工程数值分析总结报告

《工程数值分析》总结报告

题 目： 分 院： 班 级： 姓 名： 学 号： 完成日期：

二○一二年十一月制

1、非线性方程求根

1.1 二分法的原理和算法 1.1.1二分法的原理

将函数f(x)用二分区间的方法解方程f(x)=0是一种用无限逼近的数学思想，去解方程，它的依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f （a ）与f （b ）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)

1.1.2二分法的算法

（1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。 （2）计算f (x ) 在区间中点处的值f (x 1) 。 （3）判断若f (x 1) =0, 则x 1即是根，否则检验：

①若f (x 1) 与f (a ) 异号，则知道解位于区间[a , x 1]，

b 1=x 1, a 1=a

②若f (x 1) 与f (a ) 同号，则知道解位于区间，[x 1, b ]，

a 1=x 1, b 1=b

反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：

(a , b ), (a 1, b 1),... (a k , b k )

（4）当

b k +1-a k +1

，则

x k +1=

1

(a k +b k ) 2即为根的近似值

1.2不动点迭代法的原理和算法，并分析不同迭代格式的收敛性

1.2.1不动点迭代法的原理和算法

将非线性方程f (x) =0化为一个同解方程x =φ(x ) ，并假设φ(x ) 为连续函数。 任取一个初值x 0，代入方程的右端，得x 1继续 x 2

=φ(x 0)

2 =φ(x 1) ——○

……

3 x k +1=φ(x k ) (k =0,1,2, ) ——○3式为求解非线性方程○2的简单迭代法 称○

称φ(x ) 为迭代函数，称x k 为第k 步迭代值 如果存在一点x ，使得迭代序列｛x k ｝满足lim k →∞

x k =x *

3收敛，否则称为发散。 则称迭代法○

1.2.2分析不同迭代格式的收敛性

定理1：设迭代函数ϕ(x ) 在[a,b]上连续，且满足 （1当

x ∈⎡⎣a , b ⎤⎦时，a ≤ϕ(x ) ≤b

∀x ∈⎡⎣a , b ⎤⎦，有ϕ'(x ≤L

存在一正数L ，满足0

x =ϕ(x ) 在[a , b ]内有唯一解x

x 0∈⎡⎣a , b ⎤⎦，迭代法x k +1=ϕ(x ) 均收敛于x

2）对于任意初值 3）x k -x ≤

L

1-L

x k -x k -1

4）

x k -x ≤

L k

1-L

x 1-x 0

定理2：若x 是ϕ的不动点，ϕ' 在x 的某领域上存在且连续，并满足

0≠ϕ'(x

=ϕ(x k ) 在x 的领域是线性收敛的

1.3 Newton迭代法的原理和算法

设已知方程f (x ) =0的近似根x 0, 则在x 0附近f (x ) 可用一阶泰勒多项式

p (x ) =f (x 0) +f ' (x 0)(x -x 0) 近似代替. 因此, 方程f (x ) =0可近似地表示为p (x ) =0. 用x 1表示p (x ) =0的根, 它与f (x ) =0的根差异不大.

设f ' (x 0) ≠0, 由于x 1满足f (x 0) +f ' (x 0)(x 1-x 0) =0, 解得

f (x 0)

x 1=x 0-

f ' (x 0)

重复这一过程, 得到迭代格式

f (x n )

x n +1=x n -

f ' (x n )

这就是著名的牛顿迭代公式, 它相应的不动点方程为

f (x )

g (x ) =x -.

f ' (x )

计算可得g ' (x ) =-

f (x ) f " (x )

, 设x *是f (x ) =0的单根, 有f (x *) =0, f ' (x *) ≠0, 则 2

[f ' (x )]

**f (x ) f " (x ) *

g ' (x ) =-=0, *2

[f ' (x )]

故在x *附近, 有g ' (x )

2、线性方程组的数值解

2.1 线性方程组的数值求解的原理和算法 2.1.1设线性方程组的数值求解的原理

Ax =b (1)

的系数矩阵A 可逆且主对角元素

a 11, a 22,..., a nn 均不为零, 令

D =diag (a 11, a 22,..., a nn

并将A 分解成

)

A =(A -D )+D (2)

从而(1)可写成

Dx =(D -A )x +b

令

x =B 1x +f 1

其中

B 1=I -D -1A , f 1=D -1b . (3)

以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式)

x (k +1)=B 1x (k )+f 1(4)

称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式), 用向量的分量来表示,(4)为

⎧⎨⎩

其中

x

(k +1) i

1=a ii

[b

i

-∑a i j x (j k )

j =1j ≠i

n

]

i =1, 2,... n ,

0n

T

k =0, 1, 2,... (5)

x

(0)

=(x (), x (),... x ())

01

02

为初始向量.

