高考总复习--空间几何.三角函数
高考总复习——空间几何、三角函数
一.解答题(共30小题)
1.如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (Ⅰ)证明MN ∥平面PAB ; (Ⅱ)求四面体N ﹣BCM 的体积.
2.如图,已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . (Ⅰ)证明:G 是AB 的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
3.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E 、F 分别在AD ,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D′EF的位置. (Ⅰ)证明:AC ⊥HD′;
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2
,求五棱锥D′﹣ABCFE 体积.
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4.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.
(1)若AB=6m,PO 1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?
5.如图,在三棱锥V ﹣ABC 中,平面VAB ⊥平面ABC ,△VAB 为等边三角形,AC ⊥BC 且AC=BC=
,O ,M 分别为AB ,VA 的中点.
(1)求证:VB ∥平面MOC ; (2)求证:平面MOC ⊥平面VAB (3)求三棱锥V ﹣ABC 的体积.
6.如图,直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点,
(Ⅰ)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;
(Ⅱ)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F ﹣AEC 的体积.
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7.如图,三棱锥P ﹣ABC 中,PA ⊥平面ABC ,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P ﹣ABC 的体积;
(2)证明:在线段PC 上存在点M ,使得AC ⊥BM ,并求
的值.
8.如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D1F=4.过E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
9.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ﹣ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD=CD,点E 是PC 的中点,连接DE 、BD 、BE .
(Ⅰ)证明:DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
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(Ⅱ)记阳马P ﹣ABCD 的体积为V 1,四面体EBCD 的体积为V 2,求
的值.
10.如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB=2,∠BAD=M 为BC 上一点,且BM=. (Ⅰ)证明:BC ⊥平面POM ;
(Ⅱ)若MP ⊥AP ,求四棱锥P ﹣ABMO 的体积.
,
11.如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. (Ⅰ)求证:EF ⊥平面BCG ; (Ⅱ)求三棱锥D ﹣BCG 的体积.
附:锥体的体积公式V=Sh ,其中S 为底面面积,h 为高.
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12.如图,正三棱锥O ﹣ABC 的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.
13.如图,在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AA 1=6,异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为求该三棱柱的体积.
,
14.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,AP=AB,BP=BC=2,E ,F 分别是PB ,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF ∥平面PAD ; (Ⅱ)求三棱锥E ﹣ABC 的体积V .
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15.已知正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1,点M 是棱AA′的中点,点O 是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM 为异面直线AA′和BD′的公垂线; (Ⅱ)求二面角M ﹣BC′﹣B′的大小; (Ⅲ)求三棱锥M ﹣OBC 的体积.
16.如图,平行四边形ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置,使平面EDB ⊥平面ABD . (I )求证:AB ⊥DE
(Ⅱ)求三棱锥E ﹣ABD 的侧面积.
17.如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC ⊥AC . (Ⅰ)求证:PC ⊥AB ;
(Ⅱ)求二面角B ﹣AP ﹣C 的大小.
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18.设f (x )=2
sin (π﹣x )sinx ﹣(sinx ﹣cosx )2.
(Ⅰ)求f (x )的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移
19.已知函数f (x )=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;
(2)求f (x )的单调递增区间.
20.已知函数f (x )=sinx﹣2(1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间[0,
]上的最小值. sin
2.
个单位,得到函数y=g(x )的图象,求g (
)的值.
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21.设f (x )=sinxcosx﹣cos 2(x +(Ⅰ)求f (x )的单调区间;
).
(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f ()=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.
22.某同学用“五点法”画函数f (x )=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<图象时,列表并填入了部分数据,如表:
)在某一个周期内的
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f (x )的解析式; (2)将y=f(x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x )的图象.若y=g(x )图象的一个对称中心为(
23.已知函数f (x )=(sinx +cosx )2+cos2x (1)求f (x )最小正周期; (2)求f (x )在区间[
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,0),求θ的最小值.
]上的最大值和最小值.
24.某同学将“五点法”画函数f (x )=Asin(wx +φ)(w >0,|φ|<图象时,列表并填入部分数据,如下表:
)在某一个时期内的
(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f (x )的解析式; (2)将y=f(x )图象上所有点向左平移的图象离原点O 最近的对称中心.
25.已知函数f (x )=10
sin cos +10cos 2.
个单位长度,得到y=g(x )图象,求y=g(x )
(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期; (Ⅱ)将函数f (x )的图象向右平移
个单位长度,再向下平移a (a >0)个单位长度后
得到函数g (x )的图象,且函数g (x )的 最大值为2. (i )求函数g (x )的解析式;
(ii )证明:存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0.
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26.函数f (x )=3sin(2x +)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (Ⅱ)求f (x )在区间[﹣
,﹣
]上的最大值和最小值.
27.已知函数f (x )=cosx(sinx +cosx )﹣. (1)若0<α<
,且sinα=
,求f (α)的值;
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.
28.已知函数f (x )=
sin (ωx+φ)(ω>0,﹣
≤φ<
)的图象关于直线x=
对称,
且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ω和φ的值; (Ⅱ)若f (
29.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系:f (t )
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)=(<α<),求cos (α+)的值.
=10﹣cos t ﹣
sin t ,t ∈[0,24).
(Ⅰ)求实验室这一天上午8时的温度;
(Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.
30.已知函数f (x )=Asin(x +
(1)求A 的值;
(2)若f (θ)+f (﹣θ)=,θ∈(0,),求f (﹣θ). ),x ∈R ,且f ()=.
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