交通灯数学建模

驾车通过校园

一、 摘要

本文通过对康奈尔大学交通路况以及在不同时间段人流量和车流量的调查，建立适当的优化模型着重解决六个问题中的四个问题。

问题一中，首先提出车辆尾部增长速度的概念，建立一个目标函数，使得一个交通周期内积累的车辆长度最小，并以行人通过人行道的最短时间为约束条件，然后求解出一个交通周期的红绿灯时间。为了简化问题，让四个路口的交通灯周期都一样长，用同样的方法计算其他三个路口的红灯绿灯时间，通过路口的距离再计算出绿灯的时间间隔，并对绿灯时间进行细微调整。 问题二中，根据经验把一天分成三个时段：其一是上班和下班时段，其二是上下课时段，其三是大部分时段。每一个时段的车流量和人流量都不同，对于不同的车辆尾部增长速度和行人过道时间，把相应的数据带入到问题一中的模型，即可得出不同时段的红绿灯时间。

问题五中，行人耽误的时间为等待红灯的时间，用所有行人等待红灯的时间除以行人的总数即可得出普通人平均耽误的时间。在此基础上分成两种情况讨论，一种是等待过人行道的行人数少于绿灯一次可以通过的人数，此时耽误的时间为零，另一种是行人数多于绿灯一次可以通过的人数，此时分成几个批次，求出总耽误时间，再除以总行人数进而求出普通人平均耽误的时间。

问题六中，假设行人是连续不断的，并且认为人行道足够宽是保证本次红灯和绿灯等待的行人在下一次绿灯的时间内都能通过，根据经验估计了行人过道时的前后距离和左右距离，列出等式求出人行道宽，再与现在的人行道宽比较即可知道是否足够宽来容纳等待过马路的人。

问题三和问题四只是用语言详细的叙述了一下，没有给出具体模型，这两个问题没有重点解决。

关键词：交通灯； 优化模型； 车尾增加速度； 行人过道

二、 问题重述

East Ave. & Tower Rd. is one of the busiest intersections on Cornell campus, with a fair amount of vehicular and pedestrian traffic. Y our team is contracted to study the likely consequences of installing a traffic light at that (currently, a 3-way-stop) intersection.

Find a good way to “synchronize” the new traffic light with the three existing ones (at the Thurston Ave Bridge, at Garden Ave. & Tower Rd., and at Central Ave. & Campus Rd.)

Suggest several different possible modes / synchronization programs based on the time of the day. (E.g., note that on weekdays the pedestrian traffic spikes in between classes.)

Will some of the motorists (or pedestrians) switch to alternative routes once this traffic light is installed?

Will the resulting vehicular traffic flow become more efficient than it is at present?

How much of a delay would this plan add for an average pedestrian at this intersection?

Assuming that the majority of pedestrians will follow the rules, are the sidewalks near that intersection wide enough for the crowd waiting to cross the road?

三、 问题分析

3.1 针对问题一的分析

本问题主要目标是要通过分析康奈尔大学的交通状况，在交叉路口设置一个交通灯与已经有的三个交通灯同步，让校园内的交通更加顺畅。由于没有找到已经有的三个交通灯的亮暗情况，所以设计了这四个路口的交通灯亮暗规律。这四个交通灯之间是相互影响的，只有把一个路口的交通灯的规律确定下来才能确定其他三个交通灯的规律，根据康奈尔大学的地图可知，塔路和东大道的交叉口处于四个交通灯位置的中心，所以先把这个路口的交通灯的规律确定下来，然后再确定其他三个交通灯的变化规律。在塔路和东大道的交叉口处有一个方向的路是通往一个小区的，道路非常窄，而且往这条路走的车也特别少，所以把这个路口看出丁字路口。首先以校园的交通最大限度通畅为目标，这里交通最大限度通畅的定义是一个交通周期内积存车辆的最大可能长度达到最小，道路条件、行人通过马路等条件为约束，建立优化模型解决孤立丁字路口的交通灯的安排问题。再根据其他三个交通灯与这个交通灯之间的距离和车速确定其他三个交通灯的变化规律。

在问题一的中给出的模型是适用于大部分的情况（即平时车不是很多的情况下），在一天中早晨上班和下午下班的时候车和人都比较多，在两节课之间人比较多但是车不是很多，所以把一天分为三个时段；上下班时段，两节课中间的下课时段和普通不繁忙时段。其中普通不繁忙的时候就利用问题一中的模型，上下班时段车和行人都比较多，而上下课期间只是行人比平时多，车流量跟平时一样，所以只需要在问题一的基础上改一下数据，重新计算红绿灯的时间。

