半导体物理学(第七版)完整答案

第一章习题

1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近

能量E V (k)分别为：

h 2k 2h 2(k -k 1) 2h 2k 213h 2k 2

E C （K ）= +, E V (k ) =-

3m 0m 06m 0m 0

m 0为电子惯性质量，k 1=（1）禁带宽度;

（2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量;

（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解：（1）

导带：

2 2k 2 2(k -k 1)

由+=03m 0m 0

3

k 14

d 2E c 2 22 28 2

2=+=>0

3m 0m 03m 0dk 得：k =所以：在k =价带：

dE V 6 2k

=-=0得k =0dk m 0

d 2E V 6 2又因为=-

m 0dk 2k 123

因此：E g =E C (k 1) -E V (0) ==0. 64eV

412m 0

2

=2

d E C dk 2

3m 0 8

π

a

, a =0. 314nm 。试求：

3

k 处，Ec 取极小值4

(2) m

*nC

=

3k =k 1

4

(3) m

*nV

2=2

d E V dk 2

=-

k =01

m 06

(4) 准动量的定义：p = k 所以：∆p =( k )

3

k =k 1

4

3

-( k ) k =0= k 1-0=7. 95⨯10-25N /s

4

2. 晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m的电场时，试分别

计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据：f =qE =h

(0-

∆t 1=

-1. 6⨯10

∆k ∆k 得∆t = ∆t -qE

π

a

) ⨯10)

=8. 27⨯10-13s

2

-19

=8. 27⨯10-8s

(0-

∆t 2=

π

-1. 6⨯10-19⨯107

补充题1

分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面密度

（提示：先画出各晶面内原子的位置和分布图）

Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1所示：

（a ）(100)晶面 （b ）(110)晶面

（c ）(111)晶面

补充题2

271

(-cos ka +cos 2ka ) ， 一维晶体的电子能带可写为E （k ) =2

8ma 8

式中a 为 晶格常数，试求

（1）布里渊区边界； （2）能带宽度；

（3）电子在波矢k 状态时的速度；

*

（4）能带底部电子的有效质量m n ；

（5）能带顶部空穴的有效质量m *p

解：（1）由

dE (k ) n π

=0 得 k = dk a

（n=0，±1，±2…） 进一步分析k =(2n +1)

π

a

，E （k ）有极大值，

E （k ) MAX k =2n

2 2= 2

ma

π

a

时，E （k ）有极小值

所以布里渊区边界为k =(2n +1)

π

a

(2)能带宽度为E （k ) MAX -E (k ) MIN (3）电子在波矢k 状态的速度v =（4）电子的有效质量

2 2= ma 2

1dE 1

=(sinka -sin 2ka ) dk ma 4

2m

m =2=

1d E

(coska -cos 2ka ) 2

2dk

*

n

能带底部 k =

2n π*

所以m n =2m a

(2n +1) π

， a

(5)能带顶部 k =

*

且m *p =-m n ，

所以能带顶部空穴的有效质量m p =

*

2m

3

半导体物理第2章习题

1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？

答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。

（2）理想半导体是纯净不含杂质的，实际半导体含有若干杂质。 （3）理想半导体的晶格结构是完整的，实际半导体中存在点缺陷，线缺陷和面缺陷等。

2. 以As 掺入Ge 中为例，说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n 型半导体。

As有5个价电子，其中的四个价电子与周围的四个Ge 原子形成共价键，还剩余一个电子，同时As 原子所在处也多余一个正电荷，称为正离子中心，所以，一个As 原子取代一个Ge 原子，其效果是形成一个正电中心和一个多余的电子.

多余的电子束缚在正电中心，但这种束缚很弱, 很小的能量就可使电子摆脱束缚，成为在晶格中导电的自由电子，而As 原子形成一个不能移动的正电中心。这个过程叫做施主杂质的电离过程。能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心，称为施主杂质或N 型杂质，掺有施主杂质的半导体叫N 型半导体。 3. 以Ga 掺入Ge 中为例，说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p 型半导体。

Ga 有3个价电子，它与周围的四个Ge 原子形成共价键，还缺少一个电子，于是在Ge 晶体的共价键中产生了一个空穴，而Ga 原子接受一个电子后所在处形成一个负离子中心，所以，一个Ga 原子取代一个Ge 原子，其效果是形成一个负电中心和一个空穴，空穴束缚在Ga 原子附近，但这种束缚很弱，很小的能量就可使空穴摆脱束缚，成为在晶格中自由运动的导电空穴，而Ga 原子形成一个不能移动的负电中心。这个过程叫做受主杂质的电离过程，能够接受电子而在价带中产生空穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质，掺有受主型杂质的半导体叫P 型半导体。

4. 以Si 在GaAs 中的行为为例，说明IV 族杂质在III-V 族化合物中可能出现的双性行为。

Si 取代GaAs 中的Ga 原子则起施主作用； Si取代GaAs 中的As 原子则起受主作用。导带中电子浓度随硅杂质浓度的增加而增加，当硅杂质浓度增加到一定程度时趋于饱和。硅先取代Ga 原子起施主作用，随着硅浓度的增加，硅取代As 原子起受主作用。 5. 举例说明杂质补偿作用。

当半导体中同时存在施主和受主杂质时， 若（1） ND >>NA

因为受主能级低于施主能级，所以施主杂质的电子首先跃迁到N A 个受主能级上，还有N D -N A 个电子在施主能级上，杂质全部电离时，跃迁到导带中的导电电子的浓度为n= ND -N A 。即则有效受主浓度为N Aeff ≈ ND -N A （2）N A >>ND

施主能级上的全部电子跃迁到受主能级上，受主能级上还有N A -N D 个空穴，它们可接受价带上的N A -N D 个电子，在价带中形成的空穴浓度p= NA -N D . 即有效

受主浓度为N Aeff ≈ NA -N D （3）N A ≈N D 时，

不能向导带和价带提供电子和空穴， 称为杂质的高度补偿 6. 说明类氢模型的优点和不足。

优点：基本上能够解释浅能级杂质电离能的小的差异，计算简单

缺点：只有电子轨道半径较大时，该模型才较适用，如Ge. 相反，对电子轨道半径较小的，如Si ，简单的库仑势场不能计入引入杂质中心带来的全部影响。 7. 锑化铟的禁带宽度Eg=0.18eV，相对介电常数εr =17，电子的有效质量

m *n =0.015m0, m0为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束缚电子基态轨道半径。

解：根据类氢原子模型：

*4*

m n q m n E 013. 6-4

∆E D ===0. 0015⨯=7. 1⨯10eV 2222

m 0εr 2(4πε0εr ) 17

h 2ε0

r 0=2=0. 053nm

πq m 0

h 2ε0εr m 0εr

r ==r 0=60nm **

πq 2m n m n

8. 磷化镓的禁带宽度Eg=2.26eV，相对介电常数εr =11.1，空穴的有效质量m *p =0.86m0,m 0为电子的惯性质量，求①受主杂质电离能；②受主束缚的空穴的基态轨道半径。

