;
(Ⅱ)已知切线斜率求切线,有两条互相平行的切线,设切线方程为ykxb,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值;
(Ⅲ)已知过圆外的点P(x0,y0)求圆C:(xa)2(yb)2r2的切线,有两条切线,若切线的斜率存在,设切线方程为:yy0k(xx0),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值;若切线的斜率不存在,则切线方程为xx0,验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点P(x0,y0)向圆C:(xa)2(yb)2r2引切线,记P,C两点的距离为d
,则切线长l
(4)直线与圆相离时,圆心到直线距离记为d,则圆上点到直线的最近距离为dr,最远距离为dr 3、两圆的位置关系
222222
圆C1:(xa1)(yb1)r1,圆C2:(xa2)(yb2)
r2,两圆圆心距离d
(1)两圆相离,则dr1r2 (2)两圆相外切,则dr1r2 (3)两圆相交,则r1r2dr1r2
2222
注:圆C1:xyD1xE1yF10,圆C2:xyD2xE2yF20相交,则两圆相交弦方程为:
(D1D2)x(E1E2)y(FF) 012
(4)两圆相内切,则dr1r2 (5)两圆内含,则0dr1r2
特别地,当d0时,两圆为同心圆 (三)、空间直角坐标系
1、右手系(与y轴,z轴平行或在y轴,z轴上的线段长度不变,与x轴平行或在x轴上的线段长度变为原来的一半。)
2、空间两点间的距离公式:A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z
2),则AB
x1x2
2
,y1y2
2
,z1z2
2
)
3、空间两点的中点坐标公式:A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB中点坐标为(