3.3 针对问题三的分析

通过查找资料了解到，在美国过马路的时候车辆是让着行人的，所以在没有安装交通灯之前，在交叉路口处只要有行人过马路则车一定要先让人，行人可以自由通过。而安装完交通灯之后，行人在过马路时要遵守交通规则，肯定会比没有安装交通灯时候要耽误一些时间，而车在过马路时不必要再让着行人，只需要按照交通灯的指示。所以无论在一天中的哪个时间段，对于行人肯定会耽误一些时间，而对于车则会比原来节省一些时间。并且通过上网找的资料了解到车从校外进入学校的中心时必须要经过题中放置交通灯的那些路，所以车不会在改路线，而人要根据改路线所需要的时间和耽误的时间相比较来确定是否改换路线。

3.4 针对问题四的分析

在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。而且从行人的角度分析，当没有交通灯时，行人过马路不受任何限制，而在安装完交通灯之后，行人过马路的时候要受到红灯的限制。所以从这两点分析，车辆交通的流动肯定比原来的会好些，但是行人多的时候行人流动肯定会受到堵塞，行人少的时候行人的流动效果跟原来基本相同。

3.5 针对问题五的分析

因为在没有交通灯时候，行人在过交叉路口时候不用等，可以直接通过。而安装完交通灯之后，行人在绿灯的时候可以通过，在红灯的时候则要等一段时间。但是在一天中的不同时间段等待的时间不一样，因为人少的时候，所有等待过马路的人在绿灯的时候都能通过。但是在行人比较多的时候，因为斑马线的宽度和绿灯的时间都有限，所以在绿灯的时候可能只能通过部分行人，其他行人可能还要等一个或者几个红灯。于是在这个问题上分为两种情况讨论：第一种情况是大部分时间人比较少的情况，第二种情况是上下班还有两节课之间人比较多的情况。第一种情况认为大部分人可以顺利通过不耽误时间，第二种情况可以用所有人耽误的时间与总人数的比值来估计对于普通行人耽误了多长时间。

因为问题六是假设大部分人都遵守交通规则，判断道路是否足够宽来容纳等待过马路的人，此题认为行人是连续不断的，而且行人在过马路时都自觉排队通过。在红灯和绿灯都会有行人排队等待，要让行人能顺利通过（即行人等待的最多时间是一个交通周期），则需要在绿灯的时间内通过上个周期全部绿灯时间内等待的行人和上个周期全部红灯时间内等待的行人，这样道路才是够宽的。根据调查的行人排队时候的人流量还有交通灯的周期以及绿灯亮的时间，还有估计的行人过人行道时候的速度以及人与人之间前后距离和左右距离，根据这些可以计算出道宽，将得出的道宽再与现在的道宽相比较来判断人行道是否足够宽。

四、 模型假设及符号说明

4.1 基本假设

1. 通往路口的所有车辆长度完全相同（约5米）；

2. 同一转向的车通过交叉口的平均速度相同，通过路口所用时间相同； 3. 路口处不发生事故；

4. 所有司机和行人遵守调度规则；

5. 不考虑黄灯的影响，将黄灯时间假设为4秒，算到绿灯里面；

6. 路口是右转可以直接通行而不影响人行道；

7. 信号灯转绿灯时，车发动时间忽略不计。

4.2 符号说明

U i ：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1在遇到红灯后的停止车队尾部增长速度；

：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的绿灯时间； T i

T i ：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的红灯时间；

五、 模型建立及求解

5.1 针对问题一的模型建立及求解

首先研究在塔路和东大道的交叉处的路口，为了简化问题，把该路口看成是丁字路口。分析交通路口的堵塞程度，主要参量是路口积存车辆的长度。均匀车流在遇到红灯后会产生长度不断增长的停止车队，记停止车队尾部的增加速度为U i ，则时间t 内总积存车辆长度为U i ×t。下面的讨论将直接基于U i ，首先建立

了塔路和东大道路口的交通灯时间安排优化模型，此部分以使单位时间内积存车

辆的最大长度最小为目标，以交通经验、行人可以通过人行道等条件为约束条件建立优化模型。因为这个模型对十字路口和丁字路口都适用，在其他三个路口的时候也用这个模型，然后讨论了其他三个路口与该路口的联系，因为其他三个路口都在塔路与东大道交叉路口的两侧，而且从谷歌地图上可知其他三个路口和塔路与东大道的交叉路口离的都很近，所以要车流的“下游”积存的车辆至少不能超过它和“上游”路口之间的距离，否则，两个路口间的车辆会互相影响，最终造成交通混乱。在最后讨论上面两个模型的稳定性及改进方向。

