剂量效应曲线的累积正态分布拟合
剂量效应曲线的累积正态分布拟合
陈智勇 刘波 邓杰
（成都生物制品研究所 四川成都 610023）
摘要 目的：研究S型剂量效应曲线的累积正态分布函数拟合。方法：构建累积正态分布函数的适当表达形式，对作者实验室所获得的实例数据进行拟合，同时与常用的四参数方程拟合进行比较。结果：两种拟合方法具有高度的一致性。结论：正态分布模型是一种传统的数学模型，在此处的应用为实验数据拟合提供了另一个可能的选择，并为药效学S型剂量效应模型的研究分析提供了另一种思路。特别地，在常用于药效学S型剂量效应曲线拟合的数学模型中，其Hill系数被认为没有任何生理学含义，而累积正态分布函数中的相应参数却有明确的生理学含义，从数学上体现了药理与药效的内在联系。
关键词：剂量效应曲线，累积正态分布，四参数方程，一致性检验。
Fitting Dose-Effect Curve with the Accumulation Normal Distribution
Abstract OBJECTIVE：Study the fitting about S model dose-effect curve with the accumulation normal distribution function. METHODS: Construct proper accumulation normal distribution function form and fit with our experimental data, then compare with the common 4-parameter equation fitting. RESULTS: The two fitting methods show high uniformity. CONCLUSION: Use accumulation normal distribution, a kind of traditional mathematical model, we provide a possibility for fitting experimental data, and also provide another way for pharmacodynamics S model dose-effect analysis. Especially, the Hill coefficient is considered not any physiological meanings in the mathematics model usually used in fitting pharmacodynamics S dose-effect curve, but the analogous parameter in the accumulation normal distribution function has definite physiological meanings, and indicate the relationship between pharmacology and pharmacodynamics.
Keywords dose-effect curve, accumulation normal distribution function, 4-parameter equation, uniformity test
剂量效应曲线在药效学研究中占有重要的地位。药物的作用强度一般随剂量增加而增大，但符合简单直线关系的较少，一般均为各种曲线关系。如以剂量的对数对药效作图，多呈S型曲线。在拟合过程中，因计算量方面的考虑，历史上总是想办法转化为直线进行处理，如将S型曲线的15%～85%近似当作直线处理，或用各种数学方法将实验数据的曲线关系转化为直线关系，再利用对最小二乘法解偏微方程所获的直线拟合公式，得出拟合方程参数。随着计算机的普及和性能提高，计算量已不再作为一个主要的考虑因素，现在可根据最小二乘法的原理，用迭代法直接对残差平方和求极小值，避免复杂的数学变换所带来的误差。用于拟合S型曲线的函数方程有多种，但未见以累积正态分布函数进行拟合，现以细胞因子药效测定数据对此进行探讨。
1 实验部份：
1.1
材料和方法： - 1 -
1.1.1
1.1.2
