06--微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日定理和函数的单调性
【教学目的】Rolle 中值定理,Lagrange 中值定理,用导数讨论函数的单调性。
一、费马定理——可微极值点的必要条件
定理5.3:设 ⅰ、f(x)定义在U(x0),且在点x0可导,
ⅱ、x0为f(x)的极值点,
则必有f'(x0)0
注:先回顾极值点的定义。
二、微分中值定理
1、Rolle 中值定理
定理6.1:设f(x)满足
ⅰ、f(x)C[a,b],
ⅱ、f(x)在(a,b)上可导,
ⅲ、f(a)f(b),
则至少存在一点(a,b),s..tf()0。
分析:
几何意义:曲线存在一条水平切线。
证明思路:找一极值点(闭区间连续函数的性质),再由费马定理,从而得出结果。
2、Lagrange 中值定理
定理6.2:若f(x)满足
ⅰ、f(x)C[a,b],
ⅱ、f(x)在(a,b)内可导, '
tf()则至少存在一点(a,b),s..
分析: 'f(b)f(a)。 ba
几何意义:(a,b)内有一点的切线与端点的连线平行。
证明思路:构造辅助函数满足Rolle中值定理的条件(ⅲ)。
注:Lagrange中值定理的等价形式:
①f(b)f(a)f()(ba),ab '
②f(b)f(a)f'(a(ba))(ba),01
③f(ah)f(a)f'(ah)h,01
3、若干推论
推论1:设 ⅰ、f(x)在区间I上可导,
ⅱ、f'(x)0,xI,
则f(x)Const,xI.
推论2:设 ⅰ、f(x),g(x)在区间I上可导,
ⅱ、f'(x)g'(x),xI,
则f(x)g(x)Const,xI。
推论3:(导数极限定理)
设 ⅰ、f(x)C(U(x0)),
ⅱ、f(x)在U(x0)内可导,
ⅲ、limf(x), xx0'
则f(x)在点x0可导,且f(x0)limf(x)。 xx0''
12xsin,x0'注:f'(x00)不存在时,未必有f0(x0)不存在,如f(x),虽然f(00)x0,x0
不存在,担有f(0)0。
三、单调函数
'定理6.3:设f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上递增(减)等价于f(x)0(0)。 '
定理6.4:若f(x)在(a,b)内可导,则f(x)在(a,b)内严格递增(递减)的充分必要条件是:
ⅰ、x(a,b)f(x)0(f(x)0),
ⅱ、在(a,b)的任何子区间上f(x)不恒为零。
'推论:若f(x)在区间I上可微,f(x)0(0),则f(x)在I上严格递增(递减) '''
四、中值定理的应用
1、根的存在性及个数
2、证明等式和不等式
3、证明当调性、有界性、一致连续性等
4、推到洛必达法则
例1、证明对一切h1,h0,成立不等式
hln(1h)h。 1h
例2、设h0,f(x)在[ah,ah]上可导,证明存在(0,1)使得
f(ah)2f(a)f(ah)f'(ah)f'(ah)。 h
五、课堂练习
1、证明不等式
babblbaaa,0ab
32、设a,b0,证明方程xaxb不存在正根。
第二节 柯西中值定理和不等式极限
【教学目的】1、柯西中值定理及应用,
2、几种重要不等式极限的计算。
一、柯西中值定理
定理6.5:设函数f(x),g(x)满足
ⅰ、在[a,b]上都连续,
ⅱ、在(a,b)上都可导,
ⅲ、f(x)与g(x)不同时为零,
ⅳ、g(a)g(b), ''
f'()f(b)f(a)则存在(a,b),使得'。 g()g(b)g(a)
注:柯西中值定理的几何意义
若在uv直角坐标平面内的曲线由参数方程
),ug(x x[a,b]),vf(x
表示,其中f(x),g(x)满足柯西中值定理中的条件,则存在(a,b),使得过点(u(),v())的切线平行于两个端点的连线。
例、设 ⅰ、ab,且ab0,
ⅱ、f(x)C[a,b],
ⅲ、f(x)在(a,b)内可导,
证明:(a,b),使得
1f(a)
baa
分析: f(b)f()f'() b
1f(a)
baaf(b)f(a)f(b)bf(a)af(b) 11bbaba
二、不等式极限
1、0不等式 0
定理6.6:若f(x),g(x)满足
ⅰ、limf(x)limg(x)0, xx0xx0
ⅱ、在U0(x0)内都可导,且g(x)0, '
f'(x)ⅲ、lim'(A为实数或、), A,xx0g(x)
f(x)f'(x)则limlim'A。 xx0g(x)xx0g(x)
注:ⅰ、以上方法称为洛必达法则,
ⅱ、洛必达法则可重复使用,只要满足不等式形式。
2、型不等式
定理6.7:若f(x),g(x)满足
f(x)limg(x), ⅰ、limxx0xx0
0ⅱ、在U(x0)内都可导,且g(x)0, '
ⅲ、
xlimf'(x)x(A为实数或、), 0g'(x)A,
则f(x
xlim)f'(x)xlim0g(x)xx0g'(x)A。
注:ⅰ、对xx
0,x0,,等情形均成立, ⅱ、若limf'(x)f(x)
xx0g'(x)不存在,并不能说明lim不存在, xx0g(x)
ⅲ、用洛必达方法求不等式极限,应注意满足的条件。
3、其他类型的不等式
0,1,00,0,等
三、例题选讲
1
x2
例1、求lime(12x)
x0ln(1x2)
例2、求limlnsinmx
x0lnsinnx
例3、设g(x)在U(0,)内有定义,且有g(0)g'(0)0,g''(0)3,g(x
f(x))
,x0,试求f'(0)。
x
0,x0
四、课堂练习
P1335(2)(4)(6)(8)(10)(12)
2
五、课外作业
P1333
5(3)(9)
7(5)(8)
8
令
第三节 Taylor公式
【教学目的】了解并掌握哟哦那个多项式逼近函数的方法。
一、带有peano型余项的Taylor公式
1、Taylor多项式
考虑任意的n次多项式
2nPna0a1(xx0)a2(xx0)an(xx0) Pn''(x0)Pn(n)(x0),,an求导易知,a0Pn(x0),a1P(x0),a2,对一般函数f(x),设2!n!'