图1 丁字路口交通示意图

在此路口加装红绿灯，首先需要分配各个路口的车流人流顺序，即就是合理的安排不同的相位。相位设计的合理与否将直接影响路口的通行效率，相位太少即同时通过的车流人流方向较多，容易发生交通拥堵。相位太多则会出现放行车道的车早已通行完。未放行的车道，堵的车较多，总的来讲，使得整个交通路口的通行效率降低。根据康奈尔大学的实际情况，此丁字路口的车道为双向单车道，即在路口处没有分设的右行车道和直行车道，所以到此路口的车辆无论是直行还是转弯都必须一字排开依次通行。综合起来看，将此丁字路口设计为三个相位，如图2

图2 丁字路口的三个相位图

定义交通周期的概念：一个交通周期即在一个路口, 所有的不可同时亮的绿灯依次亮一遍所需要的总的时间，在丁字路口模型中，一个交通周期是 +T +T 记作T T 123

根据图一可知，a1、b1、c1两两相冲突，在某段时间内有且只有其中的一条车流通行，对于某一条车道而言，红绿灯循环交替。故若不考虑黄灯，我们有

∑T i =∑T i =T (1)

i i

T i =∑T (2) j

i ≠j

以车流a1为例, 在一个交通周期内, 积累的车队的最大长度约为

+U ⨯T (3) U i ⨯T 1=U i ⨯T 2i 3

对于车流b1、c1的分析也同理. 故一个交通周期内积累车队的总最大长度为

+T ) +U ⨯(T +T ) +U ⨯(T +T ) U 1⨯(T 23231321 (4)

则单位时间内路口积累的车队最大长度为

+T ) +U ⨯(T +T ) +U ⨯(T +T ) U 1⨯(T 23231321 f (T 1, T 2, T 3) = +T +T T 123 (5)

我们的目标是在一定约束条件下求m in , T , T ) f (T 123

下面寻找这个问题的可行区域. 首先, 可行区域的确定依赖于现有经验. 例如, 多

长的等待时间是一般司机可以接受的、车流量在某个范围内的路口, 其交通周期

T ', T '的范围大概是多少等等. 不妨设某个路口的交通周期有经验范围[12], 于是

T 1'≤T =∑T

i =13i ≤T 2' (6)

此外, 实际中必须考虑行人过马路的问题. 如图1，A 、B 、C 处都可设立人行横道，A 、C 通行要求a1、a2、c1、c2同时红灯;B 通行要求b1、b2、c1、c2同时红灯或a1，a2，b1，b2同时红灯，亦即A 、C 要求a1、a2、c1、c2在b1，b2通行时亮红灯，B 要求b1、b2、c1、c2要在a1，a2通行时亮红灯或要求a1，a2，b1，b2在c1，c2通行亮红灯。

下面初步确定绿灯时间T 1、T 2、T 3的下限T 01、T 02、T 03，a2的红灯时间长度

的下限，即行人穿过B 所需的时间为T B ；显然有

≥T =T (7) T 101B

同理, 设行人穿过A 所需的时间为T A ，则有

≥T =T (8) T 202A

此外C 处建立人行横道，则需要

T 3≥T 03=T A (9)

此时, 我们还需取一正数ε，验证是否满足 max |U ⨯T 0i -U ⨯T 0j |≤ε，i ≠j , i , j =1, 2, 3 （11）

即在绿灯时间下限的时间长度中, 若是红灯情况, 各条车道积累的车辆长度是否足够相近，若它们相差比较大, 则应把其中的长度积累比较小的周期下界相应地调大。这个想法也比较自然，人行横道造成的下界限制是道路情况决定的，与车流本身的性质无关，但车流的性质在考虑绿灯时间下界时显然应该考虑。

记T 1, T 2, T 3调整后的下界分别为T 11, T 12, T 13, 于是我们有：

≥T （12） T 111

≥T （13） T 212

≥T T 313 （14）

于是, 以(5)式为目标函数,(6)、(12)、(13)、(14)式为约束条件, 我们得到一个优化问题. 这个优化问题的解, 就是车流a1、b1、c1的绿灯时间。

