项级数比值判别法的极限形式的推广
第２８卷第８期怀化学院学报Ｖ０１．２８．Ｎｏ．８２００９年８月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＡＩＨＵＡＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＡｕｇ．，２００９
正项级数比值判别法的极限形式的推广
陈宇
（怀化学院数学系，湖南怀化４１８００８）
摘要：针对比值判别法的极限形Ｉｉｍ．竺旦＝口＝１的不定情形．对比值判别法的极限形式进行推广，通过●…‘
ｌｉｍ（＿竺Ｌ）。：ｒ可判定当比值判别法的极限形式中ｌｉｍ生丛：ｑ＝ｌ时．一些正项级数的敛散性
，・－Ⅱ¨ｌ‘・。Ⅱ‘
关键词：正项级数；比值判别法的极限形级；收敛
中圉分类号：０２２４文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—９７４３（２００９ｌ０８—００２１—０２
定理１Ⅲ（广义比值判别法）对于正项级数堇ｕ一若，ｌ—ｉｍ。（ｕＵ川ｎ）８＝ｒ，则
（１）ｅ＜ｒｓ＋∞时，∑址。收敛；（２）ｏ≤，＜ｅ时，∑Ｍ．发散．＾＝ｌ＾ｌＩ
证明因为ｌｉｒａ（兰Ｌ）－：ｒ
Ｉ一・Ｕ＾．－
所以ｌｎｒ：ｌｉｍｎｌｎ旦：ｌｉｍｈ一ｌｎ旦ｌｎ（１＋告）ｌｎ旦
＾．．－ｌ‘＾＋Ｉ‘一‘旦｝ｉ＝。ｌ—ｉｒａ．－；币Ｕｎ＋ｌ・二—一＝．１．ｉｒａ，砸Ｕｎ＋ｌｌｎ一一儿１一
讨论：
情形（１）当ｅ＜ｒｓ＋∞时，Ｉｎｒ＞Ｉ，由极限的局部保号性，存在常数Ｐ＞１，使得对足够大的ｎ，有一ｌ毫一＞ｐ，所以老＞（旦｝）’，即ｎＰⅡ．＞（ｎ＋１）Ｐ／／，ａ＋ｌ所以｛∥ｕ．｝是单调递减数列．又矿‰芝。，由单调有界数列必有极限法则知，数列｛ｎ９ｕ．｝必存在非负的极限，即有ｌｉｍ∥Ⅱ．
■—＋＋■＝口≥０一。ｌ…ｉｒａ∥Ⅱ一一ｌｉｍ．ＴＵｎ＝口Ｈ一＋－●一十－Ｊ
ｎＰ
≥。，又ｐ＞１，壹ｎ＝ｌ万１则收敛，由正项级数比较法的极限形式知，壹ｎ＝ｌｕ．也收敛．
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情形（２）当ｏｓｒ＜ｃ时，．１—ｉｒａ．＿ｉＵ可ｎ＋ｌ＝ｌｎｒ＜１
Ｉｎ‘。。。。。。。。。。。。。。一
所以ｌｎ旦＜ｌｎⅡ¨１ｊ生■，则旦＜卫丛，即有几Ⅱ。＜（，ｌ＋１）ｌＩ川，ｎⅡｎ＋Ｉ／／，
所以｛ｒｔ，ｕ．｝是单调递增数列．所以ｌｉｒａ／＇／，Ｕ．＝ｌ＞０（１为有限数），或ｌｉｒａ，ｌｕ．＝＋∞。所以级数ｙ“．发散．
＾一■＾’＋∞’●
收稿日期：２００９—０７—２１
作者简介：陈宇（１９７５一），男，瑶族，湖南淑浦人．怀化学院讲师。硕士．主要研究最优化理论与算法、数学分析的
教学．
・２２・怀化学院学报２００９年８月注：（１）由此可见，对于正项级数∑‰，如果用比值判别法可以判敛，则用广义比值法也可判敛，但由于比值判别法比较简单，因此，在判别正项级数敛散性时，优先考虑用比值判别法．（２）对于口＝ｉ的不定情形。参考文献［２］中未能作出收敛性判定，此时可用广义比值法对这种收敛性不定的情形作出判定．（３）由于正项级数比值判别法失效时，根值判别法也失效，因此此法也可以用于根值判别法ｑ＝１时。级数敛散性的判别．
例ｌ解等＝等ａ＝鲁ｌ等裂；；等・高等锚＝糍刈ｎ一∞，百２■Ｆ了■石１五万瓦ｉ■矿‘ｒ了■Ｆ可五可２五、．芝一ｌ肼
而Ｌ判定级数妻Ｌ｛与丢ｉ等专詈卫的敛散性．ｎ一∞Ｊ
所以妻鼍寻掣发轧
例２
＿一・Ⅱ¨Ｉ‘一－一ｌｉｍ（‰ｕ．．）‘＝坚（筹）Ｉ－！ｉｒａ［（１＋志广”】ｉ（１＋南）‘｛＝ｅ｛＜ｅｓｔ＝判ｌ断数项级数妻÷的敛散性．解等２南２志叫ｃ一“而！亚（老）‘＝．１一ｉｍ．（１＋｛）ｈ＝ｅ２＞ｅ所以级数耋÷收敛．ｎ：＝ｎ。
定理２对正项级数∑“．，若ｌｉｒａ竿＝１，又竿＞１，则级数∑‰发散．篇。爿。。－一＋・ｕｎⅡ－
证明因为ｕ．≥０，又半＞１，则｛ｕ．｝单增，从而ｌｉｒａｕ．＞０≠ｏ。所以芝：“．发散．鬲“＾－一・。
用参考文献［２］中的比值判别法判定正项级数∑ｕ．敛散性，当ｑ＝１时，若∑Ⅱ．满足定理２的条件。则可以侠谏舅ｆ定此正项级数君发散的．
参考文献：
［１］汪林。戴正德．杨富春，郑喜印．数学分析问题研究与评注［Ｍ】．北京：科学出版社．１９９５：１９７．
［２】华东师大教学系．数学分析（下）【Ｍ】．北京：高等教育出版社。２００１：９．
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正项级数比值判别法的极限形式的推广
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被引用次数：陈宇， CHEN Yu怀化学院,数学系,湖南,怀化,418008怀化学院学报JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY2009，28(8)0次
参考文献(2条)
1. 汪林. 戴正德. 杨富春. 郑喜印 数学分析问题研究与评注 1995
2. 华东师大数学系 数学分析(下) 2001
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