01[机器人课堂RCX编程]第一章乐高积木的几何原理

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图１．１一块乐高积木砖的尺寸　　

图１．２显示的是最小的乐高积木砖，用乐高单位来表示是１？？。实际上这个乐高“立方体”根本不是立方体。　

　　

图１．２尺寸为１Í１Í１的乐高积木砖的比例关系　　

在乐高组件中，有一类积木的厚度是块状积木厚度１／３。其中最重要的组件就是“板”，这些板中大多数是矩形，少数具有特殊形状。将３块板叠在一起，它的厚度就相当于一块标准的积木块的厚度（见图１．３）。　　

　　

图１．３　三块板的高度等于一块砖的高度　　

１．３方形的乐高世界：垂直的支撑　

我们为什么要关心这些关系呢？要回答这个问题，就要追溯到７０多年前，乐高ＴＥＣＨＮＩＣ生产线刚刚诞生的时候。从那时起，就设计和使用乐高来搭建由水平层组成的物体：把积木砖和板恰当的组合到一起。每个孩子都会很快知道３块板的厚度等于１块砖的厚度，这也是他们所需要知道的全部东西。但是在１９７７年，乐高决定以年龄更大的顾客为对象，引进一系列新的生产线：ＬＥＧＯ　ＴＥＣＨＮＩＣ。它们共同的特点是带孔的１蚇的积木块，我们称之为ＴＥＣＨＮＩＣ积木块，或者叫作梁（图１．４）。这些孔可以让轴穿过，也可以通过销子将梁互相连接起来，这样就创造了一个完美的乐高世界。　　

　　

图１．４乐高ＬＥＧＯ　ＴＥＣＨＮＩＣ梁　　

假设你要在垂直位置装一根梁，用来支撑两层或者更多层的水平位置的梁：这里我们必须记住６：５这个比值。梁上的孔与凸点一样都以相同的间距排列，但它们与凸点是以半个凸点间距交错排列的。这样，当我们把两根梁嵌在一起，水平方向两孔的间距不等于垂直方向两孔的间距，从而，不同层面上的孔就不能与之配合。换句话说，由于６：５的尺寸关系，一根垂直的梁上的孔不能够与一叠嵌在一起的梁上的孔相配合。至少不是所有的孔都能吻合。但让我们仔细观察一下：用６的倍数（６、１２、１８、２４、３０……）来计算垂直方向的单位，并用５的倍数（５、１０、１５、２０、２５……）来统计水平方向的单位。不要数开始的积木和开始的孔，因为它们是你的参照点；你测量的就是距离这个点的长度。当你数到５个垂直单位的长度达到了３０，当你数到６个水平方向单位，长度也达到了相同的数值（见图１．５）。　　

从中我们得到了一个定理：在叠嵌在一起的梁中，第５根梁的孔是和与之正交的垂直的梁上的孔重合的。　　Page 2 of 7

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图１．５水平的梁与垂直的梁的配合　　

现在你可以用梁搭建一堵墙，然后用一根长的梁来固定它，从而实际验证这个规则。如果你把一根轴放进第一个连通的孔中，然后试图将第二根轴放进接下去的孔里，你会发现在开始的积木上加上５根梁和１０根梁，交叉的梁上的孔才是连通的（见图１．６）。　　

这种交叉的梁的技巧是非常重要的。它可以使我们搭建出坚固的模型，垂直的梁将与之连接的两根水平梁之间的积木锁住。遗憾的是需要将６根梁搭建在一起，才能用一根横贯的梁将它们锁住。是否可以采用其它更好的方法呢？记得垂直单位有一个子单位——乐高板的高度。３块板组成一块砖，我们可以这样计算板的高度。高度以２个单位的倍数而不是６个单位（２是６的１／３）。高度的级数就变为２、４、６、８、１０。５块垂直的板的高度就为１０。这个高度值刚好等于水平方向上孔的间距，因此我们的最后得出的结论是：每５块板的高度，垂直梁的孔刚好可以配合。　　

　　

