第5讲巴拿赫不动点定理
第五节 巴拿赫不动点定理及应用 Banach Fixed Point Theorem
巴拿赫不动点定理,又称为压缩映射定理或压缩映射原理,它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理.许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点,而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件,并提供了一个迭代程序,按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差,这是代数方程,微分方程,积分方程,泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法. 5.1 Banach不动点定理及推论
定义 1.5.1 不动点(Fixed points)
设X是一个非空集合,A:X→X为映射,如果存在x∗∈X满足A(x∗)=x∗,则称x∗为映射A的不动点.
例如(1)从R到R上的映射f:x→x2有两个不动点,即x=0和x=1.(2)从R2到R2上的映射f:(x,y)→(y,x)有无穷多个不动点,即直线y=x上的所有点均是不动点.
设f是空间X到自身的映射,方程f(x)=0的求解可转化为求映射
T:x→αf(x)+x
的不动点,其中常数α≠0(显然当Tx∗=x∗时,即αf(x∗)+x∗=x∗,可得f(x∗)=0).关于不动点的定理,最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理.
定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)
设X是一个度量空间,A:X→X为映射,如果存在常数α∈(0,1),对于任何x,y∈X,有
d(Ax,Ay)≤αd(x,y)
则称A为X上的压缩映射.称常数α为压缩系数.
显然压缩映射是连续映射.下面的压缩映射原理是由Banach于1922年给出的,也称为Banach不动点定理.
定理 1.5.1 Banach不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle)
设X是完备的度量空间,A:X→X是压缩映射,则A在X中具有唯一的不动点,即存在唯一的x∗,使得x∗=A(x∗).
证明 任取x0∈X,构造点列{xn}:
x1=A(x0),x2=A(x1),x3=A(x2),x4=A(x3),…,xn=A(xn−1),….
下面证明 (1)证{xn}为基本列;(2)证xn→x∗,x∗=A(x∗);(3)证x∗的唯一性.
(1)证{xn}为基本列.
因为A是压缩映射,所以不妨设d(Ax,Ay)≤αd(x,y),其中α∈(0,1),记d(x1,x0)=c0,于是有
d(x2,x1)=d(Ax1,Ax0)≤αd(x1,x0)≤αc0; d(x3,x2)=d(Ax2,Ax1)≤αd(x2,x1)≤α2c0; d(x4,x3)=d(Ax3,Ax2)≤αd(x3,x2)≤α3c0;
…… ……
d(xn,xn−1)=d(Axn−1,Axn−2)≤αd(xn−1,xn−2)≤αn−1c0.
因此对于正整数k有
≤(αn+αn+1+