2.1.2算法描述

1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta 2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量

3判断X 是否满足误差要求，即||Xk+1 – Xk ||

4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代

3、数据插值

3.1 Lagrange插值的原理和算法 根据线性空间的理论

所有次数不超过n 的多项式构成的线性空间是n+1维的

这个n+1维线性空间的基底也由n+1个多项式组成，并且形式不是唯一的 而任意一个n 次多项式可由基底线性表示，且在不同的基底下有不同的形式 设φ0(x ), φ1(x ), , φn (x ) 为上述n+1维线性空间的一个基底 显然φ0(x ), φ1(x ), , φn (x ) 线性无关

且任意n 次多项式P n (x ) 可由φ0(x ), φ1(x ), , φn (x ) 线性表示

P n (x ) =a 0φ0(x ) +a 1φ1(x ) + +a n φn (x )

如果P n (x ) 为某个函数f (x ) 的插值函数 则称φ0(x ), φ1(x ), , φn (x ) 为插值基函数 且满足 P n (x i ) =y i

i =0,1,2, , n

其中 x i , i =0,1,2, , n 为插值节点

y i =f (x i )

i =0,1,2, , n

如果a ≤x 0

l j (x ) =

(x -x 0)(x -x 1) (x -x j -1)(x -x j +1) (x -x n ) (x j -x 0)(x j -x 1) (x j -x j -1)(x j -x j +1) (x j -x n )

=

(x -x i ) ∏i =0(x j -x i )

n i ≠j

j =0,1,2, , n

令ωn +1(x )

=(x -x 0)(x -x 1) (x -x n )

'+1(x j ) =(x j -x 0)(x j -x 1) (x j -x j -1)(x j -x j +1) (x j -x n ) 则ωn

从而l j (x ) =

(x -x 0)(x -x 1) (x -x j -1)(x -x j +1) (x -x n ) (x j -x 0)(x j -x 1) (x j -x j -1)(x j -x j +1) (x j -x n )

ωn +1(x )

j =0,1,2, , n =

'+1(x j )(x -x j ) ωn

显然l 0(x ), l 1(x ), l 2(x ), , l n (x ) 线性无关

⎧1i =j

i , j =0,1,2, , n 且l j (x i ) =⎨

⎩0i ≠j

如果用l 0(x ), l 1(x ), l 2(x ), , l n (x ) 作y 而P n (x ) 为f (x ) 的插值多项式，则

=f (x ) 的插值基函数

P n (x ) =a 0l 0(x ) +a 1l 1(x ) + +a n l n (x )

其中a 0a 1

a n 为待定参数

f (x i ) =y i

y i

令P n (x i ) =

n

i =0,1,2, , n

i =0,1,2, , n

即

a j l j (x i ) =∑j

=0

⎧1i =j

i , j =0,1,2, , n 可得由l j (x i ) =⎨

⎩0i ≠j

a i =y i

i =0,1,2, , n

于是y =f (x ) 在节点x i (i =0,1, , n ) 上，以l j (x )(i =0,1, , n ) 为插值基函数的插值多

4 项式（记为L n (x ) ）为L n (x ) =y 0l 0(x ) +y 1l 1(x ) + +y n l n (x ) ○

(x -x i ) ωn +1(x )

=5 其中l j (x ) =∏○'+1(x j )(x -x j ) ωn i =0(x j -x i )

n i ≠j

4式L n (x ) 为y =f (x ) 的Lagrange 插值多项式 称○

称l j (x ) (i =0,1,2, , n )为n 次Lagrange 插值基函数

3.2 Newton插值的原理和算法

f (x i ) -f (x j )

=f ⎡x i , x j ⎤一般的，一阶差商⎣⎦x i -x j

f ⎡⎣x 0, x 1⎤⎦-f ⎡⎣x 1, x 2⎤⎦=f ⎡x , x , x ⎤

⎣012⎦x -x 02二阶差商是一阶差商的差商

f ⎡⎣x i , x j ⎤⎦-f ⎡⎣x j , x k ⎤⎦=f ⎡x , x , x ⎤

一般的，二阶差商⎣i j k ⎦ x i -x k

f ⎡ x n -1⎤ x n ⎤⎣x 0, x 1, ⎦-f ⎡⎣x 1, x 2, ⎦=f ⎡x , x , x n -1, x n ⎤n 阶差商为：12⎣⎦

x 0-x n

而n 阶差商f

⎡ x n ⎤⎣x 0, x 1, ⎦可以表示为函数值f (x j )(j =0,1,2,..., n )

f (x j )