解：根据类氢原子模型：

*4*

E 0m P q m P 13. 6

∆E A ===0. 086⨯=0. 0096eV 2222

m 2(4πε0εr ) 11. 10εr

h 2ε0

r 0=2=0. 053nm

πq m 0

r =

h ε0εr m 0εr

=r 0=6. 68nm 2**

πq m P m P

2

第三章习题和答案

100π 2

1. 计算能量在E=Ec 到E =E C + 之间单位体积中的量子态数。 *2

2m L n 3

1*2

V （2m n g (E ) =(E -E C ) 2解 23

2π

d Z =g (E ) dE

d Z

单位体积内的量子态数Z 0=

V

100π 2100h 2 E c +E +3c 2m n l 8m n l 1*2

（2m n 1V Z 0=g (E ) dE =⎰(E -E C ) 2dE 23⎰V E C 2π E C

23100h *22E c +*2 =V （2m n (E -E C ) 8m n L 23

32π

E c

π =1000

3L 3

2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 2. 证明：si 、G e 半导体的E （IC ）~K 关系为

2

2

x

2y

2z

k h k +k E （k ）=E +(+) C C

2m t m l ' ' ' ' 2

即d =g (k ) ∙∇Vk =g (k ) ∙4πk dk z **

m m m ' ' 3令k x =(a ) k x , k y =(a ) k y , k z ' =(a ) k z ⎡⎤m t m t m l

2(m ∙m +m dz t l ⎥(E -E ∴g ' (E ) ==4π∙⎢t 22h ⎢⎥dE ' 2' 2' 2h 则：E c (k ' ) =E c +(k +k +k " ) x y z ⎣⎦*

2m a

对于si 导带底在100个方向，有六个对称的旋转椭球，'

在k 系中, 等能面仍为球形等能面 锗在（111）方向有四个，

在E ~E +dE 空间的状态数等于k 空间所包含的

状态数。

⎛m ∙m +m ' ' t l

在k 系中的态密度g (k ) = t

*3 m a ⎝

1*

k ' =2m a (E -E C )

h

*⎫⎪V ∴g (E ) =sg ' (E ) =4π(2m n 3(E -E V

c 2⎪h ⎭

m n =s

*

2

[m m 2

t l

3. 当E-E F 为1.5k 0T ，4k 0T, 10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

4. 画出-78o C 、室温（27 o C ）、500 o C 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比

较。

5. 利用表3-2中的m *n ，m *p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C , N V 以及本征载流子的浓度。

*

⎧2πkoTm n

N =2() ⎪C 2

h ⎪

⎪2πkoTm *⎪p 5⎨N v =2() 2h ⎪

E g

⎪-⎪n i =(N c N v ) e 2koT ⎪⎩

*

⎧G e :m n =0. 56m 0; m *p =o . 37m 0; E g =0. 67ev ⎪⎪**

⎨si :m n =1. 08m 0; m p =o . 59m 0; E g =1. 12ev ⎪*

m 0; m *ev ⎪p =o . 47m 0; E g =1. 428⎩G a A s :m n =0. 068

6. 计算硅在-78 o C ，27 o C ，300 o C 时的本征费米能级，假定它在禁带中间合理吗？

*

Si 的本征费米能级，Si :m n =1. 08m 0, m *p =0. 59m 0

[]

E F

m *E C -E V 3kT p

=E i =+ln *

24m n

0. 59m 03kT

ln =-0. 0072eV 41. 08m 0

T 1=195K 时，kT 1=0. 016eV , 当

当T 2=300K 时，kT 2=0. 026eV ,

当T 2

0. 593kT

ln =-0. 012eV 41. 08

0. 593kT

=573K 时，kT 3=0. 0497eV , ln =-0. 022eV

41. 08

所以假设本征费米能级在禁带中间合理，特别是温度不太高的情况下。

7. ①在室温下，锗的有效态密度N c =1.05⨯1019cm -3，N V =3.9⨯1018cm -3，试求锗的载流子有效质量m *n m*p 。计算77K 时的N C 和N V 。 已知300K 时，E g =0.67eV。77k 时E g =0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K 时，锗的电子浓度

为1017cm -3 ，假定受主浓度为零，而E c -E D =0.01eV，求锗中施主浓度E D 为多少？

*

k 0Tm n

7（. 1）根据N c = 2() 2

2π

（2）77K 时的N C 、N V

k 0Tm *p N v =2() 得' ' 2N （C 77K ）T 2π =

2N （300K ）T C 232π ⎡N c ⎤*-31

m n ==0. 56m =5. 1⨯10kg 0773773⎥'

k 0T ⎢2∴N C =N C ∙）=1. 05⨯1019⨯）=1. 37⨯1018/cm 3⎣⎦

300300 22

2π ⎡N v ⎤-31773773' 18173m *=⎢⎥=0. 29m 0=2. 6⨯10kg N V p =N ∙）=3. 9⨯10⨯）=5. 08⨯10/cm V k 0T ⎣2⎦-Eg

300300

2koT (3) n i =(N e c N v )

(1. 05⨯1019⨯3. 9⨯1018) e 室温：n i =

-0. 67

2k 0⨯300

=1. 7⨯1013/cm 3

0. 76

-77K 时，n i =(1. 37⨯1018⨯5. 08⨯1017) e 2k 0⨯77=1. 98⨯10-7/cm 3

N D N D N D +

n 0=n D ===E -E E -E +E -E F ∆E D n o

-D F -D c C ∙-k 0T k 0T k 0T N C 1+2e 1+2exp 1+2e

∆E D n o 0. 01101717

∴N D =n 0(1+2e ∙) =10(1+2e ∙) =1. 17⨯1017/cm 3

18

koT N C 0. 0671. 37⨯10

8. 利用题 7所给的N c 和N V 数值及E g =0.67eV，求温度为300K 和500K 时，含施主浓度N D =5⨯1015cm -3，受主浓度N A =2⨯109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少？

8. 300K 时：n i =(N c N V ) e 500K 时：n i =(N N ) e

'

C

' V

-

-

E g 2k 0T

=2. 0⨯1013/cm 3

e g 2k 0T =6. 9⨯1015/cm 3

根据电中性条件：

⎧n 0-p 0-N D +N A =022

→n -n (N -N ) -n ⎨00D A i =02

⎩n 0p 0=n i

N -N A ⎡N D -N A 2⎤

∴n 0=D +⎢() +n i 2⎥

22⎣⎦N -N D ⎡N A -N D 2⎤

p 0=A +⎢() +n i 2⎥

22⎣⎦

153

⎧⎪n 0≈5⨯10/cm

T =300K 时：⎨103

⎪⎩p 0=8⨯10/cm 153⎧⎪n 0=9. 84⨯10/cm

t =500K 时：⎨153

⎪⎩p 0=4. 84⨯10/cm

9.计算施主杂质浓度分别为1016cm 3，,1018 cm-3，1019cm -3的硅在室温下的费米能

级，并假定杂质是全部电离，再用算出的的费米能 级核对一下，上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时，取施主能级在导带底下的面的0.05eV 。

解：假设杂质全部由强电离区的E F

193

⎧N D ⎪N C =2. 8⨯10/cm

E F =E c +k 0T ln N , T =300K 时, ⎨103

⎪C ⎩n i =1. 5⨯10/cm

N

或E F =E i +k 0T ln D ,

N i

1016163

N D =10/cm ; E F =E c +0. 026ln =E c -0. 21eV 19

2. 8⨯10

1018183

N D =10/cm ; E F =E c +0. 026ln =E c -0. 087eV 19

2. 8⨯10

1910193

N D =10/cm ; E F =E c +0. 026ln =E c -0. 0. 27eV 19

2. 8⨯10

(2) E -E =0. 05eV 施主杂质全部电离标准为90%,10%占据施主C D

n D

=N D

1

1E -E F

1+e D

2k 0T

1

是否≤10%

1E -E F 1+e D

2k 0T n 11

N D =1016:D ===0. 42%成立E D -E C +0. 210. 16

N 11 D

1+e 0. 0261+e 0. 026

22

N D =1019:N D =1018:

n D

=N D n D

=N D

111+e 21

0. 0370. 026

n D +或=N D

≥90%

=30%不成立

11+e 2 '

