向量题型分析难题集
向量题型分析,难题集
一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式
例1 向量法证明两角差的余弦公式cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β
析:教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识,运用向量工具进行探索,过程十分简洁! 例2 证明:对于任意的a , b , c , d ∈R ,恒有不等式
(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2).
证明:设u =(a , b ), v =(c , d ), u ⋅v ≤u ⋅v ∴ac +bd ≤
a 2+b 2c 2+d 2
2
即(ac +bd )≤a 2+b 2c 2+d 2 例3 向量法证明勾股定理。
()()
2 2
证明:如图,a ⊥b , c =a +b , c =
c =a +b
()
2
2 2 2 2
=a +2a b +b =a +b
B
C A
利用向量还可以证明平面几何的许多命题,例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。 例4.在△ABC 内求一点P ,使AP +BP +CP 的值最小。
解:如图,设=,=,=,=—,=—。 ∴AP +BP +CP =(x —a ) +(x —b ) +x =3x —2(a +b )x +a +b =3[x -
2211
(+)]2+a +b -(+) 2。 332
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即c =a +b
222
根据向量运算的意义,知
1 222
当x =(a +b ) 时,AP +BP +CP 有最小值。
3
设M 为AB 的中点,易知a +b =2,
2 1
即当=(a +b ) 时,CP =CM ,此时P 为三角形的重心。
33
二、向量法解决代数中的最值问题
例5 x +y =3, a +b =4.(x , y , a , b ∈R ) 求ax +by 的最值.
解:构造向量m =(x , y ). n =(a , b ).
因为ax +by =m ⋅n ≤m ⋅n =所以ax +by ≤
2
2
2
2
=评:向量是解决数学问题的重要工具,根据函数的形式,结构特征,巧妙构造向量可化难为易,获得新颖、快捷的解法。
例2:
求函数y =的最大值。
解:因为 5-x ≥0 ;
所以 -2≤x ≤
5
{2x +4≥0
(
)
y ==
设p =, q =则
p =q =
y =p ⋅q ≤p . q =当且仅当p 与q 平行且方向相同时不等式取等号
即,=
88
解之得,当x =
时,y max =三.向量的线性运算,面积结论,三角形几个心问题
1. 已知O 是∆ABC 所在平面内的一点,内角A,B,C 所对应的边长分别为a , b , c ,若aO A +bO B +cO C =0,则O 是
∆ABC 的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
2
已知O 是∆ABC 所在平面内的一点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足
O P =O A +λ
(
A +C , A B (0, +∞), 则动点P 的轨迹一定通过∆ABC λ∈
)
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3
已知O 是∆ABC 所在平面内的一点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足
⎫⎛ A B A C
O P =O +A λ +⎪, λ∈(0, +∞), 则动点P 的轨迹一定通过∆ABC
A ⎪A C ⎝⎭
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
4
已知O 是∆ABC 所在平面内的一点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足
⎛⎫ A B A C ⎪, λ∈(0, +∞), 则动点P 的轨迹一定通过∆ABC O P =O +A λ + A c o s B C c o ⎪s C ⎝⎭
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
5
∆ABC
的外接园的园心为
O
,P 是
∆ABC
所在平面上的一点,若
1-l OA +1-l OB +1+2l OC OP =l ? R ) ,则P 必过三角形的 ( ) (3
(A ) 外心 (B ) 内心 (C ) 重心 (D ) 垂心
6
2 2 2 2 2 2
若定点O 满足OA +BC =OB +CA =OC +AB ,则O 是∆ABC ( )
(A ) 外心 (B ) 内心 (C ) 重心 (D ) 垂心
7设O (0,0), A (1,0), B (0,1), 点P 是线段AB 上的一个动点, AP =λAB , 若OP ⋅AB ≥PA ⋅PB , 则实数λ的取值范
围是
A .
11≤λ≤1
B . 1- D .