1.1.3 材料：G-CSF、IL-6活性测定实验数据，由本室提供。 软件：MS EXCEL XP。 方法：
、2、3、4MTT法：细胞因子活性测定法参考文献1。
最小二乘法：以实验测定结果中的样品浓度（取对数）或稀释度单位为x，实测光密度值为y，组成一个实验点。将每点的x值代入相应的数学拟合模型，在假定的方程参数初值下得到y计算值，与各点的实测y值相减得残差。求得所有点的残差平方和，变动方程参数值使残差平方和最小。用MS EXCEL软件，以规划求解加载宏自动调整参数值，获得最终的拟合参数结果5。
一致性检验：拟合S型剂量效应曲线的目的在于获得相应拟合参数，用于评价被测药物的药效学特征。因此，比较本文中两种数学模型的拟合效果，可以用比较其获得的具有相同生理意义的拟合参数，评价其拟合效果的一致性。
1.2 建立数学模型：
1.2.1 在药效实验中，药物剂量与药效的关系是一个重要的研究内容，如图1所示。其中，以药物剂量的对数对药效作图常呈S型，称为S型剂量效应曲线。
图1：S型剂量效应曲线
Fig 1: S Model Dose-Effect Curve
1.2.2 在细胞因子类生物药品如G-CSF、IFN、IL-6、IL-11、GM-CSF、EPO等的生物学活性测定中，常采用MTT法。如以细胞因子浓度的对数（或者倍比稀释度）对光密度读数作图，均呈典型的S型曲线。内含微处理器或用外接微机处理数据的现代酶标仪，可以直接给出按四参数方程（式1）拟合得到的拟合参数，也可以按最小二乘法对实验数据进行拟合以获得拟合参数，拟合曲线如图2。四参数方程是一个广泛采用的S型曲线拟合模型，具有数据处理功能的酶标仪多数具备，本文中以其作为对照模型。
- 2 -
y=A−D+DLL(式1)B1+()C
图2：四参数方程拟合曲线
Fig 2: 4-Parameter Equation Curve
1.2.3 正态分布曲线及累积正态分布曲线如图3，其中（式2）为大家所熟知的正态分布方程，对（式2）进行积分得（式3），为累积正态分布方程。注意图2中的四参数方程曲线非常类似于如图3中的累积正态分布曲线。
1F(X)=σ2∫X
−∞e−(X−u)2/(2σ2)dXLL(式3)
f(X)=221e−(X−u)/(2σ)
σ2π−∞
图3：正态分布曲线与累积正态分布曲线
Fig 3: Normal Distribution Curve & Accumulation Normal Distribution Curve
1.2.4 在细胞因子类生物药品活性的实际测定中，常以倍比稀释度（浓度呈对数单位递减）做横座标，以光密度读数做纵座标，绘制S型剂量效应曲线如图4，函数关系上与图2等价。在式（1）中，参数A、D分别代表最大（当浓度极大时）最小（当浓度极小时）吸收（药效指标），也称为曲线的上下平台；C为中点浓度，当样品浓度等于C时的光密度等于
（EC50、TC50、TD50、LC50、(A+D)/2，正处于曲线的拐点处，此点为中点稀释度，浓度为ED50
LD50）；B表示曲线的陡峭程度，称斜率因子，一般认为无明确的生理学含义。
- 3 -
1.2.5 在（式3）表示的累积正态分布函数中，累积概率F(X)的值域为0～100%，除正态分布的两个特征参数均值u、方差σ外，引入两个参数A、D，将值域转化为最大、最小吸收（药效），构建用于拟合S型剂量效应曲线的累积正态分布函数：
F(X)=1
σ2∫X
−∞e−(X−u)2/(2σ2)dX×(A+D)+DLL(式4)
在笔者采用的MS-EXCEL软件中，函数NORMDIST(x,u,σ,TRUE)可获得相应的累积正态分布值，因此函数（式4）可表达为y=NORMDIST(LN(x),u,σ,TRUE)*(A-D)+D。并且以LN(x)为横座标，以y为纵座标，可得适用于拟合处理S型剂量效应曲线实验数据的累积正态分布函数模型。其中x为药品浓度，对x进行对数化处理可用自然对数LN(x)或以其它底数的对数；y为药效指标。
1.2.6 在细胞因子类生物药品的活性测定中，常以倍比稀释度做横座标，则细胞因子浓度随稀释度增加而降低，代表细胞因子药效作用的光密度读数也随稀释度增加而降低，此时用于拟合的函数（式4）应进行相应的变换：
⎛1F(X)=⎜1−⎜⎝σ2∫X
−∞e−(X−u)2/(2σ2)⎞dX⎟⎟×(A+D)+DLL(式5) ⎠