根据实测的国内某大学与D 路口相似的路况下的一些数据如下：

U 1⨯T 01=6⨯0.0042=0.025，

U 2⨯T 02=2.8⨯0.0083=0.023,

U 3⨯T 03=2.5⨯0.0083=0.021。

对模型进行求解：易知它们之间最大差距只有0.004km=4m

m in (2.8+2.5)⨯T 1+(6+2.5)⨯T 2+(6+2.8) ⨯T 3

+T +T T 123

st ∑T i =140

i

≥15T 1

≥30T 3 ≥30 T 2

用Lingo 计算, 可得到T 1=80(s ) , T 2=30(s ) ,T 3=30(s ) ,通过上面的分析可

知这样的交通灯时间安排才最理想. 亦即对于U 1较大的a1车流, 还应增长其绿灯

时间长度, 同时应调短b1的绿灯时间. 同时, 这个路口还存在行人通过人行横道B 有困难的情况, 故也建议按照上述模型的分析安排a2和b2的红灯时间. 根据相位图以及得到的数据，可得到各个车道的在不同相位下的红绿灯时间分配图：

图3 不同相位的时间分配示意图

由图3可以清晰的看到各个相位下不同车道的红绿灯时间分配情况，在1相位下只允许b1和b2通行，即b1和b2车道绿灯，同时允许A 、C 人行道通行，其他车道都禁行，即a1，a2，c1，c2和人行道B 都是红灯。在2相位下只允许a1和a2通行，即a1和a2车道绿灯，同时允许B 人行道通行，其他车道都禁行，即b1，b2，c1，c2和人行道A 、C 都是红灯。在3相位下只允许c1和c2通行，即c1和c2车道绿灯，同时允许B 人行道通行，其他车道都禁行，即a1，a2，b1，b2和人行道A 、C 都是红灯。

多个路口相连时红绿灯的情况：根据谷歌地图可以知道，其他三个路口离搭路和东大道的交叉口的距离都非常近，所以必须考虑它们之间的影响，如果“下游”的路口(例如图中的A) 没有及时进行疏散，积存的车辆长度很可能达到上一个路口，从而影响了“上游”(例如图中的D) 的交通，这显然不好。又由于A,B 两个路口都是十字路口，所以讲A,B 两路口的对D 的影响同时考虑，得出D 的红绿灯时间，然后再根据D 的红绿灯时间确定C 处的红绿灯时间。

首先在此讨论A ，B 与D 路口相邻的情况，主要考虑问题的两个方面：一是

确定相邻路口各自的周期；一个是确定这两个路口交通周期的间隔，根据康奈尔大学实测的数据，将其路形简化为如下图4所示，实测DA 和DB 距离相等并设其距离间隔为L 。

图4 实测丁字路口右转车辆红灯图

首先, 这两个路口孤立考虑，由于它们的经验交通周期可能不同, 故可能出现类似图5的情况：

图5 交通周期错位图

此时将很难控制A ，B 和D 处向图中左方直行车辆的绿灯时间间隔, 从而容易出现路口间的相互影响，故应把这两个交通周期调成一致。

5.1.1 对于A,B,C 路口与D 的联系分别叙述如下

1、对于A 路口和D 路口之间的联系：

为了研究D 丁字路口的通行问题的方便，不妨将A,B 十字路口设计成如下图

6所示的两相位通行方式。

图6 A十字路口的相位设计

先讨论AD 路口之间的联系，在此情况下，A 路口时刻会有进入AD 道，依据D 路口处的红绿灯情况在AD 道等候或者通行。所以D 路口处AD 方向绿灯时间，既c1,c2，车道通行时间长短需要考虑两个实际问题的限制： 限制条件一，排队的车辆最大长度必须小于一个经验值2