图１．６　５块梁的高度刚好与孔配合　

不幸的是，板不能用于连接垂直梁，原因十分简单，板没有孔！但是一根梁与３块板的高度是一样的，知道这些，我们就可以在计算上做如下规定：从梁的底部开始，每加一块板就增加一个单位，每加一块梁增加３个单位，并要保证至少一根梁在顶部，如果结果是５的倍数，孔就能与垂直梁配合。　

最简洁的设计如图１．１７所示用一根垂直梁固定水平层：一根梁和两块板的高度相当于５块板。连接垂直梁的唯一方法就是使用５块板产生两孔的距离。在乐高工程师设计的模型中都使用这种方法。　　Page 3 of 7

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图１．１７　最紧凑的固定结构　　

随着连接距离的增加，连接的方式也增多了，下一步就是连接１０块板／４孔的间距，但连接同样１０块板的高度，可以有许多方法。如图１．１８　

　　

图１．８　标准栅格结构　　

图１．１８　ｃ中所示的连接是比较常用的，它是基于图１．７中的设计结构的。因为在中间位置固定了梁，当你搭建模型时，１块梁＋２块板＋１块梁＋２块板的连接方式可以让你搭建更牢固：间隔一个孔连接，在Ｅｒｉｃ　Ｂｒｏｋ的网站上称它为标准结构（见附录Ａ），它可以使连接最优化。　　你一定要局限于使用这种连接方式吗？不要约束自己的想象力！这只是一些小技巧，在许多情况下，特别是当你不知道如何去做时，这些技巧对你很有用。在很多应用中我们使用了不同的设计结构，对你同样也同样有帮助。　　

１．４倾斜乐高世界——斜支撑　

乐高梁是不是只能垂直连接呢？乐高最大的特点是搭建方形的物体，但斜连接同样可以，它可以使我们的世界更加丰富多彩，同时又提供了一个有力的解决问题的工具。　　你现在知道如何用一根垂直梁去连接一堆梁和板，而且你也知道了它们的数字关系。但如何用一根斜梁支撑水平梁？这根斜梁看起来就像直角三角形的斜边。搭建一个如图１．９所示的模型，现在测量它们的各边，记住不要去计算第一个孔，因为我们是根据孔之间的距离来测量长度的，三角形的底边有６个孔，高度有８个孔：记住在标准结构中它们间的距离为底部的梁Page 4 of 7

　

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到上面的梁两孔间的距离（在图中我们放置了一根垂直梁，帮助你计算孔的数量。直角三角形的斜边长度为１０个孔）。　　

在这里我们介绍一下由古希腊哲学家、数学家毕达哥加斯加创建的勾股定理，这是一个非常著名的数学定理。定理证明了直角三角形的直角边与斜边的数学关系，假设组成直角的两边称为Ａ、Ｂ　，三角形斜边为Ｃ。它们间的关系就是：　

　

Ａ２＋Ｂ２＝Ｃ２　

现在我们将数字代入上面的公式得到：　　

　

６２＋８２＝１０２　

将上式展开：　　

（６　ｘ　６）　＋　（８　ｘ　８）　＝　（１０　ｘ　１０）　　

３６　＋　６４　＝　１００　　

１００　＝　１００　　

　　

图　１．９　勾股定理的应用　　

值得肯定的是，这个例子不是偶然的，而是应用了勾股定理，逆用这个定理，如果知道底边和高度的值，就可以算出斜边的值。只有当两个数字的平方和刚好等于另一个数字的平方时，公式才成立，如表１．１所示：　　

Ｂ（高）　Ａ＊Ａ　Ｂ＊Ｂ　Ａ２＋Ｂ２　说明　

３　８　９　６４　７３　不成立　

１５　８　２２５　６４　２８９　也成立，虽然２８９＝１７×１７，它可以

得出一个大的三角形　

１４５不是整数的平方，但它接近１４４

９　８　８１　６４　１４５　（１２ｘ１２），因为梁的配合允许有１％

的误差，所以斜梁也可以配合。　

现在，你可能会问，在玩积木时，是否要在桌上放一个小计算器，而且还需要重心温习一下高中数学？其实你不必担心。因为：你不会经常使用斜梁。而最常用的三角形连接都是基于３－４－５三条边长的（如表１．１第三行），如果将三角形各边长同时扩大一个整数倍，又会得到一个有效的３边长。如扩大２倍得到：６－８－１０，扩大３倍得到：９－１２－１５等等。这些都是有用并且是很容易记住的边长。　　Page 5 of 7

