一次函数与坐标
知识点1:位置的确定(坐标)
一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;x 轴和y 轴统称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x 轴和y 轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P, 过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ,b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a ,b )叫做点P 的坐标。
点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当a ≠b 时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 (1)、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限⇔x >0, y >0
点P(x,y)在第二象限⇔x 0 点P(x,y)在第三象限⇔x 0, y
点P(x,y)在x 轴上⇔y =0,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上⇔x =0,y 为任意实数
点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上⇔x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0)即原点 (3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 (4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P (x ,y )关于x 轴的对称点为P ’(x ,-y )
点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P (x ,y )关于y 轴的对称点为P ’(-x ,y )
点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数,即点P (x ,y )关于原点的对称点为P ’(-x ,-y )
(6)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x
22
(3)点P(x,y)到原点的距离等于x +y
三、坐标变化与图形变化的规律:
1、已知点P 在第二象限,且到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则P 点坐标为___________ 2.坐标平面内的点与___________ 是一一对应关系.
3.若点M (a,b )在第四象限,则点M (b -a,a -b )在( )
A .第一象限 B.第二象限 C .第三象限 D.第四象限 4.若P (x ,y )中xy=0,则P 点在( )
A .x 轴上 B.y 轴上 C.坐标原点 D.坐标轴上 5.若P (a,a -2)在第四象限,则a 的取值范围为()
A .-2<a <0 B.0<a <2 C.a >.a <0 6
A (a ,b )的位置在( )
A .第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限
7.已知M(3a-9,1-a) 在第三象限,且它的坐标都是整数,则a 等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
8. 已知点P (-3, 2),点A 与点P 关于y 轴对称,则A 点的坐标为______
9. 矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列,若在平面直角坐标系中,B 、D 两点对应的坐标分别是(2,0),(0,0),且A 、C 关于x 轴对称,则C 点对应的坐标是( ) A 、(1, 1) B、(1,-1) C 、(1,-2) D、2 2 )
10.点P(3,-4)关于y 轴的对称点坐标为_______,它关于x 轴的对称点坐标为_______.它
关于原点的对称点坐标为_______.
11.若P (a, 3-b ),Q(5, 2)关于x 轴对称,则a=___,b=______ 12.点(-1, 4)关于原点对称的点的坐标是( )
A .(-1,-4) B.(1,-4) C .(l ,4) D.(4,-1)
13.在平面直角坐标系中,点P (-2,1)关于原点的对称点在( )
A .第一象限 B.第M 象限 C .第M 象限 D.第四象限
14.已知点A (2,-3)它关于x 轴的对称点为A1,它关于y 轴的对称点为A2,则A1、A2的位置有什么关系?
15.已知点A (2,-3)①试画出A 点关于原点O 的对称点A1;②作出点A 关于一、三象限两坐标轴夹角平分线的对称点B ,并求B 点坐标.
16.在平面直角坐标系中,如图1-5-4,矩形OABC 的3 ,AB=l,矩形OABC 沿OB 对折,点A 落在点A ′上,求A ′点坐标.
将
知识点2:一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,若两个变量x ,y 间的关系可以表示成y =kx +b (k ,b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。
特别地,当一次函数y =kx +b 中的b=0时(即y =kx )(k 为常数,k ≠0),称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数y =kx +b 的图像是经过点(0,b )的直线;正比例函数y =kx 的图像是经
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数y =kx 有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大; (2)当k
一般地,一次函数y =kx +b 有下列性质: (1)当k>0时,y 随x 的增大而增大 (2)当k
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y =kx (k ≠0)中的常数k 。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y =kx +b (k ≠0)中的常数k 和b 。解这类问
题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k 、b 为常数,k ≠0)的形式. 而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k 、b 为常数,k ≠0).当函数值为0时,•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k 、b 为常数,k ≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.
从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值.
一次函数测试题
一、选择
1.下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是() A.
.
.
D.
2.下面哪个点在函数y=
1
x+1的图象上( ) 2
A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,0) D.(-2,0) 3.下列函数中,y 是x 的正比例函数的是() A.y=2x-1 B.y=
x
C.y=2x2 D.y=-2x+1 3
4.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是() A.一、二、三 B.二、三、四 C.一、二、四 D.一、三、四
5.若函数y=(2m+1)x 2+(1-2m )x (m 为常数)是正比例函数,则m 的值为() A.m>
1111 B.m= C.m
6.若一次函数y=(3-k )x-k 的图象经过第二、三、四象限,则k 的取值范围是()
A.k>3 B.0
8.汽车开始行驶时,油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量y (升)与行驶时间t (时)的函数关系用图象表示应为下图中的( )
9.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,•中途由于自行车发生故障,停下修车
耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,如果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出他行进的路程y•(千米)与行进时间t (小时)的函数图象的示意图,同学们画出的图象如图所示,你认为正确的是( )
10.一次函数y=kx+b的图象经过点(2,-1)和(0,3),•那么这个一次函数的解析式为( ) A.y=-2x+3 B.y=-3x+2 C.y=3x-2 D.y=
1
x-3 2
二、填空
11.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m是正比例函数,则m=________,•该函数的解析式为_________.
12.若点(1,3)在正比例函数y=kx的图象上,则此函数的解析式为________. 13.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A (1,3)和B (-1,-1),则此函数的解析式为_________. 14.若解方程x+2=3x-2得x=2,则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方.
15.已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点(m ,8),则a+b=_________.
16.若一次函数y=kx+b交于y•轴的负半轴,•且y•的值随x•的增大而减少,•则k____0,b______0.(填“>”、“
⎧x -y -3=017.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组⎨的解是________.
2x -y +2=0⎩
18.已知一次函数y=-3x+1的图象经过点(a ,1)和点
(-2,b ),则a=________,b=______. 19.如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k 的值为_____.
20.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A 、B 两点,与x 轴交于点C ,则此一次函数的解析式为__________,△AOC 的面积为_________. 21.(14分)根据下列条件,确定函数关系式: (1)y 与x 成正比,且当x=9时,y=16;
(2)y=kx+b的图象经过点(3,2)和点(-2,1).