一类度量空间及其完备性的证明
第20卷第2期2001年6月
山东科技大学学报(自然科学版)
Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Sc ience)
Vol. 20 2Jun. 2001
文章编号:1000-2308(2001) 02-0012-03
一类度量空间及其完备性的证明
刘 杨, 刘晓军, 赵明清
1
2
2
(1. 山东大学数学院, 济南250100; 2. 山东科技大学金融工程研究所, 泰安271019)
摘 要:构造了一类函数集合的度量空间, 给出其上面的一些性质, 证明了此空间是一完备度量空间。关键词:度量空间; 完备性; 集合函数
中图分类号:O177 文献标识码:A
A Kind of Measuring Space and Its Completeness
LIU Yang 1, LIU Xiao jun 2, ZHAO Ming qing 2
(1. Couege of M ath. , Shan dong Un i v. , Jinan 250100, China; 2. Res Inst. of Financial Engg, SUST , Taian 271019, China)
Abstract:In this paper, we introduced a kind of measuring space, g ave some of its properties and proved that its space is a complete measuring space.
Key words:measuring space; completeness; set function 在控制理论中, 经常要在一系列容许控制中找到合适的控制。比如最优控制理论中, 最优控制的存在性的证明常常要在一系列经过一定选择的控制集合中找其某个子列的极限。如果能够在此集合上构造距离, 并证明此集合在此距离下完备的, 则最优控制的存在性可以得证。在能控性理论当中也有这样的构造, 本文构造的距离空间可以在最大值原理的证明中起作用。
下面证明 (, d 满足距离的性质, 从而
2
可以定义(F , d ) 为距离空间。
定理1 (, d (f ( ) , g( ) ) 满足距离的三
2
性质:
(1) d (f , g) (0, d (f , g ) =0 ! f =g (2) d (f , g) =d (f , g)
(3) d (f , g) +d (g, h) (d (f , h )
证明:(1) 和(2) 由d 的定义易证, (见[2]) 。其中这里我们称f =g , 如果
(D(f ) (g ) ) =0, {t |t ∃D (f ) %D (g) , f (t ) &g(t) }=0。易知这是一个等价关系, 故可以这样指定。下面证明(3) , 为方便起见, 先给出一些简化标记:A A
1
=
1 主要结果
F ={f ( ) | (D (f ) ) , f 为Lebegue 可测函数, D (f ) 为R 上的可测集}, 其中D (f ) 为f ( ) 的定义域, 为Lebegue 测度。
定义1 设F 如上所述, 定义带参数 的二元函数d :F ∀F #R 为:d (f ( ) , g( ) ) = (D (f ) D (g) ) + {t |t ∃D (f ) %D(g) , f (t ) &g (t ) }, 这里A B (A %=B ) ∋(B %A ) , 记法见[1], 且 (。
2
c
c
1
D (f ) -(D (g ) ∋D (h ) ) , B 1= (D (g ) % D (g ) -(D (f ) ∋D (h ) ) , B 2= (D (f ) %
D (h) ) -D(f )
2
=
D (h) ) -D(g )
收稿日期:2000-12-06 基金项目:山东省自然科学基金资助项目(Q99A 13) (,
第2期 刘杨等:一类度量空间及其完备性的证明 13 A
3
=
D (h ) -(D (f ) ∋D (g ) ) , B 3= (D (f ) %
i ∃I
#f i 的定义域为D (i #f i ) 。∃I
注:由于在定义2. 2中我们将i #f i 的定义域∃I
D (g) ) -D(h )
C D (f ) %D (g ) %D (h ) , a i (A i ) , b i ===(B i ) , c = (C ) ,
则有:
d (f , g) = (a 1+a 2+b 1+b 3) + ({f &g }%B 3) + ({f &g}%C )
d (g, h) = (a 2+a 3+b 2+b 3) + ({g &h}%B 1) + ({g &h}%C)
d (f , h) = (a 1+a 3+b 1+b 3) + ({f &h}%B 2) + ({f &h }%C )
d (f , g ) +d (g , h) -d (f , h) =2 (a 2+b 2) + ({f &g }%B 3) + ({g &h}%B 1)
