求复合三角函数最值时的几何解法(原稿)
求复合三角函数最值时的几何解法
浙江省温州市乐清国际外国语学校 冯米鸿 325600
关键词：三角函数 最值 几何 图像
数学家拉格朗日说过“代数与几何两门学科一旦联袂而行，它们就会从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步地走向各自的完美. ”事实上，有些繁难的代数题，若我们根据题目的结构，联想、挖掘出它的几何背景，构造几何模型，把代数问题转换成几何问题讨论，往往能峰回路转，探索出十分巧妙的解法.
求函数的最大值与最小值是高中数学代数部分的重要内容，也是高考中的常见题型，尤其是含有三角函数的复合函数的最值问题。这类问题通常具有一定灵活性和变通性，考查的知识面广，信息综合性强，解法丰富多变。面对这类问题我们除了可以通过三角函数的恒等变形，使变量归一、函数归一等代数方法解题之外，还可以发挥想象力和创新力，尝试从几何的角度来分析问题，建构几何模型解决问题。
现举例说明： 例1 求函数y =一、常见方法
解法1：利用A sin(ωx +ϕ) 的有界性求最值.
2y +y cos x =1+sin x ⇒sin x -y cos x =1-2y ⇒sin(x +θ) =
1+sin x 2+cos x
的最大值及最小值.
⎛
其中sin θ=- ⎝
⎫因为sin(x +θ) ≤
1, ≤1,
整理得3y 2-4y ≤0, 即0≤y ≤故y m ax =
43
, y m in =0.
43
.
解法2：利用基本不等式求最值. 令tan
x 2
=t , 则由万能公式知sin x =
2t 1+t
2
, cos x =
1-t 1+t
22
,
代入原方程有：
1
2t
y =
=2=
2+cos x 1-t
1+t
2
1+sin x
2
t +2t +13+t
2
2
=1+
2t -23+t
2
=1+
2(t -1) (t -1) +2(t -1) +4
2
.
当t >1时，y =1+
2(t -1) t -1+
4t -1
+2
≤
43
;
当t =1时，y =1； 当t
2(1-t ) 1-t +
41-t
+2
≥0.
故y m ax =
43
, y m in =0.
二、几何模型法
解法3：利用目标函数的几何意义求最值. 令Y =sin x , X =cos x , 则原式y =
Y +1X +2
,
此时可以看成点P (x , y ) 和Q (-2, -1) 两点连线的斜率，即求PQ 连线斜率的最大值及最小值.
P (x , y )
满足X 2+Y 2=1, 则转换成在圆X 2+Y 2=1上找一点，使其和
Q (-2, -1) 连线的斜率为最大和最小，此时过
切线的斜率为最大和最Q (-2, -1) 向圆引切线，小.
设过Q 的切线方程为y +1=k (x +2),
由d =
=1, 43
解得k 1=0, k 2=故y m ax =
43
,
, y m in =0.
点评：这是一道求含有三角函数的复合函数的最值的问题.
解法1是三角函数求最值的常见解法，借助y =A sin(ωx +ϕ) 的有界性，得到关与y 的不等式，由不等式的解得到y 的取值范围；解法2中通过三角函数的恒等变形，使变量归一；解法3通过对已知条件“sin 2x +cos 2x =
1”的利用和
2
隐含条件“y =
Y +1, 此时可以看成点P (x , y ) 和Q (-2, -1) 两点连线的斜率，即求
X +2
PQ 连线斜率的最大值及最小值”的挖掘，将原代数问题几何图像化.
例2 求函数y =sin x 22
+
sin x
，x ∈(0,π), 的最小值
一、常见方法
解法1: 因为x ∈(0,π),
所以, sin x ∈(0,1), y =
sin x 22+
sin x
=
1⎛2 sin x +13⎫sin x +sin x ⎪. ⎝⎭
由
sin x +2≥2
且
3
2
sin x
sin x
在sin x ∈(0,1)上是减函数.
所以当且仅当sin x =1，即x =π2
时，以上两式同时取最小值.
所以y m in =
52
.
解法2: 因为x ∈(0,π), 所以sin x >0,
y =
sin x 1⎛2+
2sin x
=
2 sin x +1+1+1+1⎫⎝sin x sin x sin x sin x ⎪
⎭
1
4
≥2⨯5s i n x ⎛ 1⎫
s i n x ⎪=
51⎝⎭
2s i n 3
x
≥
52
.
当且仅当sin x =1，即x =π时，y 52
m in =
2
.
利用函数的单调性
解法3: 令t =sin x , 因为x ∈(0,π), 所以t ∈(0,1). 令f (t ) =
t 2+2t
，易证
f (t ) 在（0，1）上为减函数.
所以当t =1即x =π2时, f (t ) 5m in =
2
, 即y m in =
52
.
2
解法4: y =sin x +
22sin x
=
⎛ 2
sin x
-sin x ⎫⎪+4
，
⎝2⎭因为
2sin x
-sin x 2
在sin x ∈(0,1)上是减函数，且
2x sin x
-sin 2
＞0，
所以当sin x =1，即x =π2
时，y m in =
52
.
解法5:
3
y ==
sin x 2
+
2sin x
1⎛4⎫ sin x +⎪2⎝sin x ⎭
2
⎤⎫3
⎪+2⎥⎪+
sin x sin x ⎭⎥⎦
1⎡⎛
=⎢ sin x -2⎢⎝⎣
1
≥
1⎛3⎫5
+2⎪≥
2⎝sin x ⎭2
.
显然以上两个“≥”均当sin x =1时取“=”. 所以当sin x =1，即x =二、几何模型法 解法6: 令u =
sin x 2
π2
2
时，y m in =
52
.
, v =
sin x
, 则uv =1, ( 0
12
12
)
于是问题就转化为双曲线弧uv =1,( 0
上的截距y 的最小值 .
由图易知，当直线过点 , 2⎪时，y m in =
⎝2
⎭⎛1
⎫
52
. 解法7: 因为2y =
sin
2
x +4
sin x
=
sin
2
x -(-4)
sin x -0
， 令u =sinx ，v =sin 2x ， 则2y
=
v -(-4) u -0
，（0＜u ≤1) ，于是问题转化为求抛物
线v =u 2（0＜u ≤1) 弧上一点与交点（0，-4）连线的斜率的最小值.
由图知，当取抛物线上的点（1，1）时，斜率最小.
所以（2y ）min =
1-(-4) 1-0
=5，所以y min =
52
.
点评：解法6和解法7都是通过变量代换和化简转化为常见代数式，通过代数式的特性联想到解析几何中的曲线方程，从而利用曲线的图像特征直观的解决问题. 相较于其他解法，这类几何解法更加直观、生动。
4