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我们在附录Ｂ中提供了包含许多实用的边长列表，还有一些等式虽不成立但非常接近正确的数值，可以配合得很好，而不会对积木块引起任何的损坏。　　

我们建议你花一些时间研究三角形，试着使用一下使用不同边长的连接方式来检验它的刚度。这些知识对你以后搭建复杂的模型是非常有用的。　　

１．５水平尺寸和单位的表示　　

到现在为止，我们一直都在讨论垂直平面，因为使用垂直梁来固定层的技术对搭建出坚固的模型是非常重要的，当然坚固的模型是塑料的。在水平方向上使用积木还有非常有效的方法，那就是：连接凸点。　　

前面介绍过，测量长度的单位是凸点，也就是说，只要数出积木的凸点数，就能计算积木的长度。梁上的孔都以相同间距排列，实际上，３个凸点的长度与３个孔的长度是相等的。观察梁，会注意到孔与凸点是交错排列的，每个梁上的孔总比凸点少一个。但也有两种例外：带１孔的１×１梁，带两孔的１×２的梁（如图１．１０），机器人套装中没有这两种积木，但它们是很有用的。　　

　　

图１．１１带１孔的１×１梁和带两孔的１×２的梁　　

在这些短梁中，孔刚好排列在凸点下，而不在它们之间，而且当与标准梁一起使用时，可以得到半个孔的增量（如图１．１１）。在下一章讲到齿轮时将会看到这两种梁的实际应用。　　

　　

图１．１１　得到半个孔的间距　　

还有一种可以实现同样功能的积木，即带一个凸点的１×２的板。在机器人套装中也没有这个积木块，但也很容易找到。如图１．１２所示，调整半个凸点的距离时是很有用的。在模型中，这有助于调整触动传感器的位置，我们在这本书中将会看到一些这方面的实例。　　

　　

图１．１２　单凸点１×２的板　　

１．６铰链支撑　

在结束本章之前，我们再回到三角形支撑，你现在拥有了可以轻易解决问题的全部工具Page 6 of 7

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了。这里也没有新的内容，只是前面理论的不同应用。这项技术你可能用不到，但为了完善起见，我们这里合仍介绍一下。　　

首先需要介绍一个特殊的部件：铰链（如图１．１３）。使用这种铰链能搭建许多不同的三角形，但还是针对直角三角形的，因为它们是到目前为止最有用的三角形连接部件。铰链的两端可以与板或梁的上下层连接，同时提供了许多与其它结构整合的方法。　　

　　

图１．１３　乐高铰链　　

乐高铰链可以旋转连接的梁，保证它们的内角始终接触。因此，使用３个铰链，就能得到一个三角形，它的垂直边集中在铰链的旋转中心上，内部边长就等于梁的长度（如图１．１４）。关于直角三角形，你已对勾股定理比较熟悉了，它也同样可以应用在这里，我们已经看到的相同的连接在这里也成立：３－４－５，６－８－１０等等。　　　

　　

图１．１４　使用铰链组成直角三角形　　

　小结：　　

你学过几何学吗？假如对基础熟悉，学起来就不会困难了。首先，它有助于根据它们之间的比例去确定积木块，通过凸点计算它们的长度和宽度。并认识了垂直单位与水平单位的比例是６：５。有了这个简单的比例，你可以试着去将轴或销插入垂直梁的孔中来固定结构；你知道了每５块积木砖的高度，垂直梁的孔刚好与之相配合；同样，由于３块板的高度刚好等于一块积木砖，最紧凑的固定结构就是使用２片板和１块砖加起来的高度，因为它刚好是５的倍数，如果对此你能灵活应用，每一件事都会变的很容易：１块砖，２块板，１块砖，２块板……　　

为了配合一根斜梁，使用了勾股定理。基于３－４－５边长的连接可以组成一类容易记住的边长来做成一个三角形。但也有其他方法，有的也是基于这个原理，还是去看一下附录Ｂ提供的表吧。　Page 7 of 7