的线性组合， 即f

⎡ x n ⎤⎣x 0, x 1, ⎦=

j =0

∑W x ，其中

j

f ⎡ x n ⎤⎣x 0, x 1, ⎦。

n

W (x j )=(x -x 0)(x -x 1)... (x -x n )

x in ⎤且差商与节点排列顺序无关，即f ⎡⎣x i 0, x i 1, ⎦=

其中，0, 1,..., n 是0，1，…，n 的任意一种排列

i i i

x k ⎤若f ⎡则f ⎣x , x 0, x 1, ⎦是x 的m 次多项式，

次多项式。

⎡ x k , x k +1⎤⎣x , x 0, x 1, ⎦是x 的m-1

x n 上有因而，一般的，在节点x 0, x 1, x 2,

f (x )=f (x 0)+(x -x 0) f ⎡f ⎡⎣x 0, x 1⎤⎦+(x -x 0)(x -x 1) ⎣x 0, x 1, x 2⎤⎦

+... +(x -x 0)(x -x 1)...(x -x n -1) f ⎡⎣x 0, x 1,..., x n -1⎤⎦+(x -x 0)(x -x 1)...(x -x n -1)(x -x n ) f ⎡⎣x , x 0, x 1,..., x n ⎤⎦

=N n (x ) +R n (x )

其中N n (x ) 、R n (x ) 分别为f (x ) 在节点

{x }

n

i 0

上的Newton 插值公式和余项。

具体算法如下： （1） 输入：i , j

x f

（2） i

z =f j (i =0,1,2,..., n )

(z j -z j -1) (x j -x j -1)

（3） 计算差商，对i =0,1,2,..., n 做

对j =i , i +1,..., n 做f j =（4） 计算插值N （u ）

1）输入插值u 2）V=0

3）对i =n , n -1,...,0做v =v (u -（5）输出u,v

x i ) +f i

4、数据拟合

4.1数据拟合的最小二乘法的原理和算法 4.1.1最小二乘法的原理：

当由实验提供了大量数据时, 不能要求拟合函数φ(x ) 在数据点(x i , y ) 处的

i

偏差, 即δi =φ(x i ) -

y

i

(i=1,2,…,m) 严格为零, 但为了使近似曲线尽量

反映所给数据点的变化趋势 ,需对偏差有所要求. 通常要求偏差平方和

|δi |=∑(φ(x i ) -y i ) 最小 ∑i i

2

=1

=1

m m

2

4.1.2最小二乘法的算法：

数据拟合的具体作法是：对给定数据 (x i , y ) (i=0,1,…，m) ，在取定的函数

i

类Φ中, 求

m

p (x ) =∑a k x k ∈Φ, 使误差

k =0

n

2

I =∑[p n (x i ) -y i ]

i =0

⎛⎫k

=∑ ∑a k x i -y i ⎪=min ○6i =0⎝k =0⎭

m m

2

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的p n (x ) 称为最小二乘拟合

⎛⎫k

多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。I =∑ ∑a k x i -y i ⎪

i =0⎝k =0⎭

元函数求极值的必要条件，得

m

∂I ⎛n ⎫j k

=2∑ ∑a k x i -y i ⎪x i =0j=0,1,…,n ○7 ∂a j i =0⎝k =0⎭m

⎛m j +k ⎫j

x a =x 8 即∑ ∑i ⎪k ∑i y i j=0,1,…,n ○k =0⎝i =0i =0⎭

n

m n

2

为a 0, a 1, a n 的多元函数，因此上述问题即为求I =I (a 0, a 1, a n ) 的极值 问题。由多

关于a 0, a 1, a n 的线性方程组，用矩阵表示为

⎛ n n

∑x i i =1 n

x m ∑i ⎝i =1

∑x

i =1n i =1

n

i

2x ∑i

m +1x ∑i i =1n

⎫⎛n ⎫

∑x ⎪y ∑i ⎪

i =1

⎪⎛a 0⎫ i =1⎪n n

⎪⎪ m +1⎪ ∑x i ⎪ a 1⎪ ∑x i y i ⎪

i =1⎪ ⎪= i =1⎪9 ⎪ ⎪ ⎪○

⎪⎝a m ⎭ n ⎪n

x m y ⎪ ∑x i 2m ⎪⎪ ∑i i ⎪

i =1⎭⎝i =1⎭

m

i

n

⎛1 x 0 Φ= 令

m ⎝x 0

1x 1 x 1m

1⎫⎛y 0⎫⎪ ⎪ x n ⎪y 1⎪ y =⎪ ⎪

⎪m ⎪ x n ⎭⎝y n ⎭

⎛n ⎫

y ∑i ⎪ i =1⎪n ⎪

x y ∑i i ⎪T Φy = i =1⎪ 则方程系数矩阵为：ΦΦ 常数项为：

⎪ n ⎪ x m y ⎪ ∑i i ⎪⎝i =1⎭

5、运用以上一种或多种数值方法分析一个实际工程问题

测得铜导线在温度T i (℃) 时的电阻R i (Ω) 如表6-1，求电阻R 与温度 T的近似函数关系。

可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

R =a 0+a 1T

245. 3⎤⎡a 0⎤⎡565. 5⎤⎡7

⎢245. 39325⎥⎢a ⎥=⎢20029. 83. 445⎥⎣⎦⎣1⎦⎣⎦

解方程组得

a 0=70. 572,

故得R 与T 的拟合直线为

a 1=0. 921

R =70. 572+0. 921T

利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度 T=-242.5℃时，铜导线无电阻。