（2）求出硅中施主在室温下全部电离的上限 2N ∆E D

D -=(D ) e (未电离施主占总电离杂质数的百分比）

N C koT

-0. 023

0. 026

=80%〉10%不成立

10%=2N D e 0. 05, N =0. 1N C e -0. 026=2. 5⨯1017/cm 3

D

N C 0. 0262

N D =1016小于2. 5⨯1017cm 3全部电离N D =1016, 1018〉2. 5⨯1017cm 3没有全部电离

0. 05

' ' （2）也可比较E D 与E F ，E D -E F 〉〉k ０T 全电离

163

N D =10/cm ; E D -E F =-0. 05+0. 21=0. 16〉〉0. 026成立，全电离N D =1018/cm 3; E D -E F =0. 037~0. 26E F 在E D 之下，但没有全电离

N D =1019/cm 3; E D -E F =-0. 023〈0. 026，E F 在E D 之上，大部分没有电离

10. 以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n 型锗在300K 时，以杂质电离为主的饱和区掺杂质的浓度范围。

10. 解

A s 的电离能∆E D =0. 0127eV , N C =1. 05⨯1019/cm 3

室温300K 以下，A s 杂质全部电离的掺杂上限 2N D ∆E D -=D )

N C k 0T

2N D +0. 0127 10%=exp N C 0. 026

0. 01270. 0127

0. 1N C -0. 0260. 1⨯1. 05⨯1019-0. 026

∴N D 上限=e =e =3. 22⨯1017/cm 3 22

A s 掺杂浓度超过N D 上限的部分，在室温下不能电离

G e 的本征浓度n i =2. 4⨯1013/cm 3

∴A s 的掺杂浓度范围5n i ~N D 上限，即有效掺杂浓度为2. 4⨯1014~3. 22⨯1017/cm 3

11. 若锗中施主杂质电离能∆E D =0.01eV，施主杂质浓度分别为N D =1014cm -3j 及 1017cm -3。计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？ 12. 若硅中施主杂质电离能∆E D =0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm -3， 1018cm -3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？

13. 有一块掺磷的 n型硅，N D =1015cm -3, 分别计算温度为①77K ；②300K ；③500K ；

④800K 时导带中电子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）

13（. 2）300K 时，n i =1010/cm 3

(3) 500K 时，n i =4⨯1014/cm 3~N D 过度区2

(4) 8000K 时，n i =1017/cm 3n 0≈n i =1017/cm 3n 0=

N D +N D +4n i 2

≈1. 14⨯1015/cm 3

14. 计算含有施主杂质浓度为N D =9⨯1015cm -3，及受主杂质浓度为1.1⨯1016cm 3，的

硅在33K 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

解：T =300K 时，Si 的本征载流子浓度n i =1. 5⨯1010cm -3, 掺杂浓度远大于本征载流子浓度，处于强电离饱和区p 0=N A -N D =2⨯1015cm -3n i 2n 0==1. 125⨯105cm -3

p 0

p 02⨯1015

E F -E V =-k 0T ln =-0. 026ln =0. 224eV 19

N v 1. 1⨯10p 02⨯1015

或：E F -E i =-k 0T ln =-0. 026ln =-0. 336eV

n i 1. 5⨯1010

15. 掺有浓度为每立方米为1022硼原子的硅材料，分别计算①300K ；②600K 时

费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

(1) T =300K 时，n i =1. 5⨯1010/cm 3, 杂质全部电离a p 0=1016/cm 3

n i 2

n 0==2. 25⨯104/cm 3

p 0

p 01016

E E -E i =-k 0T ln =-0. 026ln 10=-0. 359eV

n i 10或E E -E V =-k 0T ln

p 0

=-0. 184eV N v

(2) T =600K 时，n i =1⨯1016/cm 3处于过渡区：p 0=n 0+N A n 0p 0=n i 2

p 0=1. 62⨯1016/cm 3n 0=6. 17⨯1015/cm 3

16

E -E =-k T ln p 0=-0. 052ln 1. 62⨯10=-0. 025eV

F i 0

n i 1⨯1016

16. 掺有浓度为每立方米为1.5⨯1023砷原子 和立方米5⨯1022铟的锗材料，分别

计算①300K ；②600K 时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓

度数值查图3-7）。

解：N D =1. 5⨯1017cm -3, N A =5⨯1016cm -3300K :n i =2⨯1013cm -3

杂质在300K 能够全部电离，杂质浓度远大于本征载流子浓度，所以处于强电离饱和区n 0=N D -N A =1⨯1017cm -3n i 24⨯1026p 0===109cm -3

17

n 01⨯10

n 01⨯1017

E F -E i =k 0T ln =0. 026ln =0. 22eV 13

n i 2⨯10600K :n i =2⨯1017cm -3

本征载流子浓度与掺杂浓度接近，处于过度区

n 0+N A =p 0+N D n 0p 0=n i 2n 0=

N D -N A +(N D -N A ) 2+4n i 2

2

=2. 6⨯1017

n i 2

p 0==1. 6⨯1017

n 0

n 02. 6⨯1017

E F -E i =k 0T ln =0. 072ln =0. 01eV 17

n i 2⨯10

17. 施主浓度为1013cm 3的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度、多子浓度、少

子浓度和费米能级的位置。

18. 掺磷的n 型硅，已知磷的电离能为０. ０４４eV ，求室温下杂质一半电离时

费米能级的位置和浓度。

17. si :N D =1013/cm 3, 400K 时，n i =1⨯1013/cm 3(查表）⎧n -p -N D =0N D 12213

, n =+N +4n =1. 62⨯10⎨D i 2

22⎩np =n i

n i 2

p 0==6. 17⨯1012/cm 3

n o n 1. 62⨯1013

E F -E i =k 0T ln =0. 035⨯ln =0. 017eV

n i 1⨯1013

18. 解：n D =

N D

1E -E F 1+e D

2k 0T

E D -E F

koT

=2. n D =N D 则有e E =E D -k 0T ln 2 F

E F =E D -k 0T ln 2=E C -∆E D k 0T ln 2=E C -0. 044-0. 026ln 2 =E -0. 062eV

c

si :E g =1. 12eV , E F -E i =0. 534eV

n =N c e

-E C -E F k 0T

=2. 8⨯10⨯e

19

-

0. 0620. 026

=2. 54⨯1018cm 3

n =50%N ∴N =5. 15⨯10⨯19/cm 3

D D

19. 求室温下掺锑的n 型硅，使E F =（E C +ED ）/2时锑的浓度。已知锑的电离能为

0.039eV 。

E C +E D

2

E C +E D 2E C -E C -E D E C -E D 0. 039

∴E -E =E -====0. 0195

⎡⎤

∴n 0=N c 2F 1⎢E F -E C ⎥=N C 2F 1(-0. 71)

2⎣k 0T ⎦2

2

=2. 8⨯1019⨯⨯0. 3=9. 48⨯1018/cm 3 3. 14

+

求用：n 0=n D

19. 解： E F = E F -E D =

E C +E D E -E D

-E D =C =0. 019522⎡E F -E C ⎤2N C N D F ⎢=⎥

1⎣k 0T ⎦1+2E F -E D )