- ({f &h}%B 2) + ({f &g }%C ) + ({g &h }%C ) - ({f &h }%C )
((a 2+b 2) + {f &g}%B 3) + ({g &h }%B 1) - ({f &h}%B 2) + ({f &g }%C ) + ({g &h }%C ) - ({f &h }%C )
((b 2- ({f &h %B 2) ) + ({f &g }%C ) + ({g &h}%C) - ({f &h}%C)
又(b 2- ({f &h}%B 2) ) ((b 2- ((B 2) ) =b 2-b 2=0
({f &g}%C ) + ({g &h }%C ) - ({f &h}%C ) (
(({f &g }%C) ∋({g &h }%C ) ) - ({f &h}%C )
又({f &h }%C ) ∀({f &g }∋{g &h }%C ) , 故有 (({f &g}%C) ∋({g &h}%C ) ) - ({f &h }%C ) (0从而(3) 成立。
性质1 1, 2(, d 1, d 2等价。2
2
证明: , d 2(d 1d 2) d 2( 1(1, 21
因此d 1, d 2等价。
注:因为 1, 2(, d 1, d 2等价, 后面若不2加下标 , 就是取 =1, 并简记d 1为d 。
定义2. 1 令{t |t ∃i %D (f i ) ; i ∃I , j ∃∃I
I , f i (t) =f j (t) }为f i (i ∃I ) 的公共定义域, 记为D (i #f i ) 。∃I
定义2. 2 若D (i #f i ) &! , 定义i #f i 为∃I ∃I
f i (i ∃I ) 的交函数, (i #f i ) (t ) =f i (t ) , i ∃I , I
取为D(i #f i ) , 而由定义2. 1知道在D (i #f i ) 上∃I ∃I f i (t) 取值相同, 所以定义i #f i 为(i #f i ) (t) = f i
∃I ∃I (t ) , i ∃I 是可行的。为了将D (i #f i ) =! 的∃I 情况也包括进去, 我们在F 中加入定义域为空集的函数f ! , 即令D (f ! ) =! , 这样当D (i #f i ) =! ∃I 时, 就令i #f i =f ! , 并且令d (f ( ) , f ! ) = (D ∃I (f ) ) , f ∃F , 易知距离三性质依然成立, 而且后
面的证明都可以将此情况包括进去而仍成立。此外为方便起见, 常将i #(f i ) , ∃I 性质(2. 1) i #(#(f ij ) ) =∃I j ∃J
i
i =1, 2, 3
#(f i ) 分别记为
f 1#f 2, f 1#f 2#f 3, #有下面性质:
i ∃I , j ∃J
#(f ij )
i
注:这里J i 是对每个i 相应的集合, 例如I ={1, 2}, J 1={1}, J 2={1, 2}。此性质意为对F 中元素f 的#运算与次序无关。性质(2. 2) d (f #g, f #h) ) d (g , h) 为了明了起见, 先给出如下几个式子:引理(2. 1) D(f #g ) -D(f #h ) ={t ∃B 3, f =g }+{t ∃C , f =g &h }
引理(2. 2) D(f #g ) %D (f #h) ={t ∃C, f =g =h}
引理(2. 3) {t |t ∃D (f #g ) %D (f #h ) , (f #g ) (t ) &(f #h ) (t) }=!
上面三个式子易证, 故证明略去。下面由此三式证明性质(2. 2) :
证明:
d (f #g, f #h ) = (D(f #g) -D(f #h ) ) + (D(f #h ) -D (f #g ) ) + {t ∃D(f #g ) %D (f #h) ) , (f #g ) &(f #h) }.由引理(2. 1) 、(2. 3) 可以将其表述为:
d (f #g, f #h ) =
{t ∃B 3, f =g }+ {t ∃C, f =g &h}+ {t ∃B 2, f =h}+ {t ∃C , f =h &g }而
d (g, h) =(a 2+a 3+b 2+b 3) + {t ∃B 1, g &h}+ {t ∃C , g &h }
d (g , h) -d (f #g , f #h ) =(a 2+a 3) + {t ∃B 1, g &h}+
(b 2- {t ∃B 2, f =h }) +(b 3- {t ∃B 3, f =g }) +{∃g {
14 山东科技大学学报(自然科学版) 第20卷C , f =h &g }) (0。证毕。性质(2. 3) d(f #g , g ) ) d (f , g) 证明:
D (f #g ) ∀D (f ) %D(g ) ∀D(g ) 所以 d (f #g , g) = (D (g) -D (f #g) ) = (D (g) -D(f ) ) + {t |t ∃D (f ) %D(g ) , f &g }) d (f , g ).