3L 。假设从路口A

2

3L 处进入到AD 的车流量为Q A ,D 处红灯时间为T 红，那么Q A ⨯T a 红≤；

限制条件二，车道c1，c2红灯时积存的车辆以及绿灯通行时进入AD 车道的车辆总数能在c1，c2放行时全部通过，没有剩余的车辆留给下一个周期。为了更好的阐明此种限制情况，不妨设D 丁字路口的周期开始时刻即为c1，c2变为红灯的时刻，那么c1，c2刚从绿灯变为红灯时刻，假设第一辆车刚从A 处开到D 处停下，同时依次往后累积，那么可以假设c1，c2红灯时间段累积的车辆数位m 辆。下一时刻c1，c2从红灯变为绿灯，此时正常情况下AD 车道上车辆总数应该减少，但是也不排除有这样的情况存在：由于A 十字路口的车总是有开往D 丁字路口的，即c1，c2放行，也有可能车尾的长度还在增加，这是一种非正常情况，也就是在车流量的极大的情况下才会发生，如遇到这样的情况，数学的方法将不能改善此处的交通状况，只有通过拓宽道路的方法才能的得以解决。假设在此不会发生此类情况，故不予以考虑。所以认为c1，c2从红灯变为绿灯，车尾长度必然减少，那么在绿灯期间从A 路口开进AD 的车辆总和为n ，故m+n的车辆总数，可以在D 路口c1，c2放行时全部通过，这样每个周期里从A 开到D 的车都能全部走完，不会累计到下一个周期，故在正常情况下不会造成拥堵。这样根据前面的时间优化模型，再加以考虑此处的两个限制条件，可以分别得到一个D 处合理的红灯和绿灯时间。假设从丁字路口既就是从c1，c2开出去的车流量为Q D ，c1，c2的绿灯时间为T c 绿，总的周期为T ，那么Q A ⨯T ≤Q D ⨯T c '绿；这样可以得出c1，c2车道的绿灯时间T c '绿，在参考前面模型优化得到的孤立路口时

的绿灯时间T 2=30(s ) ，在满足T c '绿的情况下，取T 2，如果的取不到则取足够接近

的值。最终可以得到一个合适的T c 绿

下面确定两个路口的绿灯时间间隔，对于此路口的情况下，由于A 路口总是有车开往D 路口，故只需要设计A ，D 两路口的绿灯开启时间有一个时间差t ，

使得从A 出发的车经过时间t 到达D 路口，并且同时此刻D 路口的交通灯由绿灯变为红灯，这样就可以在接下来的一个相同周期内满足上述条件下，从A 出发的车都能从D 处开走，不至于留到下一个周期。也就是说D 的绿灯比A 滞后一个t 时间。从A 到D 的距离实测L=0.3英里，此路的限制时速为30km/h，所以严格的计算可以得出从A 出发的车到D 的时间t=57.6s，这是按最高的限速来计算处理得到的，而实际情况下车速不可能总是在最高限速30km/h下行驶，故时间会延长，在取此t=60s。也就是说在A 红灯变为绿灯之后，在经过60秒，D 处也就是c1，c2车道红绿灯由红灯变为绿灯。可以画出A 和D 处的放行车道即就是c1，c2车道的红绿灯相对开启时间。如图7所示：

图7 A，D 路口绿灯“同步”方案

B ，D 路口之间的同步方案讨论方法与上述A ，D 之间的讨论方法相同，不同的只是L '值与L 的值不一样。则：

Q B ⨯T 红≤23L '

'⨯T b '绿Q B ⨯T ≤Q D

这样可以确定出b1，b2车道的绿灯时间T b 绿

L=0.2英里，可以得到t=36s，所以取t=40s 。根据BD 两路口的之间的距离

图8 A，D 路口绿灯“同步”方案

根据得到的T c 绿 T b 绿，以及经验周期值T=140s，可以计算得到

-T b 绿

进而也可以求的各个相位下的红灯时间T a 红，T b 红，T c 红。

2、 对于C 路口的和D 路口之间的联系：

根据已有的D 路口的通行方式，设计C 和D 路口的同步方案。C 路口到D 路口车流形式有两种，如图9, 图10所示的两图所示

: T a 绿=140-T c 绿

图9 C路口到D 路口车流方式一

图10 C路口到D 路口车流方式二

C 路口的相位与D 路口的相位相同，分析方法类似，根据现有的模型以及实

'放行的的绿测的数据，可以分别得到孤立的C 路口a '2放行的的绿灯时间T a '绿和b 1

灯时间T b '绿由模型可以得出时间T 1, T 2便是C 路口孤立考虑时得到的进入CD 路段

最优时间，此时再根据得到的D 路口的已有的时间，在考虑与AD 类似的通行的限制条件便可得出C 和D 路口相对应的时间联系。但是C D路口之间的联系与AB 路口之间的联系类似但也存在不同之处。

与AD,BD 相比，CD 路口联系有两种情况存在：

情况一：优化的得到的时间T 1, T 2的和小等于D 路口的a1，a2的放行时间，

那么C 路口的车都能顺利的且完全通过D 路口，不会有车累积下，那么为了研究问题的方便，让CD 路口的绿灯开启时间相差一个时间t ，此段时间t 便是车从C 路口出发到达D 路口的的时间，t=60s，便可以设计出他们的绿灯开启时间差的示意图。如图10