2

k 0T

2N C

⎡E F -E C ⎤E F -E D

∴N D =F 1⎢1+2）⎥

k T k T 2⎣00⎦

0. 0195⎤ =2N C F ⎡-0. 01951+2exp ）=9. 48⨯1018/cm 3

⎢⎥0. 0261⎣0. 026⎦

2

20. 制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在

外延层中扩散硼、磷而成的。

（1）设n 型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的E F 位

于导带下面0.026eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

（2）设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.6⨯1015cm -3, 计算300K 时E F

的位置及电子和空穴浓度。

（3）在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深

度处硼浓度为5.2⨯1015cm -3, 计算300K 时E F 的位置及电子和空穴浓度。

（4）如温度升到500K ，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值

查图3-7）。

20（. 1）E C -E F =0. 026=k 0T ，发生弱减并∴n 0=

2N c

F 1(-1) =

2

2⨯2. 8⨯1019

3. 14

⨯0. 3=9. 48⨯1018/cm 3

+n 0=n D =

N D

E -E D

1+2F )

k 0T

0. 013

E -E D

∴N D =n 0(1+2F ) =n 0(1+2e 0. 026) =4. 07⨯1019/cm 3

k 0T (2) 300K 时杂质全部电离

N

E F =E c +k 0T ln D =E C -0. 223eV

N C n 0=N D =4. 6⨯1015/cm 3

n i 2(1. 5⨯1010) 2

p 0===4. 89⨯104/cm 3

15

n 04. 6⨯10

（3）p 0=N A -N D =5. 2⨯1015-4. 6⨯1015=6⨯1014/cm 3n i 2(1. 5⨯1010) 253

n 0===3. 75⨯10/cm

p 06⨯1014E F -E i =-k 0T ln

p 0

14

=0. 026ln 1=-0. 276eV . 5⨯1010

n i

(4) 500K 时：n i =4⨯1014cm -3, 处于过度区n 0+N A =p 0+N D n 0p 0=n i 2

p 0=8. 83⨯1014n 0=1. 9⨯1014E E -E i =-k 0T ln

p 0

=-0. 0245eV n i

21. 试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？

21. 2N C

⎡E -E C ⎤N D F 1⎢F =⎥

2⎣k 0T ⎦1+2E F -E D )

k 0T

发生弱减并E -E =2k T

C F 0

N D si =

2N C

-0. 008

⎡⎤F 1(-2) ⎢1+2e 0. 026⎥2⎣⎦

=

2⨯2. 8⨯1019

3. 14

⨯0. 1⨯(1+2e

-0. 008

0. 026

3

) =7. 81⨯1018/cm （Si )

-0. 0394⎡⎤1830. 026

N =F (-2) 1+2e =1. 7⨯10/cm (Ge ) ⎢⎥D 1Ge 3. 142⎣⎦

22. 利用上题结果，计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主

2⨯1. 05⨯1019

发生电离？导带中电子浓度为多少？

+

n 0=n D =

N D

E -E D

1+2F )

k 0T

+D

Si :n 0=n =

7. 81⨯1018

-0. 0080. 026

=3. 1⨯1018cm -3

1+2e 1. 7⨯1018+18-3

Ge :n 0=n D ==1. 18⨯10cm 0. 0394

1+2e

-0. 026

第四章习题及答案

1. 300K时，Ge 的本征电阻率为47Ωcm ，如电子和空穴迁移率分别为3900cm 2/( V.S)和1900cm 2/( V.S)。 试求Ge 的载流子浓度。

解：在本征情况下，n =p =n i , 由ρ=1/σ=

11

知 =

nqu n +pqu p n i q (u n +u p )

n i =

1113-3

==2. 29⨯10cm -19

ρq (u n +u p ) 47⨯1. 602⨯10⨯(3900+1900)

2. 试计算本征Si 在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/( V.S) 和500cm 2/( V.S) 。当掺入百万分之一的As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率。比本征Si 的电导率增大了多少倍？

解：300K 时，u n =1350cm 2/(V ⋅S ), u p =500cm 2/(V ⋅S ) ，查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为n i =1. 0⨯1010cm -3。 本征情况下，

σ=nqu n +pqu p =n i q (u n +u p ) =1⨯1010⨯1. 602⨯10-19⨯(1350+500) =3. 0⨯10-6S /cm

11

金钢石结构一个原胞内的等效原子个数为8⨯+6⨯+4=8个，查看附录B 知

82

Si 的晶格常数为0.543102nm ，则其原子密度为

8

=5⨯1022cm -3。-73

(0. 543102⨯10)

1

=5⨯1016cm -3，杂

1000000

掺入百万分之一的As, 杂质的浓度为N D =5⨯1022⨯

质全部电离后，N D >>n i ，这种情况下，查图4-14（a ）可知其多子的迁移率为800 cm2/( V.S)

'

σ' ≈N D qu n =5⨯1016⨯1. 602⨯10-19⨯800=6. 4S /cm

σ' 6. 46

==2. 1⨯10比本征情况下增大了倍 -6σ3⨯10

3. 电阻率为10Ω.m 的p 型Si 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度。

解：查表4-15(b)可知，室温下，10Ω.m 的p 型Si 样品的掺杂浓度N A 约为

1. 5⨯1015cm -3, 查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为

n i =1. 0⨯1010cm -3, N A >>n i

p ≈N A =1. 5⨯1015cm -3

n i (1. 0⨯1010) 2n ===6. 7⨯104cm -3 15

p 1. 5⨯10

4. 0.1kg 的Ge 单晶，掺有3.2⨯10-9kg 的Sb ，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μn =0.38m2/( V.S),Ge的单晶密度为5.32g/cm3,Sb 原子量为121.8]。 解：该Ge 单晶的体积为：V =

0. 1⨯1000

=18. 8cm 3;

5. 32

2

3. 2⨯10-9⨯1000

⨯6. 025⨯1023/18. 8=8. 42⨯1014cm 3 Sb 掺杂的浓度为：N D =

121. 8

查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度n i ≈2⨯1013cm -3，属于过渡区

n =p 0+N D =2⨯1013+8. 4⨯1014=8. 6⨯1014cm -3

ρ=1/σ≈

11

==1. 9Ω⋅cm 14-194

nqu n 8. 6⨯10⨯1. 602⨯10⨯0. 38⨯10

5. 500g的Si 单晶，掺有4.5⨯10-5g 的B ，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μp =500cm2/( V.S),硅单晶密度为2.33g/cm3,B 原子量为10.8]。 解：该Si 单晶的体积为：V =

500

=214. 6cm 3; 2. 33

4. 5⨯10-5

⨯6. 025⨯1023/214. 6=1. 17⨯1016cm 3 B 掺杂的浓度为：N A =

10. 8

查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为n i =1. 0⨯1010cm -3。 因为N A >>n i ，属于强电离区，p ≈N A =1. 12⨯1016cm -3

