高考数学压轴大题--解析几何
高考数学压轴大题-解析几何
x 2
1. 设双曲线C ：2-y 2=1(a >0) 与直线l :x +y =1相交于两个不同的点A 、B.
a
（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
5
（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且=. 求a 的值.
12
解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
⎧x 22
⎪2-y =1,
⎨a
⎪x +y =1. ⎩
有两个不同的实数解. 消去y 并整理得
（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①
2
⎧⎪1-a ≠0. 所以⎨4
22
⎪⎩4a +8a (1-a ) >0.
解得0
+a 2
e ==
a
1+1. 2a
0
∴e >且e ≠2
2
6
, 2) (2, +∞). 2
（II ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (0, 1)
5
PA =PB ,
12
5
∴(x 1, y 1-1) =(x 2, y 2-1).
125
由此得x 1=x 2.
12
由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，
172a 2
所以x 2=-. 2
121-a
522a 2
x 2=-. 121-a 2
2a 2289
消去, x 2, 得-=
1-a 26017
由a >0, 所以a =
13
即离心率e 的取值范围为(
2. 已知F 1(-1, 0) , F 2(1, 0) 为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量PF 1与向量PF 2的
1
夹角余弦的最小值为.
3
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过F 1 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求∆OMN （O 为原点）的面积的最大值及相
应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ) 设椭圆的长轴为2a ,
=2a
=2c =2
cos θ=
PF 1+PF 2-42PF 1⋅PF 2
2
2
=
(PF 1+PF 2) 2-2PF 1⋅PF 2-4
2PF 1⋅PF 2
4a 2-4=-1
2PF 1⋅PF 2又
≥2PF 1⋅PF 2
2
∴PF 1⋅PF 2≤a
4a 2-4212
-1=1-=a =3 即cos θ≥ ∴22
32a a
x 2y 2
=1 ∴椭圆方程为+
32
(Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点, 则可设直线NM 的方程为:x +1=my 设M (x 1, y 1) N (x 2, y 2)
11
S ∆OMN =S ∆F 1OM +S ∆F 1ON =OF 1(y 1+y 2)=y 1-y 2
22
⎧x 2y 2
=1, ⎪+
⎨32
⎪x =my -1. ⎩
2(my -1) 2+3y 2-6=0
即 (2m 2+3) y 2-4my -4=0 . 由韦达定理得:
4m 4
y ⋅y =- y 1+y 2= 12
2m 2+32m 2+32
∴y 1-y 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2
16m 21648(m 2+1)
= = +22222
(2m +3) 2m +3(2m +3)
令t =m 2+1 , 则t ≥1
248t 48
∴y 1-y 2=. =2
1(2t +1) 4t ++4t
1
又令f (t ) =4t +, 易知f (t ) 在[1,+∞）上是增函数
,
t
所以当t =1, 即m =0 时f (t ) 有最小值5. ∴y 1-y 2有最大值直线l 的方程为x =-1.
3. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e
C (-1，0) 的直线l 交椭圆于2
162 ∴S ∆OMN 的面积有最大值. 33
A 、B 两点，且满足：CA =λBC (λ≥2) ．
(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．
(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率k (k ∈R )分别为何值时，椭圆
E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
x 2y 2
解：设椭圆方程为2+2=1(a ＞b ＞0) ，
a b
c 由e =a 2= b 2+c 2得a 2=3 b2，
a
故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ) ∵直线l ：y = k (x ＋1) 交椭圆于A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 两点，并且CA =λBC (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2) ， ⎧x +1=-λ(x 2+1) 即⎨1 ②
y =-λy 2⎩1
把y = k (x +1) 代入椭圆方程，得(3k 2+1) x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1) +b 2＞0 （*），
6k 2∴x 1+x 2= -2， ③
3k +13k 2-3b 2
x 1x 2=， ④
3k 2+111|λ+1|
∴S ∆O AB =|y 1-y 2| =|λ+1|·| y 2| =·| k |·| x 2+1|．
222
2
联立②、③得x 2+1=，
(1-λ)(3k 2+1)
λ+1|k |
2 (k ≠0)． λ-13k +1λ+1|k |
(Ⅱ) S ∆OAB =
λ-13k 2+1λ+11=
λ-13|k |+|k |
λ+1≤(λ≥2)． λ-
1∴S ∆O AB =
当且仅当3| k | =
1，即k
=S ∆OAB 取得最大值，此时x 1+x 2= -1． |k |又∵x 1+1= -λ( x 2+1) ，
λ2+11λ2
∴x 1=，x 2= -，代入④得3b =．此时3b 2≥5，k , b 的值符合(*) 2
(λ-1) λ-1λ-1λ2+1
故此时椭圆的方程为x ＋3y =(λ≥2)．
(λ-1) 2
2
2
(Ⅲ) 由②、③联立得：
-2λ
x 1=-1，
(1-λ)(3k 2+1)
x 2=
2
-1，
(1-λ)(3k 2+1)
4λ
+1．
(λ-1) 2(3k 2+1)
将x 1，x 2代入④，得3b 2=由k 2=λ-1得3b 2=
=
4λ
+1
(λ-1) 2(3λ-2)
43
⎡1⎤2
+⎢(λ-1) 2(λ-1) 2(3λ-2) ⎥＋1．
⎣⎦
易知，当λ≥2时，3b 2是λ的减函数，
故当λ=2时，3b 2取得最大值3． 所以，当λ=2，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，
此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．
4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与=(3, -1) 共线. （I ）求椭圆的离心率；
（II ）设M 为椭圆上任意一点，且OM =λOA +μOB (λ, μ∈R ) ，证明λ2+μ2为定值.