定义3 如果有D (f ) ∃D(g ) ; f (t ) =g (t) , t ∃D (f ) ; 则称f %g, 或g &f 。
性质(3. 1) %是一序关系, 即满足序的三条件。(见[2])
性质(3. 2) f #g %g
性质(3. 3) f %g ! d (f , g ) = (D(g ) ) - (D(f ) )
性质(3. 4) f n ∃F , f n &f n +1! ∋f ∃F , d (f , f n ) #0, n #! 。
证明:f n &f n +1! D(f n ) (D (f n +1) , 又f n ∃F , 故D(f n ) 为Lebeg ue 可测集。为了选取f , 先定义其定义域D (f ) 为D (f ) =n %D (f n ) , 令(1f (t ) = f n (t) , f %f n , 故有d (f , f n ) = (D (f n ) ) - (D (f ) ) , 故有d(f , f n ) #0, n #! 。证毕。性质(3. 5) f n ∃F, f n 证明:取D (f ) =n ∋D (f n ) , f (t ) =f n (t ) , (1t ∃D (f n ) , 下证类同性质(3. 4) 。
定理2 距离空间(F, d ) 是一完备空间。
证明:任取一距离d 下的柯西列{f n }, 必存在子列{f nk }, 满足 l , m (k , d (f nl , f nm )
i i +1i -d (g k , g k ) =d (g k
1
l -1i =1
∗d (g i , g i +1) ) (D (g 1) ) +1, 由性质(3. 4) 可
知, 存在g ∃F , 满足d (g k , g ) #0, k #! , 由d (g l , g l +1) ) d (f n 1, f n l +1) ) 2-l 及d (g k , g ) #0, k #! 知g 是柯西列{f n }子列{f nk }的极限, 故是
{f n }的极限, 因此找到了柯西列f n 的极限g , 所以(F , d ) 为一完备距离空间, 更详细推导见[3]。2 应 用
在最优控制理论中, 最大值原理是一个核心内容, 最大值原理有几种证明, 其中利用艾克兰变分原理的证明是一个深刻的方法, 而在利用艾克兰变分原理证明最大值原理中, 下面的距离空间
(G , d ) 及其完备是一个重要条件。见[4]。作为本文的一个应用, 距离空间(F , d ) 的完备性可保
00
证(G , d ) 是一距离空间并具有完备性。(G , d ) 的定义如下:G ={f ( ) |t ∃[0, 1], f 为Lebegue
可测函数}, d (f , g ) = {t |t ∃[0, 1]且f (t ) &g (t) }, 容易看出G ∃F , 而且有 f , g ∃G ∃F, D (f ) =D (g ) =[0, 1], 故D (f ) D (g ) =! ,
(D(f ) D(g) ) =0, 所以知道(G , d ) 中柯西列f n 的极限f 满足lim d (f , f n ) =0, d (f , g) = {t n #! |t ∃D (f ) %D(g ) , f (t) &g (t) }=
{t |t ∃[0, 1], f (t) &g (t ) }=d 0(f , g )
因此(G , d 0) 就是(F, d ) 在F 的子集G 上的限制, 自然是一度量空间。为证明(G , d 0) 的完备性, 任取(G , d 0) 的一柯西列f n , 由上面的讨论知f n 也是(F , d ) 上的柯西列, 又(F , d ) 为一完备度量空间, 故∋f ∃F, 使得lim d (f n , f ) =0, 而n #! (D(f ) D(g) ) ) d (f , g ) , 故n lim (D (f ) D #! (f ) ) =0, 而f n ∃G , 所以D (f n ) =[0, 1], 所以有 ([0, 1] f ) ) =0, 故 ([0, 1]-D (f ) ) =0。
f (t ) , t ∃[0, 1]%D (f ) 0
作f (t ) =
0, t ∃[0, 1]-D (f ) 0000
易知d (f , f ) =0, f 0∃G , 故n lim d (f n , f ) =0, #! 因此找到了(G , d 0) 中任意柯西列f n 的极限f 0, (G , d 0) 的完备性得证。参考文献:
[1]P. R. Halmos. M easur e theory [M ]. N ew Yourk:Spr ing er -Verlag , 1970.
[2]张恭庆. 泛函分析讲义[M ]. 北京:北京大学出版社, 1990.
[3]梁方豪. 实变函数讲义[M ]. 济南:山东大学出版社, 1990.
[4]张学铭, 李训红, 陈祖浩. 最优控制系统的微分方程理论[M ]. 北京:高等教育出版社, 1989.
#f n k +i , g k
i -1
#f n k +i #
f n k +i +1) d (f n k +i , f n k +i #f n k +i +1) , 由性质(2. 3) 知d (f n k +i +l , f n k +i #f n k +i +l ) d (f n k +i , f n k +i +1) ) 2-(l +i ) , 又由性质(3. 4) 知d (g i l , g l ) #0, i #! , 故由距离的三角性质d (a, c) ) d (a, b ) +d (b , c) 知:
d (f nl , g l ) ) i ∗d (g i l , g i l +1) ) i ∗2-(l +i )
(0(0=2-(l -1)
, 又由g l 的构造知g l =g l +
-t
1
#f n i +1, 所
以有g 1%g l +1, 并且类同上面的证明可知d (g l , g l +1) ) d (f nl , f n l +1) ) 2
, 并且再由g l %g l +1及
性质(3. 3) 可知 (D(g l ) ) ) (D (g l ) ) +