ρ=1/σ≈

11

==1. 1Ω⋅cm 16-19

pqu p 1. 17⨯10⨯1. 602⨯10⨯500

6. 设电子迁移率0.1m 2/( V∙S),Si 的电导有效质量m c =0.26m0, 加以强度为104V/m的电场，试求平均自由时间和平均自由程。 解：由μn =

q τn

知平均自由时间为 m c

τn =μn m c /q =0. 1⨯0. 26⨯9. 108⨯10-31/(1. 602⨯10-19) =1. 48⨯10-13s

由于电子做热运动，则其平均漂移速度为

3k τ

=（0n ) 2=2. 3⨯105ms -1

m c

平均自由程为

1

=n =2. 3⨯105⨯1. 48⨯10-13=3. 4⨯10-8m

7. 长为2cm 的具有矩形截面的G e 样品，截面线度分别为1mm 和2mm ，掺有1022m -3受主，试求室温时样品的电导率和电阻。再掺入5⨯1022m -3施主后，求室温时样品的电导率和电阻。

解：N A =1. 0⨯1022m -3=1. 0⨯1016cm -3，查图4-14（b ）可知，这个掺杂浓度下，Ge 的迁移率u p 为1500 cm 2/( V.S), 又查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度n i ≈2⨯1013cm -3，N A >>n i ，属强电离区，所以电导率为

σ=pqu p =1. 0⨯1016⨯1. 602⨯10-19⨯1500=2. 4Ω⋅cm 电阻为

R =ρ

l l 2

===41. 7Ω s σ⋅s 2. 4⨯0. 1⨯0. 2

掺入5⨯1022m -3施主后

n =N D -N A =4. 0⨯1022m -3=4. 0⨯1016cm -3

总的杂质总和N i =N D +N A =6. 0⨯1016cm -3，查图4-14（b ）可知，这个浓度下，Ge 的迁移率u n 为3000 cm2/( V.S),

σ' =nqu n =nqu n =4. 0⨯1016⨯1. 602⨯10-19⨯3000=19. 2Ω⋅cm

电阻为

R =ρ

l l 2=' ==5. 2Ω s σ⋅s 19. 2⨯0. 1⨯0. 2

8. 截面积为0.001cm 2圆柱形纯Si 样品，长1mm, 接于10V 的电源上，室温下希望通过0.1A 的电流，问： ①样品的电阻是多少？ ②样品的电阻率应是多少？ ③应该掺入浓度为多少的施主？

V 10==100Ω I 0. 1

Rs 100⨯0. 001==1Ω⋅cm ② 样品电阻率为ρ=l 0. 1

解：① 样品电阻为R =

③ 查表4-15（b ）知，室温下，电阻率1Ω⋅cm 的n 型Si 掺杂的浓度应该为

5⨯1015cm -3。

9. 试从图4-13求杂质浓度为1016cm -3和1018cm -3的Si ，当温度分别为-50O C 和+150O C 时的电子和空穴迁移率。

解：电子和空穴的迁移率如下表，迁移率单位cm 2/( V.S)

10. 试求本征Si 在473K 时的电阻率。

解：查看图3-7，可知，在473K 时，Si 的本征载流子浓度n i =5. 0⨯1014cm -3，在这个浓度下，查图4-13可知道u n ≈600cm 2/(V ⋅s ) ，u p ≈400cm 2/(V ⋅s )

ρi =1/σi =

1n i q (u n +u p )

=

1

=12. 5Ω⋅cm 14-19

5⨯10⨯1. 602⨯10⨯(400+600)

11. 截面积为10-3cm 2, 掺有浓度为1013cm -3的p 型Si 样品，样品内部加有强度为103V/cm的电场，求；

①室温时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。 ②400K 时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。 解：

①查表4-15（b ）知室温下，浓度为1013cm -3的p 型Si 样品的电阻率为

ρ≈2000Ω⋅cm ，则电导率为σ=1/ρ≈5⨯10-4S /cm 。 电流密度为J =σE =5⨯10-4⨯103=0. 5A /cm 2 电流强度为I =Js =0. 5⨯10-3=5⨯10-4A

②400K 时，查图4-13可知浓度为1013cm -3的p 型Si 的迁移率约为

则电导率为σ=pqu p =1013⨯1. 602⨯10-19⨯500=8⨯10-4S /cm u p =500cm 2/(V ⋅s ) ，

电流密度为J =σE =8⨯10-4⨯103=0. 8A /cm 2 电流强度为I =Js =0. 8⨯10-3=8⨯10-4A

12. 试从图4-14求室温时杂质浓度分别为1015，1016，1017cm -3的p 型和n 型Si 样品的空穴和电子迁移率，并分别计算他们的电阻率。再从图4-15分别求他们的电阻率。

硅的杂质浓度在1015-1017cm -3范围内，室温下全部电离，属强电离区，n ≈N D 或

p ≈N A

电阻率计算用到公式为ρ=

11

或ρ= pqu p nqu n

13. 掺有1.1⨯1016硼原子cm -3和9⨯1015磷原子cm -3的S i 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率。 解：室温下，Si 的本征载流子浓度n i =1. 0⨯1010/cm 3 有效杂质浓度为：N A -N D =1. 1⨯1016-9⨯1015=2⨯1015/cm 3

区

>>n i ，属强电离

多数载流子浓度p ≈N A -N D =2⨯1015/cm 3

n i 1⨯1020

少数载流子浓度n ===5⨯104/cm 3 15

p 02⨯10

总的杂质浓度N i ≈N A +N D =2⨯1016/cm 3，查图4-14（a ）知，

2

u p 多子≈400cm 2/V ⋅s , u n 少子≈1200cm 2/V ⋅s

电阻率为

ρ=

111

≈==7. 8Ω. cm

pqu p +nqu n u p qp 1. 602⨯10-19⨯2⨯1015⨯400

14. 截面积为0.6cm 2、长为1cm 的 n 型GaAs 样品，设u n =8000 cm 2/( V∙S),n=1015cm -3，试求样品的电阻。 解：ρ=

11

==0. 78Ω. cm nqu n 1. 602⨯10-19⨯1⨯1015⨯8000

l

=0. 78⨯1/0. 6=1. 3Ω s

电阻为R =ρ

15. 施主浓度分别为1014和1017cm -3的两个Ge 样品，设杂质全部电离： ①分别计算室温时的电导率；

②若于两个GaAs 样品，分别计算室温的电导率。 解：查图4-14（b ）知迁移率为

Ge 材料，

浓度为1014cm -3，σ=nqu n =1. 602⨯10-19⨯1⨯1014⨯4800=0. 077S /cm 浓度为1017cm -3，σ=nqu n =1. 602⨯10-19⨯1⨯1017⨯3000=48. 1S /cm GaAs 材料，

浓度为1014cm -3，σ=nqu n =1. 602⨯10-19⨯1⨯1014⨯8000=0. 128S /cm 浓度为1017cm -3，σ=nqu n =1. 602⨯10-19⨯1⨯1017⨯5200=83. 3S /cm

16. 分别计算掺有下列杂质的Si ，在室温时的载流子浓度、迁移率和电阻率： ①硼原子3⨯1015cm -3;

②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3 ③磷原子1.3⨯1016cm -3+硼原子1.0⨯1016cm

