三次方程根的探究
三次方程ax 3
对三次方程ax +bx
3
2
+bx
2
+cx +d =0
根的个数探究
2009-5-5
+cx +d =0根的个数的考查实际就是对三次函数的极值(最值)
的考查, 本质上数形结合思想的综合用用. 一. ax +bx
3
2
+cx +d =0(a >0, x ∈R ) 根的个数探究:此类问题本质是考察函数的
极值问题, 可利用f 极大∙f 极小>0(三根); f 极大∙f 极小=0(二根); f 极大∙f 极小
定理1．方程f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d =0(a >0) 根的性质(x 1, x 2为f ' (x ) =0的两个根)
(1) 若b -3ac ≤0，则f (x ) =0恰有一个实根；
(2) 若b -3ac >0, 且f (x 1) ⋅f (x 2) >0，则f (x ) =0恰有一个实根； (3) 若b -3ac >0, 且f (x 1) ⋅f (x 2) =0，则f (x ) =0有两个不相等的实根； (4) 若b -3ac >0, 且f (x 1) ⋅f (x 2) 0，且f (x 1) ⋅f (x 2) >0。
2
2
2222
(3)：f (x ) =0有两个相异实根的充要条件是曲线y =f (x ) 与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b -3ac >0，且f (x 1) ⋅f (x 2) =0。
(4)：f (x ) =0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y =f (x ) 与X 轴有三个公共点，即f (x ) 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号. 所以b -3ac >0且f (x 1) ⋅f (x 2)
三次函数f (x ) =ax +bx +cx +d (a >0) 在[m , +∞) 上恒正的充要条件是
3
2
2
2
f (m ) >0(m≥x 2), 或f (m ) >0且f (x 2) >0(m
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例1:(09大庆一模文):已知函数f (x ) =x +bx +cx +5, 且曲线y =f (x ) 在点处的切
线与x 轴平行,(1)求实数c 的值, 判断是否存在实数b , 使得方程f (x ) -b x =0恰有一个实数
2
根, 若有, 求b 的取值范围, 若不存在, 请说明理由.
解:略解:(-5, 3)
可另问:有两个实数根; 有三个实数根; 求b 的取值范围 例2: （07全国二理）已知函数f (x ) =x 3-x ． （1）求曲线y =f (x ) 在点M (t ，f (t )) 处的切线方程；
（2）设a >0，如果过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线，证明： -a
曲线y =f (x ) 在点M (t ，f (t )) 处的切线方程为： y -f (t ) =f '(t )(x -t ) ， 即
y =(3t -1) x -2t ．
2
3
（2）如果有一条切线过点(a ，b ) ，则存在t ，使 b =(3t -1) a -2t ． 于是，若过点(a ，b ) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线，则方程
2t -3at +a +b =0有三个相异的实数根．解略.
3
2
23
二. ax +bx
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+cx +d =0(a >0, x ∈[a , b ]) 根的个数探究:此类问题可通过数形结
合方法加以解决
例3: (09哈三中一模文) 设函数f (x ) =
时，f (x ) 取得极值。
(1)求a 的值，并判断f (1+
2) 是函数f (x ) 的极大值还是极小值；
13
x -x +ax ，g (x ) =2x +b ，当x =1+
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2
(2)当x ∈[-3, 4]时，函数f (x ) 与g (x ) 的图象有两个公共点，求b 的取值范围； 解：（1） a =-1, f (1+
2) 是函数f (x ) 的极小值；
（2）设f (x ) =g (x ) ，则
13
3
2
13
x -x -3x -b =0，b =
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13
x -x -3x
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设F (x ) =
2
x -x -3x ，G (x ) =b
2
F '(x ) =x -2x -3，令F '(x ) =x -2x -3=0解得x =-1或x =3， 列表如下：
则F (x ) 图像如图所示:
显然:b ∈(-
205
, ) ⋃{-9}.
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