万有引力与航空航天

万有引力与航天

考点知识梳理

一、开普勒定律

1. 开普勒第一定律(轨道定律):所有的行星绕太阳运动的轨道都是 的一个 上.

2. 开普勒第二定律(面积定律):对于每一个行星而言, 太阳和行星的连线在相等时间内扫过的 相等.

3. 开普勒第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的 的比值都相等, 即k=R 2/T2

二、万有引力定律

1. 内容:自然界中的任何两个物体都是相互两物体间的引力大小跟它们的 成正比, 跟它们的距离的 成反比.

2. 公式:F=Gm 1m 2/r2, 式子中G=.

3. 适用条件:严格地说万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算, r 为两质点间的距离.

4. 理解

(1)普遍性:任何有质量的两物体都存在万有引力; (2)相互性:两物体之间的万有引力满足牛顿第三定律; (3)宏观性:质量大的物体, 万有引力表现才明显. 三、应用万有引力定律分析天体运动

1. 基本方法:把天体的运动看成是其运动所需的向心力由 提供.

GMm/r2=mv2/r=mω2r=m（2π） 2r/T2=m(2πf ) 2r 应用时应根据实际情况选用合适的公式进行计算.

专题一、万有引力定律的理解

例1、一个质量分布均匀的半径为R 的球体对球外很远处质点P 的万有引力为F ，如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r=R/2,则对P 的万有引力为（ ） A.F/2 B.F/4 C.F/8 D.7F/8

专题二、开普勒三定律的理解

例2火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行, 根据开普勒行星运动定律可知( ) A. 太阳位于木星运行轨道的中心

B. 火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C. 火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D. 相同时间内, 火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

专题三求中心天体的质量和密度

例3、 已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，引力常量为G 。可求得地球的质量和

平均密度、

例4. 已知某星球的近地卫星的周期为T ，求该星球的密度

反馈1. 下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A. 地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B. 月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D. 月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

反馈2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )

mv 2

A. GN mv 4Nv 2Nv 4B. C. D.GN Gm Gm

专题四、环绕速度

例5． “嫦娥二号”于2010年10月1日发射，其环月飞行的高度距离月球表面100km ，所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度为200km 的“嫦娥一号”更加翔实，若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示，则（ ）

A ．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”小

B ．“嫦娥二号”环月运行时的线速度比“嫦娥一号”小 C ．“嫦娥二号”环月运行时的角速度比“嫦娥一号”小 D ．“嫦娥二号”环月运行时的向心加速度比“嫦娥一号”小

反馈3．在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面上的重力加速度为g ，忽略地球自转影响，则( )

2R

A 2gR B．卫星运动的周期为4π

g

11C ．卫星运动的向心加速度大小为g D．卫星轨道处的重力加速度 g

24

反馈4、2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后，“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后，“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2。则等于( ) A.

v 1v 2

R 32

R 31

B.

R 2R 2R 22

C. 2 D. R 1R 1R 1

专题五宇宙速度

例6、欧洲天文学家发现了可能适合人类居住的行星“格里斯581c”。该行星的质量是地球的p 倍，直径是地球的q 倍。设在该行星表面及地球表面发射人造卫星的最小发射速度分别为v 1、v 2，则v 1/v 2的比值为( )

33

A. p /q B ．p /q p /q D. p /q

反馈5．据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器，假设其发射过程为先让运载火箭将其送入太空，以第一宇宙速度环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v 在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知地球和火星的半径之比为2∶1，密度之比为7∶5，地球的第一宇宙速度大小为7.9 km/s，则v 大约为 ( ) A ．6.9 km/s B．3.3 km/s C.4.7 km/s D．18.9 km/s

专题六同步卫星

例7、北京时问2012年2月25日凌晨0时12分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，将第十一颗北斗导航卫星成功送人太空轨道。这是一颗地球同步卫星，也是中国2012举发射的首颗北斗导航系统组网卫星。2020年左右，将建成由30余颗卫星组成的北斗卫星导航系统，提供覆盖全球的高精度、高可靠的定位、导航和授时服务。下列关于第十一颗北斗导航卫星说法正确的是（ ）