情况二：优化的得到的时间T 1, T 2的和大于D 路口的a1，a2的放行时间，那

么，就会有与AD 路口之间联系相同的两个限制条件： 限制条件一，排队的车辆最大长度必须小于一个经验值2

3L 。假设从路口C

2

3L （T a '绿+T b '绿）≤处进入到CD 的车流量为Q c ，D 处红灯时间为T a 红，那么Q c ⨯；

在此如果进入CD 车道的车没有达到

2

3L 。 23L ，那么由于T a 红时间内也一定不能达到

'和a '2绿灯时时进入的车辆总数要能在a1，a2放行时全限制条件二，车道a 1

部通过，没有剩余的车辆留给下一个周期。为了更好的阐明此种限制情况，不妨设D 丁字路口的周期开始时刻即为a1，a2变为红灯的时刻，那么a1，a2刚从绿灯变为红灯时刻，假设第一辆车刚从C 处开到D 处停下，同时依次往后累积，那么可以假设a1，a2红灯时间段累积的车辆数位m 辆。下一时刻a1，a2从红灯变为绿灯，此时正常情况下CD 车道上车辆总数应该减少，但是也不排除有这样的情况存在：a1，a2在放行但是车尾的长度还在增加，这是一种非正常情况，也

就是在车流量的极大的情况下才会发生，如果发生这样的情况数学的方法将不能改善此路口的交通状况，只能通过拓宽道路来改变。假设在此不会发生此类情况，故不予以考虑。所以认为a1，a2从红灯变为绿灯，车尾长度必然减少，那么在绿灯期间从C 路口开进CD 的车辆总和为n ，故m+n的车辆总数，可以在D 路口a1，a2放行时全部通过，这样每个周期里从C 开到D 的车都能全部走完，不会累计到下一个周期，故在正常情况下不会造成拥堵。这样根据前面的时间优化模型，再加以考虑此处的两个限制条件，可以分别得到一个C 处合理的红灯和绿灯

''，时间。假设从丁字路口a1，a2开出去的车流量为Q D a1，a2的绿灯时间为T a 绿，

''⨯T a 绿；总的周期为T ，C 路口绿灯的时间为T a '绿，T b '绿，那么Q C ⨯（T a '绿+T b '绿）≤Q D

从C 出发的车要到达D 同样需要经历时间t=60s，故根据得到的T c 绿和T c 红优化得到的时间T 1+T 2和T 3，优先考虑限制条件得到的时间和T c 红，如果能满足孤立路口考虑时得到的优化值，则取优化值T 1+T 2和T 3，如果不能满足，则在满足限制

条件得到的值得前提下，取与孤立路口考虑时得到的优化值足够接近的值, 最后

'的放行时间为T 1，a '2的放行时间为T 2。 的值表示为b 1

5.2 针对问题二的模型建立及求解

在问题一中给出的模型是适用于大部分的情况（即平时车不是很多的情况下），在一天中早晨上班和下午下班的时候车和人都比较多，在两节课之间人比较多但是车不是很多，所以把一天分为三个时段；上下班时段，两节课中间的下课时段和普通不繁忙时段。为了简化问题，认为这三个时段的交通灯周期都是一样长，只是红绿灯的时间不同。

其中普通不繁忙的时候就利用问题一中的结果，因为问题一中查找的数据就是普通情况下的数据，所以可以直接引用。

上下班时段车和行人都比较多，需要重新调查这段时间内的车尾增加速度，行人过道的最小时间需要用问题一中的式（11）调节，根据经验认为ε=5，最后求出红绿灯时间。

而上下课期间只是行人比平时多，车流量跟平时一样，不需要重新调查，所以只需要根据问题一中的式（11）调节行人过道的最短时间，也认为ε=5，在问题一的基础上改一下数据，重新计算红绿灯的时间。

5.3 针对问题三的模型建立及求解

从谷歌地图中可以看到康奈尔大学远离人口密集的地区，这是它最重要的方面之一。两个峡谷对通过校园有着显著的影响，特别是对车辆的影响。从北部进入校园必须横跨瀑布溪的桥梁。从伊萨卡市中心到达校园的车被限制在两条路径上，西面陡峭的山坡限制车辆从西面进入校园。从东部和东南部进出校园的车限制较少。校园的街道适合所有类型的车辆通行（对车辆负载有要求除外）。从康奈尔大学官网中得知，学校大力倡导步行，并建设了校园步行网络。

而且在美国，车是让着行人的，所以在没有安装交通灯之前，在交叉路口处只要有行人过马路则车一定要先让人，行人可以自由通过。而安装完交通灯之后，行人在过马路时要遵守交通规则，肯定会比没有安装交通灯时候要耽误一些时