n
在点x0存在直到n阶的导数,构造下式
f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n, 1!2!n!
f(n)(x0),n1,2,称为Taylor系数,上述公式称为f(x)在点x0处的Taylor多项式,系数n!
则
f(k)(x0)Tn(k)(x0),n0,1,2,——(3)
2、Peano型余项与Taylor公式
定理6.8:设f(x)在点x0存在直到n阶的导数,则
f(x)Tn(x)o((xx0)n)——(4)
分析:证明的关键在于证明Rn(x)f(x)Tn(x)为(xx0)n的高阶无穷小量。 注:ⅰ、公式(4)称为x0处的Taylor公式,
ⅱ、Rn(x)称为Taylor公式的余项,
ⅲ、o((xx0)n)余项称为peano型余项,
ⅳ、带有peano型误差的n次多项式Pn(x)是唯一的。
3、带peano型余项的Maclanrin公式
f(n)(0)o(xn),称为Maclanrin公式。 当x00时,有f(x)f(0)f(0)xn!'
二、带有Lagrange型余项的Taylor公式
Peano型余项只是定性的说:当xx0时,逼近误差是(xx0)n的高阶无穷小量。
下面给Taylor公式构造一个定量形式的余项,方便进行误差估计。
定理6.9:(Taylor定理)
设 ⅰ、f(x)Cn[a,b],
ⅱ、在(a,b)内存在n1阶导函数,
则x,x0[a,b],至少存在一点(a,b),使得
f(n1)()f(x)Tn(x)(xx0)n1——(*) (n1)!
Rn(x)f(n1)()f(n1)()n1分析:即证明f(x)Tn(x)。 (xx0),或(n1)!(xx0)n1(n1)!
这里不用洛必达法则证明,而是利用柯西中值定理来证明。
注:ⅰ、(*)式称为带Lagrange型余项的Taylor公式,
ⅱ、n0时,(*)式即为Lagrange中值公式,
ⅲ、x00时,即为带Lagrange余项的Maclanrin公式,
1)f(n)(0)fn((x)n1 f(x)f(0)f(0)xx,(01) n!(n1)!'
三、函数的Taylor公式(或Maclanrin公式)展开
1、直接展开
例1、求f(x)e的Maclanrin公式。 x
xx2xnex
解:e1xn1,(01) 1!2!n!(n1)!x
例2、求f(x)sinx的f(x)公式。 x3x5x2m1
m1解:sinxx(1)R2m(x) 3!5!(2m1)!
x2m11其中R2m(x)sin(x(m)),(01),x(,) (2m1)!2
注:其余见P139。
2、间接展开——利用已知的展开式,施行代数运算或变量变换,求新的展开式。 例3、把函数f(x)sinx展开成含x项的peano型余项的Maclanrin公式。 214
x3x5x7
o(x7) 解:sinxx3!5!7!
