数学问题鸽巢问题六年级数学

数学广角------鸽巢问题 总领课

（ ）单元（ ）课时，全册第（ ）课时 教材分析：本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

教学目标：

1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。 2、过程与方法：

（1）经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等

活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

（2）学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。 3、情感态度与价值观：

（1）积极参与探索活动，体验数学活动充满着探索与创造。 （2）体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体

验学数学、用数学的乐趣。

（3）通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。

（4）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。 教学重点:

应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。 教学难点：

理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。 课时安排：3课时

鸽巢问题-------------------1课时 “鸽巢问题”的具体应用------1课时 练习课---------------------1课时

鸽巢问题

（ ）单元（ ）课时，全册第（ ）课时 教材分析：本课时教材安排了两个问题。例题一中的数据较小，为学生自主探究提供了很大的空间，教学时候，可以让学生自主思考，先采取自己的方法进行“证明”，然后再进行交流。例题2 介绍的是“把多个kn 个的物体任意分放进n 个空抽屉的问题。通过本节课的学习为下一届教学打下了坚实的基础。

教学目标：

1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 教学难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。 教具准备：多媒体课件。

一、情境导入：

1. 师生玩“扑克牌魔术”游戏

（1）一副牌，去除大小王，还剩下52张牌，你们

5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花

色的，相信吗？

玩扑克牌游戏

（2）玩游戏，组织炎症

2. 导入新课 刚才这个游戏中，蕴含着一个数学问题，这节课我 们就一起来研究这个有趣的问题 二、探究新知：

观察情境图 1. 教学例1.(课件出示例题1情境图）

思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管 怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么

(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个

笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里动手操作，发现

规律

至少有2支铅笔。

(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是

猜测

指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定

有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

(3)探究证明。 方法一：用“枚举法”证明。 总结规律 方法二：用“分解法”证明。

把4分解成3个数。

由图可知，把4分解成3个数， 也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少

有1个数是不小于2的数。

方法三：用“假设法”证明。

通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅

笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里 至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题” 像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问 题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当 于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个 或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述

就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至

少有2只鸽子。

这里的“总有”指的是“一定有”或

的意思；而“至少”指的是最少， 放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个 数。

小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总

有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 呢？“总有”和“至少”是什么意思？

如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总 有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒

的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅

笔……

小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总

有1个笔筒里至少放2支铅笔。

（5）归纳总结： 观察情境图2 鸽巢原理（一）：如果把m 个物体任意放进n 个抽屉里（m>n，且n 是非零自然数），那么一定 有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

2、教学例2(课件出示例题2情境图）

思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不 管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么

呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？

学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程

来解决问题（一）。

（1）探究证明。 方法一：用数的分解法证明。 猜测，探究，讨把7分解成3个数的和。把7本书放进3个论 抽屉里，共有如下8种情况：

由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有 1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最

小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：用假设法证明。

把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）......1

（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把

剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽 屉里就有3本书。

（2）得出结论。 通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3 个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进

3本书。

学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。

（1）用假设法分析。

①8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3总有1个抽屉里至少放进3本书。

②10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

（2）归纳总结：

综合上面两种情况，要把a 本书放进3个抽屉里，如果a ÷3=b（本）......1（本）或a ÷3=b（本）......2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

鸽巢原理（二）：古国把多与kn 个的物体任意分别放进n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。 三、巩固练习

1、完成教材第70页的“做一做”第1题。 学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。 四、课堂总结

这节课你有哪些收获？ 五、作业设计

完成教材第71页练习十三的1-2题。

小结得出结论

巩固练习 小结

鸽巢问题

思考方法：

枚举法、分解法、假设法

鸽巢原理（一）：如果把m 个物体任意放进n 个抽屉里（m>n，且n 是非零自然数）

鸽巢原理（二）：古国把多与kn 个的物体任意分别放进n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。

鸽巢问题的综合应用

（ ）单元（ ）课时，全册第（ ）课时

教材分析：本节课运用了“鸽巢问题”的原理进行逆向思维的一个典型例子。应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。学生思考这些问题的时候，一开始可能缺乏思考的方向。通过本节课的学习，学生为今后的学习打下坚实的基础 教学目标：

1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重难点：

重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原理”进行反向推理。 教学过程： 一、情境导入

二、探究新知

出示思考的问题：盒子里有同样大小的红色的，少要摸出几个球？

（1）猜测验证。

猜测1：只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。 就能保证这2个

学生通过“猜测学习过程解决问题。

1、教学例3（课件出示例3的情境图）

球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同验证→分析推理”的

球 验 证 如：这两个球正好是一红一蓝时就不能 同色。 满足条件。

② 猜测2：摸出5个球，把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 肯定有2个球是同 验 证 5÷2=2...1，所以摸出5个球时，至少有3 色的。个球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。

③ 猜测1：摸出3个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 至少有2个球是同 验 证 3÷2=1...1，所以摸出3个球时，至少有3 色的。 2个是同色的。

综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。

（2）分析推理。

根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图个数失少要屉数”，结论就变成了“要保证摸出2个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，至少要摸出3个球。

2、趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证其中一定有2个颜色一样的球？

3、归纳总结：

运用“鸽巢原理” （1）分析题意；

（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。

学生独立思考解 总结归纳 巩固练习

比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽决问题，集体交流。

（3三、巩固练习

1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。

2黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）

四、课堂总结 五、作业

完成教材第71页的练习十三的第3-4

鸽巢问题练习课

（ ）单元（ ）课时，全册第（ ）课时

教学目标：

1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 教学重难点

重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

教学准备：课件。 一、复习导入 二、指导练习 （一）基础练习题 1、填一填：

（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少天。

们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进了（ ）个球。

（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有

基础练习，口答

有（ ）名学生的生日是在二月份的同一 （2）有3个同学一起练习投篮，如果他

（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。

（4）某班有个小书架，40个同学可以集体交流订正 任意借阅，小书架上至少要有（ 才可以保证至少有1个同学能借到2本或2 本以上的书。

学生独立思考解答，集体交流纠正。 2、解决问题。

少有多少名同学是同一个月出生的？ （2）书籍里混装着3本故事书和5本科技次至少要拿出多少本书？

（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至

书，要保证一次一定能拿出2本科技书。一 （3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里， 可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于 6支？

（二）拓展延伸题

证至少有1个盒子里有7个球？

教师引导学生分析：盒子数看作抽屉那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因个盒子里有7个球。

教师引导学生规范解答：

1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保

数，如果要使其中1个抽屉里至少有7

此最多放进4个盒子里，可以保证至少有1

2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5 只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色 至少有1只？

拓展提高练习

教师引导学生分析：假设先取5只，全 是红的，不符合题意，要继续去；假设再取 5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定

是蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保 证每种颜色至少有1只。

教师引导学生规范解答：

3、六（2） 满分为100分，全班最低分是75。已知每人 得分都是整数，并且班上至少有3人的得分 相同。六（2）班至少有多少名同学？ 分，最低分是75分，所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26（种）。

教师引导学生规范解答： 三、巩固练习

完成教材第71页练习十三的5、6题。 四、课堂总结 五、作业 练习册上面的题

教师引导学生分析：因为最高分是100