间，而车在过马路时不必要再让着行人，只需要按照交通灯的指示。

所以无论在一天中的哪个时间段，对于行人肯定会耽误一些时间，而对于车则会比原来节省一些时间。基于以上的原因，我们认为车不会改路线，而人要根据改路线所需要的时间和耽误的时间相比较来确定是否改换路线。图11是在康奈尔大学官网上查找的图片，根据图片可知人们要到一个地方可以有很多条路线，这其中肯定有一条是最短的，但是其他的路线的距离与最短路线的距离可能很接近，所以行人需要比较一下走最短路线时候的时间和耽误的红灯时间的和与走其他路线用的时间哪个更短些。如果走其他路线用的时间短，则行人会转向其他的路线，如果走其他路线的时间长，则不会转向其他的路线。此外，我们通过查阅资料，得知美国人过道时候主要会考虑两点原因，一是绿灯的时间是否足够长让他们通过，二是红灯时间是否过长，他们忍受的红灯时间只有50s ，如果等待时间超过50s 可能也会改变路线，所以行人是否变换路线的主观因素很多，只能给出以上相对可能的模型。

图11 人行道网络图

5.4 针对问题四的模型建立及求解

按照问题二中把一天分成三种情况来讨论，在每种情况下分别考虑车辆交通的流动效果：

第一种情况，在上班和下班时段，此时车和行人都比较多，在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。虽然车比较多，但是相应的绿灯时间是根据车流量安排的，所以车辆不会拥堵，即安装完交通灯之后比原来的效果更好。

第二种情况，在两节课中间的时段，此时车不是很多，但是人很多，图12是在康奈尔大学的官网上查找到的在两节课中间行人通过塔路和东大道交叉路口时候的图片。从图12中可以看出在两节课中间通过塔路与东大道交叉口的行人特别多，而且车辆都是让着行人通过，还可以推测出在上下班时段行人也会这么多或者还要多。在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人

先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。而且此时车不是很多，所以车辆肯定不会堵塞，车辆交通流动效果肯定比没有安装交通灯前好。但是从行人的角度考虑，原来没有交通灯时候不用等红灯，现在要等待红灯，而且根据图12可知没有在这个路口没有安装交通灯之前行人就很拥堵，在安装完交通灯后肯定还会更拥堵，所以要解决人行流动的问题只靠安装交通灯是解决不了的，只能增加道宽或者增加几条路线。

图12 下课期间行人过道图

第三种情况，大部分情况（即行人和车辆都不是很多），所以原来没有交通灯的时候，车辆可以自由通过，所以原来车辆交通流动效果很好。此时有交通灯，车辆过马路的时候要受到交通灯的限制，但是交通灯的时间设计的时候已经保证车辆不会拥堵，所以安装交通灯之后车辆也不会拥堵，即车辆的交通流动效果跟原来基本相同。而从行人的角度分析，当没有交通灯时，行人过马路不受任何限制，而在安装交通灯之后，行人过马路的时候要受到红灯的限制。但是现在行人不是很多，行人等待的时间最多就是一个红灯的时间，所以此时行人流动效果跟原来基本相同。

5.5 针对问题五的模型建立及求解

在没有交通灯之前，行人过马路时候不需要等待，可以直接通过。安装交通灯之后，绿灯的时候可以顺利通过（在过马路的人不是很多的情况下），如果是红灯则需要等待，所以等待的时间即为等红灯的时间。具体模型如下：

根据经验设人步行速度为1.2m/s，人与人前后之间的距离为0.5m ，人与人左右之间的距离0.8m ，道路的宽L=8m，人行道宽度d=3m，人行道允许并排通过的人数d

0. 8 4，等待过马路的人数N ，一次绿灯时间内可以通过的人数为n ，以问题一中的A 人行道为例，则行人通行的红灯时间为T 1，绿灯时间为T 1。

下面分两种情况讨论：

第一种情况，当等待过马路的人数少于一次绿灯时间段内可以通过的人数 （即N

第二种情况，当等待过马路的人数少于一次绿灯时间段内可以通过的人数 （即N>n），则只有部分行人能通过，剩下的行人等待下一次绿灯，具体分析如下：

根据绿灯时间和人的行走速度以及每两排人之间的距离可知，一次绿灯时间内可以通过的人数为：

（15） ⎛1.2T 1⎫n = +1⎪⨯40.5⎝⎭

而剩下的人只能等待下一次绿灯，详细情况见图13：

图13 行人过道等待时间图

假设第一排的人到路口的时候恰好遇到绿灯，则第一批的行人通过马路时候不用等待，即耽误的时间为零。在第一批行人过马路的时候后面的行人也一直跟着走，这样绿灯的时间就不能看成耽误的时间，耽误的时间只包含行人等红灯的时间。所以第二批通过的行人耽误的时间为一个红灯的时间，第三批通过的行人等待的时间为两个红灯的时间，以此类推。

