高中数学不等式
第六章不等式
第一节:等式的基本性质
1、不等式的性质 (1. )同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:a >b,c >d ,则 a +c >b +d, (a >b ,cb -d ),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘但不能相除;异向不等式可以相除但不能相乘:a >b >0 c >d>0 (a>b, c bd (或
n n a b ) c d 11 ,(abb >0则a >b或a (4)ab>0,则a>b⇔
则a>b⇔11 ) a b
2、 不等式大小比较的常用技巧 (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。(2)作商
(常用于分数指数幂的代数式)(3)分析法 (4)平方法 (5)分子(或分母)有理化 (6)利用函数的单调性 (7)判别式法 (8)寻找中间量或放缩法 (9)图象法
第二节:算术平均数与几何平均数
1、常用公式及变形:两个基本的不等式及其变
⎧a 2+b 2⎛a +b ⎫2
≥ ⎪(a , b ∈R )⎪22⎝⎭⎪⎪a +b ≥ab a , b ∈R +⎪⎪2a 2+b 2≥2ab ⇒⎨22形:(1) ⎪或ab ≤a +b
⎪2⎪2a +b ⎛⎫⎪ab ≤ a , b ∈R +⎪⎪⎝2⎭⎩
a , b ∈R ()()
⎧⎛a +b +c ⎫3
⎪≥abc ⎪ 3⎭⎪⎝
333⎪⎪a +b +c 333(a , b , c ∈R )⇒(2)a +b +c ≥3abc ≥abc 3⎪⎪a +b +c ≥abc ⎪⎪⎩
222a +b a +b , b ∈R (3)a 1122a b
2、对于两个正数x,y ,若已知xy,x+y,x +y , , 22111中的某一个为定值,可求出其余各个的最值,如:(1)当x y x y
xy =P (定值),那么当x=y时,和x+y有最小值2P ,
1122x +y ≥ x y (2)x+y=S(定值) ,那么当x=y时,积xy 有最大值12S 4
2S 11411 x +y 2⨯4, 2x y S x y S 22
(3)已知x +y=p,则x+y
x y 12p 11 2x y x y p
3、应用基本的不等式解题时,注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、三相等”
第三节 不等式的证明
1、比较法:(1)求差比较法:要证a ﹥b, 只要证a-b ﹥0,(2)求商比较法:要证a ﹥b ,且b ﹥0, 只要证a ﹥1. 比较b
法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。
2、综合法:利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立,这种证明方法叫综合法,即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。
3、分析法:(1)从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立,这种证明方法叫分析法,即执果索因。(2)用分析法证明要注意格式:“若A 成立,则B 成立”的模式是:欲证B 为真,只需证C 为真,只需证D 为真„最后得出A 或已知的性质、公理、定理。从而得出B 为真。也可使用⇐简化叙述。即B ⇐C ⇐D ⇐„⇐A 或已知的性质、公理、定理。切不可使用B ⇒C ⇒D ⇒„A 。
4、 放缩法(如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩)
5、 利用函数的单调性,
6、 反证法
7、 换元法
8、 判别式法
第四节 不等式的解法
1、一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax ﹥b 的形式,若a ﹥0, 则x ﹥若a ﹤0, 则x ﹤b ; a b ; a
22、一元二次不等式的解法:设a ﹥0,x 1,x 2方程ax +bx+c=0的两实根,且x 1﹤x 2,一元二次不等式的解集如下
3、简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)化为若干个一次因式的积,并使每一个因式中味知数的系数为正,(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇次前进偶次折回。
(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律,写出不等式的解集。
4、 分式不等式的解法:分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母,应先移项使右边为0再通分并将分
子分母分解因式,最后用标法求解。
5、 绝对值不等式的解法:化为两种基本情形:(1)︳x ︳﹤a 的解集为-a ﹤x ﹤a,(2) ︳x ︳﹥a 的解集为x ﹤-a, 或
x ﹥a. 复杂的绝对值不等式的解法详见下节。
6、 指数不等式:
7、 对数不等式:
8、 无理不等式:
第五节含有绝对值不等式
1、化为三种基本情形:(1)︳x ︳﹤a 的解集为-a ﹤x ﹤a,(2) ︳x ︳﹥a 的解集为x ﹤-a, 或x ﹥a. (3)
0 b -b x -a 或a x b }
2、和差的绝对值与绝对值的和差性质:
⎧a +b =a +b ⎪⎪a -b =a +b a ⎨⎪a -b =a +b
⎪a -b =a -b ⎩⇔ab ≥0⇔ab ≤0⇔(a +b )b ≤0⇔(a -b )b ≥0
3、含多个绝对值符号的不等式可采用分段讨论法。