二元一次不定方程的通解
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二元一次不定方程的通解
七年级下册学习了二元一次方程组,有一类题是求二元一次方程的整数解的问题,这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。如下题:
二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是( )
A.4个 B. 3个C.2个 D.1个
初中阶段这个问题,都是用的“枚举法”。但是为了防止遗漏,我们现在要系统解决这个问题,就需要研究二元不定方程的通解。
当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0y=y0后,就可以写出该方程的所有解了。
∵ ax+by=c„„①
ax 0+by0=c„„②
① -② ∴a (x-x 0)+b(y-y 0)=0
即a (x-x 0)=b(y0-y)
设a 、b 互质,那么,x-x 0必含因子b ,y 0-y 必含因子a 。 ∴x-x 0=kb,y 0-y=ka(k∈Z)
∴不定方程的通解为0+bky=y0-ak (k ∈Z )
以上题为例,x+2y=6的一对特解为,则该方程的通解为(k ∈Z )数解,故
2+2k>0
2-k >0(k ∈Z )得 -1<k <2(k ∈Z ),
∴k=0,1
x=2 ∴对应的解有两个:k=0时,
y=2;k=1时,. ∴选择C 。
这就系统解决了不定方程的相关问题。避免了解的遗漏问题。当然这不属于教学内容,可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。