同样，函数（式5）可表达为y= (1-NORMDIST(x,u,σ,TRUE))*(A-D)+D ，其中x为相应实验点的药品稀释倍数，获得如图4拟合细胞因子活性测定的累积正态分布曲线。
图4：四参数方程曲线与累积正态分布曲线比较
Fig 4: 4-Parameter Equation Curve vs. Accumulation Normal Distribution Curve
- 4 -
在图4中，四参数方程曲线（式1）参数取值为A = 0.8，D = 0.1，C = 0.01，B = -1.4，此时的中点稀释倍数为6.6439(稀释倍数为2)；以累积正态分布曲线（式5）对之拟合得参
6.6420，σ = 1.6846时，两曲线基本重合（12等距点数值为A = 0.7938，D = 0.1066，u =
残差平方和为9.4E-05），并且具有相同生理学含义的参数值也基本相等。
1.3 拟合处理：以作者实验室中的部分细胞因子类生物药品的活性测定实验数据，分别用四参数方程（式1）与累积正态分布（式5）两种拟合函数模型，采用MS-EXCEL软件按最小二乘法原理以前述方法进行拟合，获得各样品测试的拟合参数结果。
1.4 拟合效果比较：残差平方和的最小值是评价拟合好坏的直接指标。从实际应用考虑，如上述两种拟合方法无差别，则获得的具有相同生理含义的相应拟合参数应相等，将多个样品测试结果的相应拟合参数成对作图应为一直线，以直线方程拟合，则有截距为0、斜率为
1、相关系数为1的理论期望。因此，以四参数方程拟合的相应参数值为横座标，以累积正态分布拟合的相应参数值为纵座标，对相应的拟合参数结果作拟合效果一致性分析。
1.5 结果：
1.5.1 对139例G-CSF活性测定实验数据进行分析，两拟合方法获得的具有相同生理含义的相应拟合参数及残差平方和的最小值极为接近，因篇幅原因不能给出全部的数据。考虑到中点稀释度是评价药效的指标，是最主要的参数，139例数据中的第77例样品该指标相对误差最大，按倍比稀释的12孔两平行列原始测定数据为：0.404、0.4、0.354、0.261、0.167、0.113、0.07、0.053、0.034、0.014、0.007、0和0.413、0.403、0.363、0.26、0.173、0.111、0.062、0.043、0.029、0.018、0.009、0；按（式1）拟合所得的最大吸收A 0.446954、最小吸收D 0.011734、斜率因子B -1.15479、中点浓度C 0.045794换算为中点稀释度
4.448687、残差平方和0.00112，按（式5）拟合所得的最大吸收A 0.437945、最小吸收D 0.015487、方差S 2.003633、均值U或中点稀释度4.495227、残差平方和0.001474。表1给出全部139例所得的各项可比较指标，按上述一致性检验方法的分析结果，均与理论期望非常接近。
表1：139例G-CSF活性测定拟合结果数据分析
Table 1: Analysis of fitting data for 139 cases G-CSF activity test
残差平方和
Sum of Squared
Residuals
截距Intercept
斜率Slope
相关系数
Correation
Coefficient
实测值范围
Data Range
- 5 -中点稀释度 ED50 最大吸收 Emax 最小吸收 Emin -5.44365E-05 1.274713417 0.987232085 0.100798 0.986067 0.999968 -0.0028 0.992181 0.999957 0.006132 0.954342 0.98994 0.0002～0.004 3～8 0.3～0.8 0～0.3
1.5.2 对47例IL-6活性测定实验数据进行分析，结果见表2，两拟合方法同样有很好的一致性。
表2：47例IL-6活性测定拟合结果数据分析
Table 1: Analysis of fitting data for 47 cases IL-6 activity test
残差平方和
Sum of Squared
Residuals
截距Intercept
斜率Slope
相关系数
Correation
Coefficient
实测值范围
Data Range