x6x10x14
sinxxo(x14) 3!5!7!22
例4、把f(x)cos2x展开成含x项,且具有peano型余项的Maclanrin公式。
6
第四节 函数的极值与最值
一、极值判别方法
1、费马定理
若f(x)在点x0可导,x0为f(x)的极值点,则f'(x0)0
2、判定极值存在的充分条件
①极值的第一充分条件
定理6.10:设
ⅰ、f(x)在点x0连续,
ⅱ、f(x)在U0(x0,)内可导,
'f(x)0,x(x0,x0)则 ⅰ、若,则f(x)在点x0取得极小值。 'f(x)0,x(x0,x0)
'f(x)0,x(x0,x0)ⅱ、若,则f(x)在点x0取得极大值。 'f(x)0,x(x,x)00
②极值的第二充分条件
定理6.11:设
ⅰ、f(x)在U(x0,)内一阶可导,
ⅱ、f(x)在点x0处二阶可导,
ⅲ、f'(x0)0,f'(x0)0,
则 ⅰ、若f''(x0)0,则f(x)在点x0处取得极大值,
ⅱ、若f''(x0)0,则f(x)在点x0处取得极小值。
分析:本题可利用二阶的Taylor公式来证明。
例1 、求f(x)2x的极值。(利用定理6.10) 21x
例2、求f(x)arctanxln(1x2)的极值。(利用定理6.11)
③极值的第三充分条件
定理6.12:设
ⅰ、f(x)在U(x0,)内存在直到n1阶导函数,
ⅱ、f(x)在点x0处n阶可导,
ⅲ、f(k)(x0)0,(k1,2,,n1),f(n)(x0)0
则 ⅰ、当n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,
且当f(n)(x0)0时,f(x)在点x0处取得极大值,
当f(n)(x0)0时,f(x)在点x0处取得极小值。
ⅱ、当n为奇数时,f(x)在x0处不取极值。
例、求f(x)(x1)3x4的极值。
二、函数的最值
1、最值的存在性
若f(x)C[a,b],则f(x)在[a,b]上取得最大值和最小值。
2、最值存在时的求法
比较以下点的函数值,就可得出最大值可最小值
ⅰ、在[a,b]上所有的稳定点,
ⅱ、不可导点,
ⅲ、端点。
例、有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器高的比例应该是多少?
12
第五节 函数的凸性与拐点
一、凸性的定义及判定
1、凸性的定义
定义1:设f(x)为定义在区间I上的函数,若x1,x2I,及任意实数(0,1),总有
f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)——(1)
则称f(x)为I上的凸函数,反之,若总有
f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)——(2)
则称f(x)为I上的凹函数。
注:若(1)、(2)中不等式改为严格不等式,则相关的函数称为严格凸函数与严格凹函数。
2、利用二阶导数判断曲线的凸性
引理:f(x)在I上为凸函数,等价于x1x2x3,(x1,x2,x3I),总有
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2) x2x1x3x2
成立。
定理6.13:设f(x)为区间I上的可到函数,则下列结论等价:
ⅰ、f(x)为I上的凸函数,
ⅱ、f'(x)为I上的增函数,
ⅲ、x1,x2I有f(x2)f(x1)f'(x1)(x2x1)成立。
注:结论(ⅲ)表示yf(x)总是在它的任一切线上方。
定理6.14:设f(x)为区间I上的二阶可导函数,则在I上f(x)为凸(凹)函数,等价于f''(x)0(f''(x)0)。
二、Jensen不等式
设f(x)为[a,b]上的凸函数,则xi[a,b],i0(i1,2,,n),
nni1ni1,有
f(ixi)if(xi)
i1i1
分析:n2时,即为凸函数的定义,所以可以归纳法。
三、拐点
1、定义
定义2:设曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线,且在切线近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,这时称点(x0,f(x0))为曲线yf(x)的拐点。
2、拐点的必要条件
定理6.15:设f(x)在x0处可导,则(x0,f(x0))为yf(x)的拐点的必要条件是:
f''(x0)0。
3、拐点的判别定理
定理6.16:设
ⅰ、f(x)在点x0可导,
ⅱ、f(x)在某U0(x0)内二阶可导,
00ⅲ、在U(x0)上,f''(x)符号相反, (x0)与U
则(x0,f(x0))为yf(x)的拐点。
注:若(x0,f(x0))是曲线yf(x)的一个凸凹分界点,yf(x)在x0的导数不一定存在。
四、例题选讲
例1、应用Jensen不等式证明
ⅰ、设ai0(i1,2,,n),有
n
111a1a2ana1a2an n
ⅱ、设ai,bi0(i1,2,,n),有
ab(aii
i1i1nnpi)(b) i11pn1qqi
其中p0,q0,111。 pq
分析:要应用Jensen不等式,就要找出辅助函数,从右半不等式入手,即对
a1a2an n
两边取对数,得
lna1lna2lnanaaanln12 nn
或
lna1lna2lnanaaanln12 nn
易见f(x)lnx。
例2、讨论函数yx1的凸性区间及拐点。 x
第六节 函数图像的讨论
一、如何更准确地描述函数的图像?
在第一章中我们利用一些函数特性,如周期性、奇偶性、渐近线等支出的图像是比较粗糙的。
利用本章的知识,进一步讨论函数的其他一些性态,如单调性、极值性、凸性区间、拐点等,就能够作出比较准确的函数图象。
二、作函数图象的一般程序
1、求函数的定义域
2、考虑函数的奇偶性、周期性
3、求函数的基本特殊点
4、确定函数的单调区间、极值点、凸性区间、拐点等
5、考虑渐近线
6、综上画出函数的图像