A ．运行速度大于7.9 km/s B．离地面的高度一定，相对地面静止 C ．比月球的角速度大 D．与地球赤道上的物体向心加速度相等

反馈6、已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G 。有关同步卫星，下列表述正确的是（ ）

A

B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C ．卫星运行时受到的向心力大小为G

Mm

R 2

D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

专题七、变轨问题

例8．一宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度是v 1，周期是T 1，假设在某时刻它向后喷气做加速运动后，进入新轨道做匀速圆周运动，运动的线速度是v 2，周期是T 2，则( )

A ．v 1＞v 2，T 1＞T 2 B.v 1＞v 2，T 1＜T 2 C．v 1＜v 2，T 1＞T 2 D.v 1＜v 2，T 1＜T 2

反馈7、如图所示，嫦娥二号卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探索，卫星在变轨过程中依次经过共同切点为P 点的轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且轨道Ⅰ、Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为圆轨道，下列有关说法正确的是( )

A ．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小 B ．卫星在轨道Ⅲ上经过P 点的速度比在轨道Ⅰ上经过P 点时大 C ．卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短 D ．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大

反馈8、2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下面说法正确的是( )

A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加 C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低

D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

专题八、双星问题

例9、经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线速度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，则可知( ) A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2 2

C ．m 1做圆周运动的半径为L

52

D ．m 2做圆周运动的半径为L

5

反馈9、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量(引力常量为G )( ) 4πr A. 22

T G

B.

4πr

23

T 2G

4πr

23

TG

D.

4πr

TG

反馈10、宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统，如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则（ ） A. 每颗星做圆周运动的线速度为B. 每颗星做圆周运动的角速度为C. 每颗星做圆周运动的周期为2π

Gm

R

3Gm

R

R 3

3Gm

D. 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

专题九航天中的超失重问题

例10、我国已完成了载人航天飞行，以后我国的航天飞机的载员人数及航天员在太空中停留的时间都要增加，体育锻炼成了一个必不可少的环节，下列器材最适合航天员在轨道舱中锻炼时使用的是（ ）B A ．哑铃 B ．弹簧拉力器 C ．单扛 D ．徒手跑步机

例11、火箭内平台上放有测试仪器, 火箭从地面启动后, 以加速度g /2竖直向上匀加速运动, 升到某一高度时, 测试仪对平台的压力为启动前压力的17/18 . 已知地球半径 R , 求火箭此时离地面的高度.(g 为地面附近的重力加速度)

专题十、赤道上的自转问题

例12、如图所示，同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速率为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的 （ ） A ．

a 1

=a 2a v R 2r v r

B ．1=() C．1= D．1=

a 2r v 2R v 2R

R

r

反馈11、地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则（ ） A ．F 1=F 2>F 3

B ．a 1=a 2=g >a 3 C ．v 1=

v 2=v >v

3 D ．ω1=ω3

专题十一、天体运动中的追赶问题

例13 、如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T1，B 行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？

专题十二天体问题与其他知识的综合应用：

例14、2006年2月10日，如图所示的图形最终被确定为中国月球探测工程形象际志，它以中国书法的笔触，抽象地色勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想，一位敢于思考的同学，为探月宇航员设计了测量一颗卫星绕某星球表面做圆周运动的最小周期的方法: 在某星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h ，已知该星球的直径为d ，如果在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做圆周运动的最小周期为 （ ） A ．

π

v 0

dh B．

2πv 0

dh

C ．

π

v 0

d h

D ．

2πv 0

d h

反馈12、荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M 、半径为R ，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G 。那么， （1）该星球表面附近的重力加速度g 星等于多少？

（2）若经过最低位置的速度为v 0，你能上升的最大高度是多少