这样，把过马路的人分成D 个批次

⎛N ⎫D =roundup ⎪⎝n ⎭

D （16） ⎛6⎫向上取整的结果（例如：6/5=1.2，则D =roundup ⎪=2），这样得n ⎝5⎭

到耽误的总时间为

=(D 2-D )2⨯T [1+2+3+... +(D -1)]⨯T 11 为N （17）

从而得出对于普通人来说耽误的平均时间为： T =(D 2 -D )2⨯T 1

N （18）

5.6 针对问题六的模型建立及求解

此题只考虑第一问中两个人行道中的A 人行道，令一个人行道的模型可以同样应用到该模型上。对于人行来说，红灯时间为T 1，绿灯时间为T 1，总时间为

，具体过道分析见图T =T 1+T 114：

图14 行人过人行道分析图

因为人行过道是连续不断的，第一个红灯内等待过道的人数包括上一个绿灯内累计的人数和这个红灯内累计的人数，这些人在第一个绿灯时间内要全部通过。第一个绿灯内积累的人数和第二个红灯内累计的人数要在第二个绿灯时间内全部通过，以此类推。实际行人通过马路时候是双向的见图三，本题只考虑了一个方向，把行人之间的距离调大些，当两个方向的行人相遇时可以插人缝过去，这样会使问题更加简化而且效果是一样的。根据调查可以知道在排队等候过马路的人流量q 和交通灯的周期T ，则每一次绿灯通过的人数为：

N =q ⨯t （19）

设人行道的宽度为d ，人与人之间左右的距离为0.8m ，前后距离为0.5m ，并且行人在等待过人行道的时候都自觉按顺序排队，每排有d /0.8人，总共有N ÷(d /0.8) 排，因为在一个周期内行人不累计，则可以列出下列等式：

（20） [N ÷(d /0.8) -1]⨯0.5÷1.2=[q ⨯t ÷(d /0.8) -1]⨯0.5÷1.2=T 1

其中N 、T 1都可以都过调查得到具体的数据，所以根据等式（20）即可以求

出人行道的宽度d ，此宽度为保证行人不累积的最小宽度。将求出的人行道宽度的值与实际的人行道宽度进行比较，即可以知道是否够宽。

六、 模型评价

6.1 模型优点

1、结合实例调查分析，针对性较强，耗资少。给出了解决拥堵方案的优化模型，并对模型进行了求解，对于缓解校园交通拥挤具有一定的参考作用。

2、这个模型简明易懂并且比较准确，有实用价值且比较稳定，同时为现实生活中指挥交通状况提供了数学理论上的保证。

3、min 目标函数的使用，使在讨论红绿灯时间问题时更加合理。

4、在车流量和人流量增大时，应用该模型能很好得调整红绿灯周期，以适应变化的交通流量。

6.2 模型缺点与改进

1、在建模的过程中，使用的数据只是现实数据的一种近似，因而得出的结果可能与现实情况有一定的差距。

2、对校园内的实际情况调查得不够详细，搜集的数据不够准确，导致在模型验证时对算法的准确性有一定影响。

3、忽略了驾驶员选择道路的主观因素，在讨论驾驶员是否更改路线时缺少说服力，忽略了车辆加速、减速和黄灯的时间。

模型改进可以从以下几个方面改进：

1、查阅不到的数据可以亲自去学校调查一下；

2、问题一中，可以把问题研究的更加细致些，把四个路口的交通灯周期不当做是一样的，而且可以每个车道都设立交通灯，让不同的车道按照不同的交通灯指示行驶；

3、在计算交通灯周期时可以单独计算一下黄灯的时间，把黄灯的时间也考虑进来。

参考文献

[1]张开广、孟红玲、巴明廷等. 《洛阳智慧交通系统的数据库应用研究》，河南科学， 30(4)：0461-04 ，2012

[2]王炜、郭秀成编著，《交通工程学》，东南大学出版社，2000

[3]陆化普编著，《城市交通现代化管理》，人民交通出版社，1999

[4]姜启源、谢金星、叶俊编著，《数学模型》，高等教育出版社，2003