[菱形]典型例题
菱形,矩形,正方形典型例题
例1 如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE ⊥AB , AB =a ,求:
(1)∠ABC 的度数;(2)对角线AC 的长;(3)菱形ABCD 的面
例2 已知:如图,在菱形ABCD 中,CE ⊥AB 于E , CF ⊥AD 于 F .求证:AE=AF
例3 如图,已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形,且AD =DF .
求证:GH 垂直平分CF .
ABCD 中,AD =2AB ,E 、F 在直线CD 上,且DE =CD =CF .例4 如图,
求证:BE ⊥AF .
例5 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90,E 为AB 的中点,四边形BCDE 是平行四
边形.求证:AC 与DE 互相垂直平分
例6、如图,在是△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于E ,点F 在直线DE 上,AF=CE.
(1)说明,四边形ACEF 是平行四边形;(5分)
(2)当∠B 的大小满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?说明理由.(4分)
(3)四边形ACEF 可能是正方形吗?说明理由.(3分)
例7、如图,△
ABC 中,点O 是AC 边上一动点,过点O
作直线MN ∥BC, 设MN 交∠BCA 的平分线于E ,交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)说明:EO =OF
(2)当点O 运动到时,四边形BEFC 可能是菱形吗?并说明理由.
(3)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并说明理由.
(4)在(3)的条件下,当△ABC 满足什么条件时,四边形AECF 是正方形?并说明理由.
M
巩固练习
1、梯形ABCD 中,AD ∥BC,BD 平分∠ABC, ∠C=60°, 当AB=CD=4时,梯形ABCD 的周长 D C D A
60 B B A C
2、在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD , 对角线AC 平分∠BAD ,∠B =60º,CD =2cm ,则梯形ABCD 的面积为
3.如图, 梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 为对角线,AE ⊥BC 于E ,AB ⊥AC ,若
∠ACB =30°,BE =2.则EC =___________.
5.在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AC ,若∠D =110°,∠ACD =30°,则∠BAC 等于
7.直角梯形一腰长16 cm,该腰和一个底所成的角为30°, 那么另一腰长________ cm.
9、如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC ,AC ⊥BD ,过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点. ⑴求证:四边形ACED 是平行四边形;
⑵若AD =3,BC =7,求梯形ABCD 的面积.
E D C
参考答案
DE ⊥AB ,例1 分析 (1)由E 为AB 的中点,可知DE 是AB 的垂直平分线,从而AD =DB ,
且AD =AB ,则∆ABD 是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.(2)而
(3)由菱形的对角线互相垂直,可知AC ⊥BD , AO =OC ,利用勾股定理可以求出AC .
S =1AC ⋅BD . 2
解 (1)连结BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AD =AB .
E 是AB 的中点,且DE ⊥AB ,∴AD =DB .
∴∆ABD 是等边三角形,∴∆DBC 也是等边三角形.
∴∠ABC =60︒⨯2=120︒.
(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC 与BD 互相垂直平分, ∴OB =
∴OA =111BD =AB =a . 2221AB 2-OB 2=a 2-(a ) 2=a ,∴AC =2AO =a . 22
112(3)菱形ABCD 的面积S =AC ⋅BD =⋅3a ⋅a =a . 222
说明:本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点.
例2 分析 要证明AE =AF ,可以先证明BE =DF ,而根据菱形的有关性质不难证明∆BCE ≅∆DCF ,从而可以证得本题的结论.
证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴BC =CD , ∠B =∠D ,且∠BEC =∠DFC =90︒,∴∆BCE ≅∆DCF ,∴BE =DF ,
AB =AD ,
∴AB -BE =AD -DF ,
∴AE =AF .
例3 解答:连结AC .
∵四边形ABCD 为菱形,
∴∠B =∠D =60︒,AB =BC =CD =AD .
∴∆ABC 与∆CDA 为等边三角形.
∴AB =AC , ∠B =∠ACD =∠BAC =60︒
∵∠EAF =60︒,
∴∠BAE =∠CAF
∴∆ABE ≅∆ACF
∴AE =AF
∵∠EAF =60︒,
∴∆EAF 为等边三角形.
∴∠AEF =60︒
∵∠AEC =∠B +∠BAE =∠AEF +∠CEF ,
∴60︒+18︒=60︒+∠CEF
∴∠CEF =18︒
说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质,解题关键是连AC ,证∆ABE ≅∆ACF 例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形,再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF .
证明:∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形
∴DE //BF ,AB //CD ,∠DFH =∠BCD =90,AD =BC
∴四边形BGDH 是平行四边形
∵AD =DF ,∴DF =BC
在△DFH 和△BCH 中
⎧∠DFH =∠BCH ⎪⎨∠DHF =∠BHC
⎪DF =BC ⎩
∴△DFH ≌△BCH ∴DH =BH ,HF =HC
∵四边形BGDH 是平行四边形
∴四边形BGDH 是菱形
∴GH 平分∠BHD ∴GH 平分∠FHC ∵HF =HC
∴GH 垂直平分FC .
例5 分析 要证BE ⊥AF ,关键是要证明四边形ABHG 是菱形,然后利用菱形的性质证明结论.
证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB //CD ,AB =CD ,AG //BH ,∴∠1=∠E
∵CD =ED ,∴AB =ED
⎧∠1=∠E ⎪在△ABG 和△EDG 中 ⎨∠2=∠3
⎪AB =ED ⎩
∴△ABG ≌△DEG ∴AG =GD
∵AD =2AB ∴AG =AB
同理:AB =BH ∴AG =BH
∵AG //BH
∴四边形ABHG 是平行四边形
∵AB =BH ∴四边形ABHG 是菱形
∴AF ⊥BE .
例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分,只要证明四边形ADCE 是菱形.所以要连结AD
证明 ∵在Rt △ABC 中,E 为AB 的中点
∴AE =CE =BE
∵四边形BCDE 是平行四边形
∴CD //AB ,CD =BE ∴CD //AE ,
∴四边形ABCE 是平行四边形
ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分. ∵AE =EC ∴