④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3。

解：室温下，Si 的本征载流子浓度n i =1. 0⨯1010/cm 3，硅的杂质浓度在1015-1017cm -3

范围内，室温下全部电离，属强电离区。 ①硼原子3⨯1015cm -3

n 1⨯10202

p ≈N 15

3

n =i 43

A =3⨯10/cm p =3⨯10

15

=3. 3⨯10/cm 查图4-14（a ）知，μ2p =480cm /V ⋅s

ρ=

1u =1

1. 602⨯10-19⨯3⨯1015⨯480

=4. 3Ω. cm

p qN A ②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3

p ≈N A -N D =(1. 3-1. 0) ⨯1016/cm 3=3⨯1015/cm 3

2

n =n i =1⨯1020=3. 3⨯104/cm 3p 3⨯10

15

N i =N A +N D =2. 3⨯1016/cm 3，查图4-14（a ）知，μp =350cm 2/V ⋅s

ρ≈

1u qp =1

1. 602⨯10-19⨯3⨯1015⨯350

=5. 9Ω. cm p ③磷原子1.3⨯1016cm -3+硼原子1.0⨯1016cm

n ≈N D -N A =(1. 3-1. 0) ⨯1016/cm 3=3⨯1015/cm 3

2

p =n i n =1⨯10203⨯10

15

=3. 3⨯104/cm 3 N i =N A +N D =2. 3⨯1016/cm 3，查图4-14（a ）知，μn =1000cm 2/V ⋅s

ρ≈

1u qp =1

1. 602⨯10-19⨯3⨯1015

=2. 1Ω. cm n ⨯1000

④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3

2

n ≈N D 1-N A +N =3⨯1015

/cm 3

, p =n i n =1⨯1020

D 2

3⨯10

15=3. 3⨯104/cm 3 N 3i =N A +N D 1+N D 2=2. 03⨯1017/cm ，查图4-14（a ）知，μ2n =500cm /V ⋅s ρ≈

1u =1

19=4. 2Ω. cm n qp 1. 602⨯10-⨯3⨯1015⨯500

,

,

17. ①证明当u n ≠u p 且电子浓度n=ni p u n , p =n i u n u p 时，材料的电导率最小，并求σmin 的表达式。

n

解：σ=pqu p +nqu n =i qu p +nqu n

n n d σ

=q (-i 2u p +u n ), dn n

2

2

2

2n i d 2σ

=q u p 23

dn n

2

n d σ

令=0⇒(-i 2u p +u n ) =0⇒n =n i p /u n , p =n i u /u p dn n

d 2σdn 2

=q

n =n i p n

2n i

3

2

n i (u p /u n ) u p /u n

u p =q

2u n n n i u p p

>0

因此，n =n i p /u n 为最小点的取值

σmin =q (n i u /u p u p +n i p /u n u n ) =2qn i u u p

②试求300K 时Ge 和Si 样品的最小电导率的数值，并和本征电导率相比较。 查表4-1，可知室温下硅和锗较纯样品的迁移率

Si: σmin =2qn i u u p =2⨯1. 602⨯10-19⨯1⨯1010⨯⨯500=2. 73⨯10-7S /cm

σi =qn i (u p +u n ) =1. 602⨯10-19⨯1⨯1010⨯(1450+500) =3. 12⨯10-6S /cm

Ge: σmin =2qn i u u u p =2⨯1. 602⨯10-19⨯1⨯1010⨯3800⨯1800=8. 38⨯10-6S /cm

σi =qn i (u p +u n ) =1. 602⨯10-19⨯1⨯1010⨯(3800+1800) =8. 97⨯10-6S /cm

18. InSB的电子迁移率为7.5m 2/( V∙S), 空穴迁移率为0.075m 2/( V∙S), 室温时本征载流子浓度为1.6⨯1016cm -3, 试分别计算本征电导率、电阻率和最小电导率、最大电导率。什么导电类型的材料电阻率可达最大。

解：σi =qn i (u p +u n ) =1. 602⨯10-19⨯1. 6⨯1016⨯(75000+750) =194. 2S /cm

ρi =1/σi =0. 052Ω. cm

借用17题结果

σmin =2qn i u u p =2⨯1. 602⨯10-19⨯1. 6⨯1016⨯75000⨯750=38. 45S /cm

ρmax =1/σmin =1/12. 16=0. 026Ω. cm

当n =n i p /u n , p =n i u u /u p 时，电阻率可达最大，这时

n =n i 750/75000

19. 假设S i中电子的平均动能为3k 0T /2，试求室温时电子热运动的均方根速度。如将S i 置于10V/cm的电场中，证明电子的平均漂移速度小于热运动速度，设电子迁移率为15000cm 2/( V ∙S). 如仍设迁移率为上述数值，计算电场为104V/cm时的平均漂移速度，并与热运动速度作一比较，。这时电子的实际平均漂移速度和迁移率应为多少？

20. 试证G e 的电导有效质量也为

11⎛12⎫

= +⎪⎪m c 3⎝m 1m t ⎭

第五章习题

1. 在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3, 空穴的寿命为100us 。计算空穴的复合率。

已知：∆p =1013/cm -3, τ=100μs

求：U =？解：根据τ=得：U =

∆p

∆p

U

17310

=100/cm s -6=10⨯10

13

τ

2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩载流子，产生率为,

空穴寿命为τ。

（1）写出光照下过剩载流子所满足的方程； （2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。

解：均匀吸收，无浓度梯度，无飘移。d ∆p ∆p ∴=-+g L

dt τ方程的通解：∆p (t ) =Ae

-t

τ

+g L τ

d ∆p (2) =0

dt

-∆p ∴+g L =0.

τ

∴∆p =g τ

3. 有一块n 型硅样品，寿命是1us ，无光照时电阻率是10Ω∙cm 。今用光照射该样品，光被半导体均匀的吸收，电子-空穴对的产生率是1022cm -3∙s-1, 试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例？ ∆p 光照达到稳定态后. -+g L =0

τ

∆p =∆n =g τ=1022⨯10-6=1016cm -3

1

光照前:ρ0==10Ωcm n 0q μn +p 0q μp

光照后:σ' =np μn +pq μp =n 0q μn +p 0q μp +∆nq μn +∆pq μp

16-1916-19

=0. 10+10⨯1. 6⨯10⨯1350+10⨯1. 6⨯10⨯500=0. 1+2. 96=3. 06s /cm

ρ' =1=0. 32Ωcm .

'

少数载流子对电导的贡献

∆p >p 0. 所以少子对电导的贡献, 主要是∆p 的贡献.

16-19

∴∆p 9u p =10⨯1. 6⨯10⨯500=0. 8=26%

3. 063. 06σ1

σ

4. 一块半导体材料的寿命τ=10us，光照在材料中会产生非平衡载流子，试求光照突然停止20us 后，其中非平衡载流子将衰减到原来的百分之几？

5. n型硅中，掺杂浓度N D =10cm , 光注入的非平衡载流子浓度∆n=∆p=10cm 。计算无光照和有光照的电导率。

16

-3

14

-3

∆p (t ) =∆p (0) e

20

-

t

τ

-∆p (20)

=e 10=13. 5%∆p (0)

光照停止20μs 后，减为原来的13. 5%。

设T =300K , n i =1. 5⨯1010cm -3. ∆n =∆p =1014/cm 3则n 0=1016cm -3, p 0=2. 25⨯104/cm 3n =n 0+∆n , p =p 0+∆p

无光照:σ0=n 0q μn +p 0qu p ≈n 0q μn =1016⨯1. 6⨯10-19⨯1350=2. 16s /cm

有光照:

σ=nq μn +pq μp

=n 0q μn +p 0q μp +∆nq (μn +μp ) ≈2. 16+1014⨯1. 6⨯10-19⨯(1350+500) =2. 16+0. 0296=2. 19s /cm