x 2y 2
解：（I ）设椭圆方程为2+2=1(a >b >0), F (c , 0),
a b
x 2y 2
则直线AB 的方程为y =x -c , 代入2+2=1.
a b
22222222
化简得(a +b ) x -2a cx +a c -a b =0. 令A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),
2a 2c a 2c 2-a 2b 2
, x 1x 2=. 则 x 1+x 2=2
a +b 2a 2+b 2
由+=(x 1+x 2, y 1+y 2), =(3, -1), +与共线，得
3(y 1+y 2) +(x 1+x 2) =0.
又∴∴
y 1=x 1-c , y 2=x 2-c , 3(x 1+x 2-2c ) +(x 1+x 2) =0, x 1+x 2=
3c . 2
2a 2c 3c 22
即=, 所以a =3b . 22
2a +b
6a
∴c =a 2-b 2=,
3
c 6
故离心率e ==.
a 3
x 2y 2
（II ）证明：由（I ）知a =3b ，所以椭圆2+2=1可化为x 2+3y 2=3b 2.
a b
设=(x , y ), 由已知得(x , y ) =λ(x 1, y 1) +μ(x 2, y 2),
⎧x =λx 1+μx 2, ∴ ⎨
⎩y =λy 1+μy 2.
2
2
M (x , y ) 在椭圆上，
∴(λx 1+μx 2) 2+3(λy 1+μy 2) 2=3b 2.
22
即 λ2(x 12+3y 12) +μ2(x 2 +3y 2) +2λμ(x 1x 2+3y 1y 2) =3b 2. ①
331
由（I ）知x 1+x 2=c , a 2=c 2, b 2=c 2.
222a 2c 2-a 2b 232
∴x 1x 2==c . 22 8a +b ∴x 1x 2+3y 1y 2=x 1x 2+3(x 1-c )(x 2-c )
=4x 1x 2-3(x 1+x 2) c +3c 2
3292
c -c +3c 2 22=0. 22
又x 12+3y 12=3b 2, x 2得 λ2+μ2=1. +3y 2=3b 2又，代入①故λ2+μ2为定值，定值为1.
=
x 2
5. 已知椭圆+y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点.
2
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴
交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.
解：（I ）a 2=2, b 2=1, ∴c =1, F (-1,0), l :x =-2. 圆过点O 、F ，
1
∴圆心M 在直线x =-上。
2
1
设M (-, t ), 则圆半径
213r =(-) -(-2) =.
22
3由OM =
r , =,
2
解得t =
19
∴
所求圆的方程为(x +) 2+(y ±2=.
24
（II ）设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),
x 2
代入+y 2=1, 整理得(1+2k 2) x 2+4k 2x +2k 2-2=0.
2
直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。 记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 中点N (x 0, y 0),
4k 2
则x 1+x 2=-2,
2k +1
1
∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y -y 0=-(x -x 0).
k
令y =0, 得
2k 2k 2k 211
x G =x 0+ky 0=-2+2=-2=-+2.
2k +12k +12k +124k +2 1
k ≠0, ∴-
2
1
∴点G 横坐标的取值范围为(-,0).