注：本文为方法讨论，所有计算结果未按实验精度修约。 0.00005～0.1 4～8 0.2～0.7 0～0.3 -2.49174E-05 0.993711152 0.999996983 0.080014 0.987027 0.999881 -0.00217 1.000303 0.999983 0.001619 0.997349 0.999984 中点稀释度 ED50 最大吸收 Emax 最小吸收 Emin
2 讨论：
2.1 用于描述药物浓度与药效学关系的数学模型，一般有线性、对数线性、双曲线、S曲线等6，最常见的S型剂量效应曲线模型，其数学表达式为（式6），变换后可得（式7），可以看出，当E=y,c=x,E0=D,Emax=A−D,EC50=C,r=−B时，（式7）则变为（式1），即两个不同表达的数学模型是完全等价的。换言之，用于细胞因子活性测定实验数据拟合，常见于现代酶标仪内置处理程序的四参数方程，等同用于药效学实验数据拟合的S型剂量效应曲线方程。特别是当Emax=1,E0=0（以药效百分数表达）时，则方程更为简洁。
Emax⋅cr
E=+E0LL(式6) rrEC50+c
E=Emax
⎛EC50⎞1+⎜⎟c⎝⎠r+E0LL(式7)
2.2 在药理学教科书中，还简单提及了质反应量效曲线如图5与统计分布的关系，但无进一步的介绍。本文中的数据及分析显示（式3）与（式1）的曲线极为相似，从而采用累积正态分布拟合实验数据；作者认为量反应与质反应的S型量效曲线均可能采用此法拟合，虽没有从数学上证明（式3）可完全替代（式1），也因数据来源的局限没有讨论适用的范围，但为拟合方程的选择提出了另一种可能，是否可用（式3）拟合其它情况下的S型量效曲线，应视具体的实验数据确定。
- 6 -
图5：质反应的频数分布曲线和累加量效曲线
Fig 5: Frequence Distribution Curve & Accumulation Dose-Effect Curve of Quantal Response
2.3 （式6）中的r称为Hill系数，以及等价函数（式1）中的参数B，被认为没有任何生理学含义，只表示曲线的陡峭程度。如采用本文介绍的累积正态分布函数（式3），对S型剂量效应曲线进行拟合，除相应参数与（式1）、（式6）中相应参数同样具有生理学含义外，特别是参数σ，代表正态分布方差，也就是测试药物在实验个体上药效分布的数学描述，具有明确的生理学含义。对照两种拟合方法，有理由相信，上述表示曲线陡峭程度的参数其生理学含义，同样是代表测试药物在实验个体上的药效分布，不同处在于它们并不能直接代表分布方差。
2.4 药效学实验数据采用（式3）拟合，则比用（式6）或等价的（式1）拟合可提供更多的有价值信息。如在细胞因子类生物药品的活性测定中，有可能通过有目的调整细胞培养条件，调整检测细胞对细胞因子敏感性的分布方差，从而调整拟合曲线的陡峭程度，以获得更好的实验结果。在药效学实验中，如果不同的性别、年龄分组，其拟合曲线的陡峭程度表现出不同，则暗示不同分组对药物敏感性的分布方差不同。而且可借鉴统计学中正态分布及方差的知识，帮助设计最佳推荐用药剂量。
2.5 更进一步，传统的拟合模型，如称为Hill经验公式或Wagner公式的（式6），是一种经验公式，由大量的实验观察得来，与药物的药理无直接关系。从药理学的观点来讲，药物在生物体内所产生的药效会受到多种因素的影响，这些影响是相互的并且大多数是微弱而难于精确分析的，适用于用统计学的方法加以描述分析；而统计学认为当多种影响因素中没有起主要作用的因素时，会导致药效呈正态分布，因此，可认为按累积正态分布函数（式3）拟合是符合理论推导的拟合模型。同时也提示我们，如果药效学资料用（式1）、（式6）或（式3）拟合不好，可能是有较重要的影响因素致使分布偏离正态。从拟合的角度而言，可以尝试用其它分布函数的累积形式；而从药理的角度，对此有较重要影响因素的分析，也会帮助加深对测试药物药理作用的理解。
因此，本文提出的以累积正态分布函数拟合S型剂量效应曲线，不仅挖掘了Hill系数的生理学含义，得到了实验个体的药物敏感性分布方差，而且从数学上体现了药理与药效的内在联系。
附注： 在 http://www.xingcw.com/biotech/data/s31/paper31s2.html 有部分原始实验数据及处理过程展示，欢迎访问讨论。
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