(注：掺杂1016cm -13的半导体中电子、空穴的迁移率近似等于本征半导体的迁移率）

6. 画出p 型半导体在光照（小注入）前后的能带图，标出原来的的费米能级和光照时的准费米能级。

E c E i E F E v

E c E i

E Fn

E v

E Fp

光照前

15

-3

光照后

7. 掺施主浓度N D =10cm 的n 型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子∆n=∆p=1014cm -3。试计算这种情况下的准费米能级位置，并和原来的费米能级作比较。

度 强电离情况，载流子浓

n =n 0+∆n =1015+1014

=1. 1⨯1015/cm 3 2

n i

p =p 0+∆p =+1014 N D

-3(1. 5⨯1010) 21414

=+10=10/cm

1015

E Fn -E i ⎫⎧

n =n e i ⎪k o T ⎪⎪⎪ ⎨⎬

E i -E FP ⎪ ⎪

p =n i e ⎪k 0T ⎪⎩⎭

∴E

n

=E +k T ln Fn i 0n

i

1.1⨯1015

E -E =k T ln =0.291eV Fn i 0

1.5⨯1010E

P

=E -k T ln FP i 0P

i

1014

E -E =-k T ln =-0.229eV FP i 0101.5⨯10平衡时E -E =k T ln F i o n

i

1014

=k T ln =0.289eV 0101.5⨯10

∴E n -E =0.0025eV

F F

E -E P =0.0517eV F F

N

8. 在一块p 型半导体中，有一种复合-产生中心，小注入时，被这些中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复合的过程具有相同的概率。试求这种复合-产生中心的能级位置，并说明它能否成为有效的复合中心？ 解：根据复合中心的间接复合理论：

复合中心N t . 被电子占据n t , 向导带发射电子

E -E i E -E F

s n n t =r n n 1n t =r n n i e E t -E i n t

r n n i e t =r p n i e i ;

k o T k o T k o T

从价带俘获空穴r n pn t r n ≈r p ∴E t -E i =E i -E F E -E i n o , p 1很小。n 1=p 0代入公式由题知，r n n t n i e t =r p pn t

k o T 11

τ=+, 不是有效的复合中心。

小注入：∆p

E i -E F

p =p +∆p ≈n e 0i k o T 9. 把一种复合中心杂质掺入本征硅内，如果它的能级位置在禁带中央，试证明小注入时的寿命τ=τn+τp 。 本征Si :E =E

F i

因为：E F =E i =E T 所以：n 0=p 0=n 1=p 1

r p (n 0+n 0+∆p ) r n (n 0+n 0+∆p )

+

N t r p r n (n 0+n 0+∆p ) N t r p r n (n 0+n 0+∆p )

E T =E i 复合中心的位置

根据间接复合理论得:

r n (n 0+n 1+∆p ) +r p (p 0+p 1+∆p ) τ=

N t r p r n (n 0+p 0+∆p )

E -E E -E

-c F -F V

n 0=N c e k 0T ; p 0=N c e k o T n 1=N c e

-E C -E T k 0T

τ=

=

11

+=τp +τn

N t r p N t r n

; p 1=N c e

-

E T -E V k 0T

10. 一块n 型硅内掺有1016cm -3的金原子 ，试求它在小注入时的寿命。若一块p 型硅内也掺有1016cm -3的金原子，它在小注入时的寿命又是多少？

N t =1016cm -3

n 型Si 中，A u -对空穴的俘获系数r p 决定了少子空穴的寿命。

11

==8. 6⨯10-10s -1716

r p N t 1. 15⨯10⨯10

11==1. 6⨯10-9s -816

r n N t 6. 3⨯10⨯10

τp =

p 型Si 中，Au +对少子电子的俘获系数r n 决定了其寿命。

τn =

11. 在下述条件下，是否有载流子的净复合或者净产生：

（1）在载流子完全耗尽（即n, p都大大小于n i ）半导体区域。

（2）在只有少数载流子别耗尽（例如，p n >ni0

U =

N t r n r p (np -n ) r n (n +n 1) +r p (p +p 1) -N t r n r p n

2

i

2i

U =

N t r n r p (np -n i 2) r n (n +n 1) +r p (p +p 1)

(1) 载流子完全耗尽，n ≈0, p ≈0

(2) 只有少数载流子被耗尽，（反偏pn 结，p n

-N t r n r p n i 2r n (n +n 1) +r p p 1

U =

r n n 1+r p p 1

复合率为负，表明有净产生

复合率为负，表明有净产生

U =

N t r n r p (np -n i 2) r n (n +n 1) +r p (p +p 1)

22

N t r n r （p n -n i )

(3) n =p , n >>n i

U =

r n (n +n 1) +r p (n +p 1)

>0

复合率为正，表明有净复合

12. 在掺杂浓度N D =1016cm -3，少数载流子寿命为10us 的n 型硅中，如果由于外界作用，少数载流子全部被清除，那么在这种情况下，电子-空穴对的产生率是多大？（E t =Ei ）。

n 0=N D =1016cm 3,

U ==

N t r n r p (np -n i 2) r n (n +n 1) +r p (p +p 1) -N t r n r p n i 2

n i 2

p 0==2. 25⨯104/cm 3 n 0 n =n 0=1016cm 3, p =0, ∆n =0,

∆p =-p 0

r n (n 0+n 1) +r p p 1

-E C -E T k 0T -E T -E v k 0T

n 1=N c e =N c e

-

E c -E i k 0T E i -E v k o T

=n i =n i

p 1=N v e =N v e

-

U =-≈-

N t r n r p n i 2r n n o +r n n i +r p n i r n n 0

=-N t r p p 0=-

p 0

N t r n r p n i 2

τp

2. 25⨯10493=-=-2. 25⨯10/cm s -6

10⨯10

13. 室温下，p 型半导体中的电子寿命为τ=350us，电子的迁移率u n =3600cm-2/(V∙s) 。试求电子的扩散长度。 解：根据爱因斯坦关系： D n

μn

=

k o T

q

k 0T D =μn n

q

L n =D n τn =

k 0T

μn q

-6

=0. 026⨯3600⨯350⨯10=0. 18cm

14. 设空穴浓度是线性分布，在3us 内浓度差为1015cm -3,u p =400cm2/(V∙s) 。试

计算空穴扩散电流密度。

d ∆p dx

k T ∆p =q 0μp

q ∆x

∆p

=k 0T μp

∆x J P =-qD P

1015

=0. 026⨯400⨯

3⨯10-4

=5. 55A /cm 2

15. 在电阻率为1Ω∙cm 的p 型硅半导体区域中，掺金浓度N t =1015cm -3, 由边界稳定注入的电子浓度（∆n ）0=1010cm -3, 试求边界 处电子扩散电流。 根据少子的连续性方程:

无电场, 无产生率, 达到稳定分布d 2∆n ∆n

D P -=0,

τn ∆x 2d 2∆n ∆n -=02

D n τn dx

∂E ∆n ∂∆n ∂∆n ∂∆n

=D p -μp E +μp n -+g p

2

∂t ∂x ∂x τ∂x p

2

由于p -Si 内部掺有N t =1015cm -3的复合中心

∆n 遇到复合中心复合

11τn ===1. 6⨯10-8s -815

r n N t 6. 3⨯10⨯10

方程的通解为:∆n (x ) =Ae

-x

L n

+Be

+

x L n

, L n =D n τn

边界条件:

x =0, ∆n (0) =∆n 0x =∞, ∆n (∞) =0

-x Ln

∴∆n (x ) =∆n 0e ∴J n =qD n =qD n

∆n o D n τn

d ∆n (x ) dx =q

x =0

=qD n

∆n 0L n

k 0T μn

∆n 0

2τn

D n

τn

∆n 0=q

16. 一块电阻率为3Ω∙cm 的n 型硅样品，空穴寿命τp =5us,在其平面形的表面处

有稳定的空穴注入，过剩浓度（∆p ）=1013cm -3。计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度，以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于1012cm -3？

