电动力学总结 郭版
库仑定律F=
QQQ'Q
r 电场强度E=r 电场强度磁通量的高斯定理Eds= s
ε04πε0r34πε0r3
静电场的散度 ∆·E=
ρ
旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J=0 ε0
∂ρ
=0 J是电流密度 ∂t
电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+安培环路定律
L
Bdl=μ0I
L
Bdl=μ0
s
Jds
恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=μ0J 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-麦克斯韦方程组∆×E=-
∂∂B 位移电流JD=ε0E ∂t∂t
ρ∂∂
B ∆×B=μ0J+μ0ε0E ∆·E= ∆·B=0
ε0∂t∂t
洛伦兹力公式F=qE+qv×B 自由电荷密度ρf 束缚电荷密度ρp 电位移矢量D：D=ε0E+p ∆·D=ρf 介质极化率χe：p=χeε0E 磁场强度H：H=
1
μ0
B-M ∆×H=Jf+
∂
D 磁化率χm：M=χmH ∂t
介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-
介质中电磁性质方程D=εE B=μH J=σE
∂∂
B ∆×H=J+D ∆·E=ρ ∆·B=0 ∂t∂t
εμσ分别为电容、磁导、电导率
边值关系en×（E2-E1）=0 en×（H2-H1)=a en·（D2-D1)=σ en·(B2-B1)=0
∂
w=-f·v 能流密度S=E×H ∂t
∂∂∂1
能量密度变化率w=ED+HB w=(E·D+H·B)
∂t∂t∂t2
能量守恒定律微分形式∆·S+真空中S=
1
μ0
E×B w=
1212
(ε0E+B)
μ02
2
静电势基本微分方程（泊松方程）∆
ϕ=-
ρ∂ϕ2∂ϕ
边值关系ρ1=ρ2 ε2-ε11=-σ ε∂n∂n
导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线
方向，表面为等势面，整体电势相等。 导体表面边值条件ϕ=常量 ε
∂ϕ1
=-σ 静电场总能量w=⎰ρϕdv ∂n2v
静电场唯一性定理设区域V内给定自由电荷分布p（x），在V的边界S上给定1）电势ϕ或2）电势法线偏导
s
∂ϕ
∂n
s
，则V内电场唯一确定。
有导体存在的唯一性定理设区域V内有导体，给定电荷分布p，给定导体上总电荷Qi 以及V的边界S上的 ϕ或拉普拉斯方程∆
2
∂ϕ
值，V内电场唯一确定 ∂n
∂ϕ1∂ϕ
=ε22 ∂n∂n
ϕ=0 两绝缘介质上的边值关系ρ1=ρ2 ε1
给出导体总电荷Q导体面上边界条件为ϕ=常数（待定） -ε格林公式(ψ∆ϕ-ϕ∆ψ)dv=(ψ
2
2
∂ϕ
=Q ∂n
∂ϕ∂ψ-ϕ⎰v∂n∂n)ds
恒定电流磁场的基本方程∆×H=J ∆·B=0
磁场的失势A B=∆×A 物理意义：它沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任
一曲面的磁通量。
失势A的微分方程∆×(∆×A)=μJ 取（∆·A=0）得（泊松方程）∆A=μJ 边值关系en·(∆⨯A2-∆⨯1A)=0 en×（
→→1→→
磁场总能量w=⎰(J+Je)∙(A+Ae)dv
2
2
1
μ2
∆⨯A2-
1
μ1
∆⨯1A)=a
电流J在外场 Ae中相互作用能量为w=J⋅Aedv 磁标势ϕm: H=-∆ϕm
v⎰
→→→
电磁场的基本方程组是麦氏方程组 自由空间中电磁场运动规律(ρ=0,J=0)
→
∂2∂22
电场E的偏微分方程∆E-μ0ε02E=0 磁场B的偏微分方程∆B-μ0ε02B=0
∂t∂t
2
1∂21∂22
令c（波速）=的波动方程 ∆E-22E=0 ∆B-22B=0
c∂tc∂tμ0ε0
1
2
时谐波的麦氏方程组∆⨯E=iwμH ∆⨯H=-iwεE ∆⋅E=0 ∆⋅H=0
→i
一定频率下的麦氏方程组∆E+kE=0 ∆⋅E=0 B=-∆⨯E
w
2→
2→
→
→→→→→→
→
平面电磁波:电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，及E和B仅与x，t有关，与y，z无关的电磁波。 平面电磁波：E(x,t)=E0cos(kx-wt)=E0e
→→
→
i(k⋅x-wt)
→→
k=
2π
λ
=με k=ωμε
→
旋度∆⨯E=(∆e
→→
→
i(k⋅x-wt)
→→
→→k→
)⨯E0=ik⨯E B=με⨯E=μεek⨯E
k→
→
→
→
真空中
EB
=
1
μ0ε0
=c特性：1）横波，E,B都与传播方向垂直2）E,B垂直，E,B沿波矢
方向3）E,B同向，振幅比为v
→ε2→
Eek=vwek 平面电磁波电场磁场能量相等w=εE=B 能流密度S=E⨯H=μμ
2
1
2
→→→
时谐电磁波边值关系：en⨯(E2-E1)=0 en⨯(H2-H1)=α 菲涅耳公式：E垂直于入射面
→→→→→→→
E'sin(θ-θ")E"2coθssinθ"
=-=
Esin(θ+θ")Esinθ(+θ")
E平行于入射面
E'tan(θ-θ")E"2coθssinθ" ==
Etan(θ+θ")Esinθ(+θ")cosθ(-θ")
→
→
导体内部的麦氏方程组（ρ=0,J=σE）
全反射：反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因此电磁波能量被全被反
射出去的现象。 趋肤效应：对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内。 静电场 静磁场
∆⨯E=0 ∆⨯H=0
→→
∆∙E=(ρf+ρp)0 ∆∙H=ρmμ0
→→
ρp=-∆∙P ρm=-μ0∆∙M
D=ε0E+P B=μ0H+μ0M
E=-∆ϕ H=-∆ϕm
→
→→
→→→→→→
→
∆2ϕ=-(ρf+ρp)ε0 ∆2ϕm=-ρmμ0
亥姆霍兹方程：∆E+kE=0
2→
2→
Q→11∂21(-p∙∆+∑Dij+⋅⋅⋅) 电多级矩：ϕ(x)=
4πε0RR6i,j∂xi∂xjR
→
1