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证券市场线推导

01-28

证券市场线

一、证券市场线与证券风险的测定。 在资本定价模型E(rP)rF

E(rM)rF

M

P中，组合期望收益率E(rP)由纯利

率rF和风险贴水rep两部分组成，P越大，E(rP)越高。我们关心的是单个证券对P的贡献有多大，进而对E(rP)方有多大的贡献。由于有效组合的风险组合即为市场证券组合，所以：

MMM

rMx2r2x3r3xNrN

2MMMMCov(rM,rM)Cov(x2r2x3r3xNrN,rM)

2可见，证券对方差M的贡献部分为Cov(ri,rM)，一般用贡献率来表示，有

i

cov(ri,rM)

2

M

(7.6)

为了揭示单个证券i对有效组合方差的贡献与其带来的收益率之间的关系，我们需讨论i与市场组合M的关系来解释这样的问题：证券i的收益率与i之间存在何种关系？记组合Z为证券i与市场组合M的组合，则有

rZxirixM.rM

E(rZ)xiE(ri)xME(rM)

xixM1

(7.7)

证券i与市场组合M的组合Z满足：

E(rZ)xiE(ri)(1xi)E(rM)(7.8)

7.92xi(1xi)cov(ri,rM)

(7.8)和(7.9)构成了曲线izm，这条曲线含有i与M的所有可行组合，所以肯

定落在所市场证券组合的可行域中(由曲线L围成)又因为izm经过M点，且又不

能越过资本市场线FM，所以izm在M点处只能与FM相切，故有相同的斜率

x(1xi)

2Z

2i

2i

2

2M

re

E(rM)rF

M

图7-4：SML的推导

222ciM)ciMMdZxi(i2M

又

dxi2

(7.10)

dE(rZ)

E(ri)E(rM)dxi

(7.11)

(7.12)

[E(ri)E(rM)]zdE(rZ)dE(rZ)dxi

.22

dzdxidzxi(i2M2ciM)ciMM

[E(ri)E(rM)]M

2

ciMM

在M点处，有xi0dE(rZ)dZ

Mz

dE(r)

而在MZre

dZ

即

(10.13)

E(ri)E(rM)E(rM)rF

.M2

MCiMM

22

化简有：M[E(ri)E(rM)](CiMM)[E(rM)rF]

22

ME(ri)CiME(rM)CiMrFMrF

E(ri)rF

即

E(rM)rF

2

M

.CiM

(10.14)

E(ri)rF[E(rM)rF].i

(7.14)表现的即为单个证券的证券市场线，rirM，即证券i为市场证券组合M时，M1，故证券市场线经过(1，E(rM))点，同时，i0，即rirF时，

E(ri)rF，经过(0，rF)，因为0证券市场线适合无风险证券F。

对于任一证券组合P，同样可导出

E(rP)rF[E(rM)rF].P

其中：PrPxiri,故

cov(rP,rM)

(10.15)

2

M

,若P的权数为(x1,x2,xN)有

2M

P

xicov(ri,rM)

xi.i

i2

N

(cov(x1,rM)0)

由于P可以是有效组合，也可是非有效组合，而P亦落在SML上，可以认为SML包含了单个证券或任意证券组合的风险与收益关系，这和资本市场线有一定区别，因资本市场线只会含有效组合，不含非有效组合。

二、证券市场线与等期望收益率

由于SML包含有效或无效组合，而不同的证券组合可能有相同的系数，则两个(多个)组合可能落在SML的同一点上。如F点，代表无风险证券，也代表零-系数的组合。零系数的组合对市场组合的贡献为0，但总风险不一定

为0，也就是说可能存在系统风险为0，非系统风险不为0的无效组合，这个组合的期望收益率为rF，但没有象无风险证券那样的恒定的收益率rF。其它单个证券或证券组合也有同样境况，那么CML和SML之间有什么样的关系呢？下图

图7-5：CML和SML及等收益线

由于系数作为风险测定值，与其对应的期望收益率有一一对应关系， 即P

rF1

E(rP),E(rP)确定，则P也确定，所有期望收益

E(rM)rFE(rM)rF

率相同的证券组合(有效或无效)都落在SML的同一点上。考虑SML的另一种形式：E(rP)rF[E(rM)rF]P

rF

E(rM)rF

2

M

.cov(rP,rM)rF.PM]P

E(rM)rF

2M

.PM.M.P

rF[

E(rM)rF

rpx1rFx2rM，落在CML上的点P和M均存在线性关系

有PM1，CML上的组合P满足:E(rP)rF

E(rM)rF

M

M

.P  ErprFreP

由SMLCML

可以看出，有效组合是一类特定的证券组合，落在证券市场线上，故可由SML推出CML，即CML包含在SML中，是SML的一个特例(前提1)


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