2017考研数学模拟题数学二
2017年考研数学模拟试题（数学二）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1. 设x 0是多项式P (x ) =x 4+ax 3+bx 2+cx +d 的最小实根，则（ ）. （A ）P '(x 0) ≤0（B ）P '(x 0) 0. 2.
设x →a
=1 则函数f (x ) 在点x =a （ ）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 3. 设f (x , y ) 连续，且满足f (x , -y ) =f (x , y ) ，则
x 2+y 2≤1
1010
01
⎰⎰
f (x , y ) dxdy =（ ）.
（A
）2（C
）2
⎰dx ⎰dx ⎰
f (x , y ) dy （B
）2⎰dy ⎰
f (x , y ) dx f (x , y ) dx .
⎰f (x , y ) dy （D
）2⎰dy ⎰
1
4. 微分方程y ''-2y '=x e 2x 的特解y *形式为（ ）.
(A) y =(ax +b )e (B) y =ax e
*2x *2x
(C) y =ax e (D) y =(ax +bx )e
5. 设函数f (x ) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ ）.
x 0
x
*22x *22x
（A ）
⎰⎰
f (t 2) dt （B ）⎰f 2(t ) dt
（C ）
x 0
t [f (t ) +f (-t )]dt （D ）⎰t [f (t ) -f (-t )]dt
x
6. 设在全平面上有条件是（ ）
∂f (x , y ) ∂f (x , y )
>0，则保证不等式f (x 1, y 1)
∂y ∂x
（A ）x 1>x 2，y 1x 2，y 1>y 2.
（B ）x 1y 2.
7. 设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（ ）.
(A)A -λE 与B -λE 相似 (B) A 与B 合同 (C) A -λE =B -λE (D) A -λE =B -λE 8. A =A m ⨯n ，R (A ) =r ，b 为m 维列向量，则有（）. (A)当r =m 时，方程组Ax =b 有解 (B)当r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 (C)当m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解 (D)当r
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. lim
(1+x ) -e
=x →0x
1
x
∂2u
10设f 有二阶连续偏导数，u =f (x , xy , xyz ) ，则=
∂z ∂y
11. 设微分方程y '= 12.
数列
13. 方程5x -2-
14. 设n 阶矩阵A 的秩为n -2， α1, α2, α3是非齐次线性方程组Ax =b 的三个线性无关的解，则Ax =b 的通解为 . .
x y x
+ϕ() 的通解为y =，则ϕ(x ) =.
ln Cx x y
中最大的项为.
dt
⎰01+t 8=0在区间(0,1)内的实根个数为 .
x
三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1
15. （本题满分9分）
求极限x
x →0
16. （本题满分9分）设f (x ) 单调且具有一阶连续导数，ϕ(y )
∂z ∂x -∂z
∂y
=0，求可导函数ϕ(y ) .
17. （本题满分9分）
计算积分⎰
1-1
dy ⎰
1sin 3y ) dx
z =f (x +ϕ(y )) 满足
18. （本题满分11分）
求微分方程y ''-a (y ') 2=0(a >0) 满足初始条件y x =0=0，y 'x =0=-1的特解.
19. （本题满分11分）
设f (x ) 和g (x ) 在区间(a , b ) 可导，并设在(a , b ) 内f (x ) g '(x ) -f '(x ) ≠0，证明在(a , b ) 内至多存在一点ξ，使得f (ξ) =0. .
20. （本题满分11分）
设有抛物线Γ：y =a -bx ，试确定常数a , b 的值，使得 ⑴Γ与直线y =x +1相切；
⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大.
2
.
21. （本题满分11分）
一质量为m 的物体以速度v 0从原点沿y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k 0），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.
22. （本题满分11分）
设α1=(1, 2,3,1), α2=(1,1, 2, -1), α3=(1,3, a ,3), α4=(3,5,7, -1), β=(0,1,1, b ). ⑴当a , b 满足什么条件时，β可由α1, α2, α3, α4线性表示，且表示式唯一？
⑵当a , b 满足什么条件时，β可由α1, α2, α3, α4线性表示，且表示式不唯一？并求出β的表示式.
23. （本题满分11分）
设A , P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP =PA ，证明：
⑴若α是A 的特征向量，则P α也是A 的特征向量；
⑵若A 有n 个不同的特征值，α是A 的特征向量，则α也是P 的特征向量.
T
T
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