(1) 过剩空穴所遵从的连续性方程为D p

d ∆p ∆p

-=02

τp dx

2

1012=∆p 0e 10

=e ∆p 0

12

-x L p

-

x L p

⎧x =0, ∆p (0) =1013cm -3⎫

边界条件：⎨⎬

x =∞, ∆p (∞) =0⎩⎭

∴∆p (x ) =∆p e 0

-x L p

1012

x =-L p ln 13=L p ln 10

10

, L p =D p τp =qD p

D p ∆p 0

=q ∆p L p τp

J p =qD p

d ∆p

dx

x =0

17. 光照1Ω∙cm 的n 型硅样品，均匀产生非平衡载流子，电子-空穴对产生率

为1017cm -3∙s -1。设样品的寿命为10us ，表面符合速度为100cm/s。试计算： （1）单位时间单位表面积在表面复合的空穴数。

（2）单位时间单位表面积在离表面三个扩散长度中体积内复合的空穴数。 d 2∆p ∆p D p -+g p =02

τdx p

由边界条件得C =-g p τp

s p τp L p +s p τp

⎧∆p (∞) =g p τp ⎫⎪⎪

边界条件：⎨∂∆p (x ) ⎬

D =s (p (0) -p ) x =0p 0⎪⎪p

∂x ⎩⎭x -Lp

解之：∆p (x ) =ce +g p τp

p (x ) =p 0+ce

-x Lp

x -⎡⎤s p τp

L P

∴p (x ) =p 0+τp g p ⎢1-e ⎥

L +s τ⎢⎥p p p ⎣⎦

(1). 单位时间在单位表示积复合的空穴数

+g p τp

s p [p (0) -p 0]=D p

∂∆p

∂x

x =0=D p

c L p

18. 一块掺杂施主浓度为2⨯1016cm -3的硅片，在920o C 下掺金到饱和浓度，然后经氧化等处理，最后此硅片的表面复合中心1010cm -2。

①计算体寿命，扩散长度和表面复合速度。

②如果用光照射硅片并被样品均匀吸收，电子-空穴对的产生率是1017cm -3 s -1，试求表面的空穴浓度以及流向表面的空穴流密度是多少？

第六章答案

第七章答案

1、求Al-Cu 、Au-Cu 、W-Al 、Cu-Ag 、Al-Au 、Mo-W 、Au-Pt 的接触电势差，并标出电势的正负。

解：题中相关金属的功函数如下表所示：

对功函数不同的两种材料的理想化接触，其接触电势差为：

V AB =V A -V B =-(

W A W W -W A

) -(-B ) =B

q q q

故： V Al -Cu =

W Cu -W Al 4.59-4.18==0.41ev q q W Cu -W Au 4.59-5.20

==-0.61ev q q W Al -W W 4.18-4.55

==-0.37ev q q

V Au -Cu =

V W -Al =

V Cu -Ag =

W Ag -W Cu

q

=

4.42-4.59

=-0.17ev q

V Al -Au =

W Au -W Al 5.20-4.18

==1.02ev q q W W -W Mo 4.59-4.18

==0.34ev q q W Pt -W Au 5.43-5.20

==0.23ev q q

V Mo -W =

V Au -Pt =

2、两种金属A 和B 通过金属C 相接触，若温度相等，证明其两端a 、b 的电势

差同A 、B 直接接触的电势差一样。如果A 是Au ，B 是Ag ，C 是Cu 或Al ，则V ab 为多少伏？

解：∵温度均相等，∴不考虑温差电动势

∵V AC =

W C -W A W -W C

，V CB =B q q

W B -W A

=V AB q

两式相加得：V AC ＋V CB =

显然，V AB 与金属C 无关。若A 为Au ，B 为Ag ，C 为Al 或Cu ，则V AB 与Cu 、Al 无关，其值只决定于W Au =5.2eV，W Ag =4.42eV，即

V Au -Ag =

W Ag -W Au

q

=

4.42-5.20

=-0.78V q

3、求N D =1017cm -3的n 型硅在室温下的功函数。若不考虑表面态的影响，它分别同Al 、Au 、Mo 接触时，形成阻挡层还是反阻挡层？硅的电子亲和能取4.05ev 。

解：设室温下杂质全部电离，则其费米能级由n 0=N D =5⨯10cm 求得：

15

-3

N D 1017

E F =E C +kT ln =E C +0.026ln =E C -0.15 eV 19

N C 2.8⨯10

其功函数即为：W S =χ+(E C -E F ) =4.05+0.15=4.20e V

若将其与功函数较小的Al （W Al =4.18eV）接触，则形成反阻挡层，若将其与功函数较

大的Au （W Au =5.2eV）和Mo （W Mo =4.21eV）则形成阻挡层。

5、某功函数为2.5eV 的金属表面受到光的照射。 ①这个面吸收红色光或紫色光时，能发射电子吗？ ②用波长为185nm 的紫外线照射时，从表面发射出来的电子的能量是多少？

解：⑴设红光波长λ＝700nm ；紫光波长λ＝400nm ，则红光光子能量

E 红=hv =h

c

λ

=6.62⨯10

-27

3⨯1010

⨯=6.62⨯10-27⨯0.43⨯1015尔格=1.78eV -87000⨯10

其值小于该金属的功函数，所以红光照射该金属表面不能令其发射电子；而紫光光子能量：

6.62⨯10-27⨯3⨯1010

E 紫==3.1ev

1.6⨯10-12

其值大于该金属的功函数，所以紫光照射该金属表面能令其发射电子。

⑵ λ＝185nm 的紫外光光子能量为：

6.62⨯10-27⨯3⨯1010

E o ==6.7ev -123-8

1.6⨯10⨯1.85⨯10⨯10

发射出来的电子的能量：E =E o -W =6.7-2.5=4.2 eV

6、电阻率为10Ω⋅cm 的n 型锗和金属接触形成的肖特基势垒高度为0.3ev 。求加上5V 反向电压时的空间电荷层厚度。

解：d =⎨-

⎧2εr ε0[(V S ) 0+V ]⎫

⎬

qN ⎩D ⎭

1

2

V =-5V 。 已知：由图4-15查得ρ=10Ω⋅cm 时，q (V S ) 0=-0.3ev ，N D =1.5⨯1014cm -3

2⨯16⨯8.85⨯10-14+(0.3+5) 1-42

]=7.9⨯10cm =7.9μm ∴d =[-1914

1.6⨯10⨯1.5⨯10

7、在n 型硅的（111）面上与金属接触形成肖特基势垒二极管。若已知势垒高度q φ=0.78eV，计算室温下的反向饱和电流。

解：由热电子发射理论知

J sT =A *T 2e

*

-

q φns kT

2

由表7-4查得硅的A =2.2A =2.2⨯120(A /cm ⋅K ) 代入后得

2

J sT =2.2⨯120⨯300e

2

-

0.780.026

=2.23⨯10-6A /cm 2