2
6. 已知点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) (x 1x 2≠0) 是抛物线y 2=2px (p >0) 上的两个动点, O 是坐标原点,
向量OA , OB 满足OA +OB =OA -OB . 设圆C 的方程为
x 2+y 2-(x 1
+x 2) x -(y 1+y 2) y =0 (I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为(I)证明1:
2
时，求p 的值。 5
OA +OB =OA -OB , ∴(OA +OB ) 2=(OA -OB ) 2
2
2
2
OA +2OA ⋅OB +OB =OA -2OA ⋅OB +OB 整理得: OA ⋅OB =0 ∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点, 则MA ⋅MB =0 即(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
整理得:x 2+y 2-(x 1+x 2) x -(y 1+y 2) y =0 故线段AB 是圆C 的直径 证明2:
2
OA +OB =OA -OB , ∴(OA +OB ) 2=(OA -OB ) 2
2
2
2
OA +2OA ⋅OB +OB =OA -2OA ⋅OB +OB 整理得: OA ⋅OB =0
∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0……..(1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 y -y 2y -y 1即⋅=-1(x ≠x 1, x ≠x 2) x -x 2x -x 1
去分母得: (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
点(x 1, y 1),(x 1, y 2),(x 2, y 1)(x 2, y 2) 满足上方程, 展开并将(1)代入得: x 2+y 2-(x 1+x 2) x -(y 1+y 2) y =0 故线段AB 是圆C 的直径 证明3:
2
OA +OB =OA -OB , ∴(OA +OB ) 2=(OA -OB ) 2
2
2
2
OA +2OA ⋅OB +OB =OA -2OA ⋅OB +OB 整理得: OA ⋅OB =0 ∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 20=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为
x +x y +y 221(x -12) 2+(y -1) =[(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2]
224
展开并将(1)代入得: x 2+y 2-(x 1+x 2) x -(y 1+y 2) y =0 故线段AB 是圆C 的直径 (II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则
x 1+x 2⎧x =⎪⎪2
⎨
y +y 2⎪y =1
⎪⎩2
y 12y 2222
y 1=2px 1, y 2=2px 2(p >0) ∴x 1x 2=2
4p
y 12y 22
又因x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0 ∴x 1⋅x 2=-y 1⋅y 2 ∴-y 1⋅y 2= 2
4p
x 1⋅x 2≠0, ∴y 1⋅y 2≠0 ∴y 1⋅y 2=-4p 2 x +x y y 111x =12=(y 12+y
22) =(y 12+
y 22+2y 1y 2) -12=(y 2+2p 2)
24p 4p 4p
p 所以圆心的轨迹方程为y 2=px -2p 2 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d, 则
1
|(y 2+2p 2) -2y |
2222
d === =
∴p =2. =
5解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
当y=p时,d 有最小值
x 1+x 2⎧x =⎪⎪2
⎨
⎪y =y 1+y 2⎪⎩2
y 12y 22
y =2px 1, y 2=2px 2(p >0) ∴x 1x 2=2
4p
21
2
y 12y 22
又因x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0 ∴x 1⋅x 2=-y 1⋅y 2 ∴-y 1⋅y 2=
4p 2
x 1⋅x 2≠0, ∴y 1⋅y 2≠0 ∴y 1⋅y 2=-4p 2 x +x y y 111x =12=(y 12+y 22) =(y 12+y 22+2y 1y 2) -12=(y 2+2p 2)
24p 4p 4p p 所以圆心的轨迹方程为y 2=px -2p 2 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
因为x-2y+2=0与y 2=px -2p 2无公共点,
所以当x-2y-2=0与y 2=px -2p 2仅有一个公共点时, 该点到直线x-2y=0
⎧x -2y -2=0(2)
⎨22
y =px -2p (3)⎩
将(2)代入(3)得y 2-2py +2p 2-2p =0 ∴∆=4p 2-4(2p 2-2p ) =0 p >0
∴p =2.
解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
x 1+x 2⎧x =⎪⎪2
⎨
⎪y =y 1+y 2⎪⎩2
圆心C 到直线x-2y=0的距离为d, 则
x +x
|12-(y 1+y 2) |
d =
y 12y 2222
y 1=2px 1, y 2=2px 2(p >0) ∴x 1x 2=2
4p
则m =±2 y 12y 22
又因x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0 ∴x 1⋅x 2=-y 1⋅y 2 ∴-y 1⋅y 2= 2
4p
x 1⋅x 2≠0, ∴y 1⋅y 2≠0 ∴y 1⋅y 2=-
4p 2
1|(y 12+y 22) -(y 1+y 2) |
22222∴d =
= =
当y 1+y 2=2p 时,d
∴p =2.