1-≤λ
≤1 C . ≤λ
≤1+≤λ≤1+222222
2 1 2 8如图, 设P , Q 为∆ABC 内的两点, 且AP =AB +AC , AQ =AB +
355
1
AC , 则∆ABP 的面积与∆ABQ 的面积之比为( ) 4
1141
A. B. C. D.
5354
如图,已知C 为AB 上一点,P 为AB 外一点,满足|PA |-|PB |= 2,
9
|-|=2,
为( )
=
,I 为PC 上一点,且有=+λλ>0) 的值
A .1 B.2 C.5+1 D.–1
→
10
若向量a 与b 不共线,a ∙b ≠0,且c =a -(→
→→→→→→
a ∙a a ∙b
→→
) b ,则向量a 与c 的夹角为
→→→
( )
(A )0 (B )
πππ
(C ) (D ) 632
PA +PB PC
22
2
11在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则
A .2 B.4 C.5 D.10
=
12
x 2
-y 2=1的渐近线交于E 1, E 2两点,记如图所示,直线x =2与双曲线C :4
ΓOE 1=e 1, OE 2=e 2,任取双曲线上的点P ,若OP =ae 1, +be 2(a 、b ∈R ) ,则
a , b 满足的一个等式是 ____
13已知O 为锐角∆
ABC 的外心,
=16=102,若AO =x AB +y AC ,且32x
+25y =25=
14,B,P 是直线l 上不同的三点,点O 直线l 外,若OP =
m AP +(2m -3)OB =
15. 各棱长都等于2的四面体ABCD 中,设G 为BC 的中点,E 为∆ABC 内动点,且GE //面ABD ,若
=
⋅=
12,
2
16平面上O,A,B 三点不共线,设OA =a, OB =b ,则△OAB 的面积等于(c )
(B)
(C)
(D) 17
且
设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3=λA 1A 2 (λ∈R) ,A 1A 4=μA 1A 2(μ∈R) ,
+1
1
λμ
=2, 则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2 ,已知点C(c,o),D(d,O) (c,d ∈R) 调和分割点A(0,0) ,B(1,0) ,
则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB 的中点 (B)D可能是线段AB 的中点
(C)C,D 可能同时在线段AB 上
(D) C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上
18
→→→AB ⋅BC ==已知A , B , C
不共线,且有则请比较AB , CA , BC 的大小____________ 1→→→→→→
19设o 是∆ABC 内的一点,求OA 2+OB 2+OC 2的最小值
20
10
b 、c 满足|a |=|b |=1, a ⋅b =-, ,=60,则c 的最大值等于 设向量a 、
2
(A)2
(D)1
21
在△ABC 中,E 、F 分别为AB ,AC 中点.P 为EF 上任一点, 实数x ,y 满足PA +x PB +y PC =0. 设△ABC ,△PBC ,
S S 1S
=λ1, 2=λ2, 3=λ3, 则λ2 λ3取最大值时,2x +y 的值为 S S S 33
A. -1 B. 1 C. - D.
22
△PCA ,△P AB 的面积分别为S ,S 1,S 2,S 3,记
22定义域为[a,b]的函数y =
f (x ) 图像的两个端点为A 、B ,M (x , y )是f (x ) 图象上任意一点,其中
x =λa +(1-λ) b ∈[a , b ], 已知向量ON =λOA +(1-λ) OB ,若不等式|MN |≤k 恒成立,则称函数
1
f (x ) 在[a , b ]上“k阶线性近似”。若函数y =x -在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k 的取值范围为
x
133
A .[0,+∞) B .[, +∞) C
.[++∞) D
.[-+∞)
1222
23
。
给定两个长度均为2的平面向量向量, ,它们的夹角为150,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动. 若
=
x +y ,则x +y 的最大值是 3
24
⎛⎫OQ ⎪
在平面直角坐标系中点A (5, 0). 对于某个正实数k ,存在函数f
(x )=ax (a >0),使得=λ⋅⎪, 其中OQ ⎪⎭
2
点P , Q 的坐标分别为(1, f (1)), (k , f (k )),则k 的取值范围是 25
如图1:OM ∥AB ,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域
内(不含边界). 且OP =x OA +y OB ,则实数对(x , y )可以是
1322
A .(, ) B. (-, )
44331317 C. (-, ) D. (-, )
4455
26
1,
设P 是△ABC 内任意一点,S △ABC 表示△ABC 的面积,λ1=
S S S ∆PBC
, λ2=∆PCA ,λ3=∆PAB ,定义f (P)=(λ
S ∆ABC S ∆ABC S ∆ABc
( )
λ2, λ3), 若G 是△ABC 的重心,f (Q)=(,,),则
1
21316
A .点Q 在△GAB 内 B .点Q 在△GBC 内 C .点Q 在△GCA 内 D .点Q 与点G 重合
27
设
D
是正∆P 及其内部的点构成的集合,点P 0是∆PP 1P 2P 312P 3的中心,若集合
S ={P |P ∈D ,|PP ,2,3},则集合S 表示的平面区域是 ( ) 0|≤|PP i |,i =1
A . 三角形区域 B .四边形区域 C .五边形区域 D .六边形区域
28
对任意两个非零的平面向量α和β,定义α β=
α⋅β
. 若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角ββ
⎧n ⎫⎛ππ⎫
θ∈ , ⎪,且a b 和b a 都在集合⎨n ∈Z ⎬中,则a b =
422⎝⎭⎭⎩
A.
531 B. C. 1 D. 222
29
点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OB =OB OC =OC OA ,则点O 是∆ABC 的 ( )
(A )三个内角的角平分线的交点 ( B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D )三条高的交点
30
31设向量a ,b 满足:|a |=3,|b |=4,a ⋅b =0.以a ,b ,a -b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1
的圆的公共点个数最多为 ( c ) A .3 B .4 C .5 D .6
已知两点M (-1,0), N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列。则点P 的轨迹表示
的曲线方程为______________________。
32
1 1
A +=B 在四边形ABCD 中,AB =DC =(1,1)
,,则四边形ABCD
B A
B B D