=
11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，A (2，，0) B (0，1) 是它的两个顶点，直线
y =kx (k >0) 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若ED =6DF ，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．
11．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
x
+y 2=1， 4
2
直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0) ． 2分 如图，设D (x 0，kx 0) ，E (x 1，kx 1) ，F (x 2，kx 2) ，其中x 1 且x 1，x 2满足方程(1+4k ) x =4，
故x 2=-x 1=
22
．①
15 由ED =6DF 知x 0-x 1=6(x 2-
x 0) ，得x 0=(6x 2+x 1) =x 2=；
77 由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=
所以
2
． 1+2k
232， 化简得24k 2-25k +6=0， 解得k =或k =． 6分 =
381+2k （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为
h 1=
=
，
h 2=
=
． 9分
又AB ==AEBF 的面积为
11
S =AB (h 1+h 2)
=
22
=
=
≤
当2
k =1，即当k =
1
时，上式取等号．所以S 的最大值为 2
12分
解法二：BO =1AO =2． 设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2>0，y 2=-y 1>0， 故四边形AEBF 的面积为 S =S +S △B E F △
A E
=x 2+2y 2
9分
=
=
= 当x 2=2y 2时，上式取等号．所以S
的最大值为
12分
1x 2y 2
=1a >的离心率e =. 直线x =t （t >0）与曲线E 交于不同的12
、已知椭圆E :2+
2a 3
(两点M , N , 以线段MN 为直径作圆C , 圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；
(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点A , B ，求∆ABC 的面积的最大值.
1x 2y 21
=1(a >3)的离心率e =,
12、（1）解：∵椭圆E :2+=. …… 2分
23a 2
x 2y 2
=1． …… 4分 解得a =2. ∴ 椭圆E 的方程为+
43
（2）解法1：依题意，圆心为C (t ,0)(0
⎧x =t , 212-3t ⎪22
由⎨x 得y =. ∴ 圆C
的半径为r =． …… 6分 y 2
4=1, ⎪+
⎩43∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点A , B ，且圆心C 到y 轴的距离d =t ，
∴
0
0
7∴
弦长|AB |=== …… 8分
∴∆
ABC 的面积S =
1
⋅ …… 9分
2
=
)
≤
)2
+12-7t 22
=
…… 12分
当且仅当=
，即t =时，等号成立. 7
∴ ∆
ABC 的面积的最大值为． …… 14分 7
解法2：依题意，圆心为C (t ,0)(0
⎧x =t , 212-3t ⎪22 由⎨x 得y =. ∴ 圆C
的半径为r =． …… 6分 y 24=1, ⎪+⎩43
12-3t 2
∴ 圆C 的方程为(x -t ) +y =． 422
∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点A , B ，且圆心C 到y 轴的距离d =t ，
∴
0
0
0，得y =± 4222
∴
弦长|AB |= （资料来源：数学驿站 www.maths168.com） …… 8分 ∴∆
ABC 的面积S =1⋅ …… 9分
2
=
) ≤
)2+12-7t 2
2
=
……
12分 7
时，等号成立. ∴ ∆ABC 的面积的最大值为7当且仅当
=，即t
=
． x 2y 2
15、已知椭圆∑：2+2=1（a >b >0）的上顶点为P (0 , 1) ，过∑的焦点且垂直长轴的弦a b
长为1．若有一菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆∑上，该菱形对角线BD 所在直线的斜率为-1．
⑴求椭圆∑的方程；
⑵当直线BD 过点(1 , 0) 时，求直线AC 的方程；
π∠ABC =⑶（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形ABCD 面积的最大值． ．．．．．．．．．．．．3
c 2y 2b 22b 2
=1，15、解：⑴依题意，b =1……1分，解2+2=1……2分，得|y |=……3分，所以a a a b
x 2
a =2……4分，椭圆∑的方程为+y 2=1……5分。 4
⑵直线BD ：y =-1⨯(x -1) =-x +1……7分，设AC ：y =x +b ……8分，由方程组⎧y =x +b 55x 2⎪22222∆=(2b ) -4⨯⨯(b -1) =5-b >0+2bx +(b -1) =0得……9分，当⎨x 244⎪+y =1⎩4
时……10分，A (x 1, y 1) 、C (x 2, y 2) 的中点坐标为x 1+x 24b y +y 2x 1+x 2b =-1=+b =……25225
b 4b 5=+1……13分，解得b =-，满55312分，ABCD 是菱形，所以AC 的中点在BD 上，所以
5足∆=5-b 2>0，所以AC 的方程为y =x -……14分。 3
⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =π
3，所以AB =AC =BC ，所以菱形ABCD 的面积S =⨯AC 2，由⑵可2
得AC 2=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2=2(x 2-x 1) 2=2(x 2+x 1) 2
-8x 1x 2=2⨯(-8b 243232) -8⨯⨯(b 2-1) =-⨯b 2，因为|b |
形ABCD 的面积取得最大值，最大值为
32163。 ⨯=255